2023七年级数学下册 第3章 因式分解3.3 公式法第1课时 用平方差公式因式分解教学设计 （新版）湘教版

2023七年级数学下册第3章因式分解3.3公式法第1课时用平方差公式因式分解教学设计（新版）湘教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图嗨，亲爱的同学们！今天我们要一起探索数学的奥秘，开启因式分解的新篇章。这节课，我们将用平方差公式来因式分解，让复杂的式子变得简单有趣。让我们一起走进数学的世界，感受数学的乐趣吧！😄🎉📚核心素养目标教学难点与重点1.教学重点：

-明确本节课的核心内容，以便于教师在教学过程中有针对性地进行讲解和强调。

-理解并掌握平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。

-能够正确识别和应用平方差公式进行因式分解。

-通过实例练习，熟练运用平方差公式解决实际问题。

2.教学难点：

-识别并指出本节课的难点内容，以便于教师采取有效的教学方法帮助学生突破难点。

-难点一：理解平方差公式中\(a^2\)和\(b^2\)的含义，以及如何正确识别它们。

-例如，在式子\(x^2-9\)中，学生需要理解\(x^2\)是\(x\)的平方，\(9\)是\(3\)的平方。

-难点二：将复杂的多项式分解时，如何正确地应用平方差公式。

-例如，在式子\(x^4-16\)中，学生需要先识别出\(x^4\)和\(16\)都是平方项，然后正确分解。

-难点三：解决实际问题时，如何将问题转化为适合应用平方差公式的形式。

-例如，在解决“一个数的平方减去另一个数的平方等于多少？”这类问题时，学生需要学会如何构建平方差的形式。教学资源-软硬件资源：黑板、粉笔、直尺、三角板

-课程平台：湘教版七年级数学课程教材

-信息化资源：PPT课件、在线互动平台、数学学习软件

-教学手段：实物演示、小组讨论、课堂练习、多媒体教学教学流程1.导入新课

-详细内容：首先，我会以一个简单的数学谜题来吸引学生的注意力：“我有两个平方，相加或相减，结果总相等。请问我是谁？”让学生在思考中引入平方差的概念。接着，我会展示几个平方差的具体例子，如\(4-9\)和\(25-16\)，引导学生观察它们的特征，并引入平方差公式。这个过程大约需要5分钟。

2.新课讲授

-内容一：首先，我会解释平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)的含义，并通过图形和文字结合的方式展示公式的来源。例如，用两个相等的正方形来表示\(a^2\)和\(b^2\)，然后展示它们相减的过程，从而引出公式。这个过程大约需要10分钟。

-内容二：接着，我会通过几个具体的例子来演示如何应用平方差公式进行因式分解。例如，展示如何将\(x^2-4\)分解为\((x+2)(x-2)\)，并引导学生注意公式中的\(a\)和\(b\)是如何确定的。这个过程大约需要10分钟。

-内容三：最后，我会让学生尝试自己应用公式进行因式分解，选择一些简单的多项式，如\(x^2-1\)和\(x^2-16\)，让学生在练习中巩固对公式的理解。这个过程大约需要10分钟。

3.实践活动

-内容一：我会提供一些练习题，让学生独立完成，这些题目包括直接应用平方差公式进行因式分解的题目，以及一些需要学生先识别平方差形式再进行因式分解的题目。这个过程大约需要10分钟。

-内容二：接着，我会让学生通过小组合作，解决一些更复杂的因式分解问题，如\(x^4-81\)，鼓励他们在讨论中互相帮助，共同完成。这个过程大约需要10分钟。

-内容三：最后，我会设计一个实际应用问题，如“一个长方形的面积是\(25\times36\)平方厘米，如果它的长比宽多2厘米，求长方形的长和宽。”这个问题要求学生不仅应用平方差公式，还需要一些基本的代数运算。这个过程大约需要10分钟。

4.学生小组讨论

-方面一：如何识别平方差的形式？

-举例回答：学生可能会回答，当看到形如\(a^2-b^2\)的式子时，就意识到它可能是平方差的形式。

-方面二：在因式分解时，如何正确应用平方差公式？

-举例回答：学生可能会讨论，在因式分解时，需要确保正确地将\(a^2\)和\(b^2\)代入公式，并正确地写出\(a+b\)和\(a-b\)。

-方面三：如何将实际问题转化为适合应用平方差公式的形式？

-举例回答：学生可能会讨论，在解决实际问题时，需要先理解问题的背景，找出其中的平方项，并确定它们的关系。

5.总结回顾

-内容：在课堂的最后，我会让学生回顾本节课学到的内容，包括平方差公式、公式的应用以及解决实际问题的方法。我会提问一些问题，如“什么是平方差公式？”和“如何使用平方差公式进行因式分解？”来检查学生对知识的掌握。同时，我会强调本节课的重难点，如正确识别平方差的形式和应用公式。这个过程大约需要5分钟。

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-介绍与本节课教学内容相关的内容，如平方差公式在代数中的广泛应用，包括在解方程、求多项式函数的零点、以及解决实际问题中的应用。

-引入平方差在几何学中的应用，例如在解析几何中，平方差公式可以用来求解抛物线的方程，或者在计算多边形面积时，通过分割和重组来简化计算。

-探讨平方差公式与二项式定理的关系，解释为什么二项式定理的展开形式中会出现平方差的形式。

2.拓展建议：

-为学生提供具体的拓展学习建议，以下是一些具体的活动和建议：

-设计一个活动，让学生通过实验来验证平方差公式，例如使用正方体来表示\(a^2-b^2\)，并展示如何通过拼接得到\(a+b\)和\(a-b\)的形状。

-提供一些历史背景资料，让学生了解平方差公式的历史起源和发展，以及它在数学发展史上的重要性。

-鼓励学生探索平方差在数学竞赛中的题目，通过解决这些题目来提高他们的数学思维能力和解题技巧。

-引导学生研究平方差公式在物理学中的应用，例如在物理公式中出现的平方差形式，以及它们如何帮助解决实际问题。

-建议学生阅读相关的数学科普文章或书籍，以加深对平方差公式及其应用的理解。

-组织学生进行小组研究，让他们选择一个与平方差公式相关的主题，进行深入的研究和报告，以增强他们的研究能力和团队合作精神。

-设计一个项目，让学生尝试将平方差公式应用到日常生活中，比如在烹饪、建筑或其他领域，以增强数学与实际生活的联系。教学反思教学结束后，我总是习惯性地进行一番教学反思，总结经验，找出不足，以便在今后的教学中不断提升。以下是我对本次“平方差公式因式分解”教学的反思：

首先，我注意到学生在理解平方差公式时存在一定的困难。在课堂中，我发现有些学生对公式中的\(a^2\)和\(b^2\)的理解不够深入，容易将它们与\(a\)和\(b\)混淆。为了解决这个问题，我在教学中采用了图形辅助法，通过展示正方形来直观地展示\(a^2\)和\(b^2\)的概念，帮助学生建立起对平方差公式的直观认识。

其次，我在新课讲授环节采用了多个实例来引导学生掌握平方差公式。这些实例包括直接应用公式进行因式分解的题目，以及需要学生先识别平方差形式再进行因式分解的题目。通过这些实例，我发现学生的理解程度有了明显的提高。然而，我也发现部分学生在解决较复杂的因式分解问题时，仍然存在困难。为了解决这个问题，我决定在今后的教学中，增加一些具有挑战性的题目，让学生在挑战中不断进步。

在教学实践中，我还注意到小组讨论环节对于学生的帮助很大。在小组讨论中，学生可以互相启发，共同解决难题。例如，在解决一个复杂的因式分解问题时，一个学生可能会提出一个独特的解题思路，而这个思路正好是另一个学生的困惑所在。通过这种互相交流，学生的思维得到了拓展，解决问题的能力也得到了提高。

此外，我在实践活动环节设计了多个实际问题，让学生在解决实际问题的过程中应用平方差公式。这一环节得到了学生的积极响应，他们不仅能够熟练地运用公式，还能够将数学知识应用于实际生活。这让我深刻地认识到，将数学知识与实践相结合是提高学生学习兴趣和解决问题能力的重要途径。

在教学过程中，我还发现了一些值得改进的地方。例如，在导入新课环节，我可以用更生动有趣的方式吸引学生的注意力，如通过数学故事或者有趣的数学游戏来引入平方差的概念。在实践活动环节，我可以设计更多具有创新性的题目，让学生在解决问题的过程中感受到数学的乐趣。典型例题讲解例题1：

题目：分解因式\(9x^2-81\)。

解答：首先识别出\(9x^2\)和\(81\)都是平方项，其中\(9x^2=(3x)^2\)，\(81=9^2\)。根据平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，我们可以将原式分解为：

\[9x^2-81=(3x)^2-9^2=(3x+9)(3x-9)\]

进一步简化得到：

\[9x^2-81=3(3x+3)(x-3)\]

例题2：

题目：分解因式\(x^2-4y^2\)。

解答：这里\(x^2\)和\(4y^2\)都是平方项，其中\(4y^2=(2y)^2\)。应用平方差公式，我们得到：

\[x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)\]

例题3：

题目：分解因式\(16a^2-25b^2\)。

解答：这里\(16a^2\)和\(25b^2\)都是平方项，其中\(16a^2=(4a)^2\)，\(25b^2=(5b)^2\)。应用平方差公式，我们得到：

\[16a^2-25b^2=(4a)^2-(5b)^2=(4a+5b)(4a-5b)\]

例题4：

题目：分解因式\(x^4-81\)。

解答：首先，我们可以将\(x^4\)看作\((x^2)^2\)，\(81\)看作\(9^2\)。应用平方差公式，我们得到：

\[x^4-81=(x^2)^2-9^2=(x^2+9)(x^2-9)\]

然后，我们再次应用平方差公式分解\(x^2-9\)：

\[x^4-81=(x^2+9)(x^2-9)=(x^2+9)(x+3)(x-3)\]

例题5：

题目：分解因式\(a^2-4b^2c^2\)。

解答：这里\(a^2\)是平方项，而\(4b^2c^2\)可以看作\((2bc)^2\)。应用平方差公式，我们得到：

\[a^2-4b^2c^2=a^2-(2bc)^2=(a+2bc)(a-2bc)\]板书设计①平方差公式

-\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

-公式中\(a\)和\(b\)代表任意数

-\(a^2\)和\(b^2\)分别表示\(a\)和\(b\)的平方

②因式分解步骤

-识别平方差形式

-确定公式中的\(a\)和\(b\)

-应用公式进行因式分解

③应用实例

-\(9x^2-81\)：\(9x^2=(3x)^2\)，\(81=9^2\)

-\(x^2-4y^2\)：\(4y^2=(2y)^2\)

-\(16a^2-25b^2\)：\(16a^2=(4a)^2\)，\(25b^2=(5b)^2\)

-\(x^4-81\)：\(x^4=(x^2)^2\)，\(81=9^2\)

-\(a^2-4b^2c^2\)：\(4b^2c^2=(2bc)^2\)作业布置与反馈作业布置：

为了帮助学生巩固本节课所学内容，提高他们的因式分解能力，以下是一份作业布置：

1.完成课本练习题中的第1题至第5题，这些题目涉及直接应用平方差公式进行因式分解。

2.选择课本中的两个例题，尝试自己写出解题步骤，并解释每一步的思考过程。

3.设计一个实际问题，如“一个长方形的面积是\(25\times36\)平方厘米，如果它的长比宽多2厘米，求长方形的长和宽。”并尝试用平方差公式来解决这个问题。

4.阅读课本中关于平方差公式在几何学中的应用部分，选择一个你感兴趣的例子，写下你的理解和学习心得。

5.在线平台上的数学论坛或班级群内，分享你今天学到的平方差公式，并邀请同学们一起讨论如何应用这个公式解决实际问题。

作业反馈：

1.批改作业时，我会仔细检查每个学生是否正确应用了平方差公式进行因式分解。

2.对于正确完成作业的学生，我会给予积极的反馈，如“很好，你能够熟练地应用平方差公式进行因式分解。”

3.对于在应用公式时出现错误的学生，我会指出具体错误，并提供正确的解题步骤。例如，“注意，这里你应该将\(4y^2\)视为\((2y)^2\)，而不是直接写成\(2y\)的平方。”

4.我会鼓励学生在