高考物理冲刺：知识讲解-带电粒子在磁场中的运动（提高）

物理总复习：带电粒子在磁场中的运动

编稿：李传安审稿：

【考纲要求】

L知道洛伦兹力的特点,会计算其大小并用左手定则确定其方向；

2、掌握带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径周期公式，知道常见的分析

方法；

3、知道带电粒子在有界磁场中运动的多解情况、临界值与极值问题的处

理方法，会熟练求解相关问题。

【考点梳理】

考点、带电粒子在磁场中的运动

两类典型的综合问题

要点诠释：

1、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，注意下列结论，再借助数学方法分

析

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在滋场中运动的轨迹与边界相切。

(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在

有界磁场中运动的时间越长。

(3)当速率v变化时，圆周角越大的,运动时间越长。

2、带电粒子在磁场中的运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题

形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面.

(1)带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初

速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。

(2)磁场方向不确定形成多解

有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，比时

必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解c

(3)临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状，

因此_____3可能转过180。从入射界面这边反向飞出，如图所示,

XXXX

(4)运动的往复性形成多解

带电粒子在部分是电场,部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因

而形成多解。

【典型例题】

类型一、带电粒子在磁场中的运动的基础知识

的WZDCR7上由A七占汽直于纸面的匀强磁场,有5

度

西

粒子电荷量(q>

质小

大

编号量0)、磁场，在纸面内做匀速圆周

1m2qV

22m2q2V荷量以及速度大小如卜表所

33m-3q3V

42m2q3y

52m-qV

由以上信息可知，从图中a、b、c处进大的粒子对应表中的编号分别为()

A.3、5、4B.4、2、5

C.5、3、2D.2、4、5

【思路点拨】洛伦兹力的方向、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹、半径

的大小。

【答案】D

【解析】根据半径公式厂=誓结合表格中数据可求得1—5各组粒子的半径之比

Bq

依次为

0.5：2：3：3：2，说明第一组正粒子的半径最小，该粒子从MQ边界进入滋场

逆时针运动。由图a、b粒子进入磁场也是逆时针运动，则都为正电荷，而且a、

b粒子的半径比为2:3,则a一定是第2组粒子，b是第4组粒子。c顺时针

运动，为负电荷，半径与a相等是第5组粒子。正确答案D。

【总结升华】本题考察的是基础知识，判断洛伦兹力的方向、带电粒子在磁场中

做匀速圆周运动的轨迹、半径的大小都是基本要求，综合在一起，体现了对能力

的最基本要求。

举一反三

【高清课堂：磁场对运动电荷的作用例4】

【变式1】电子（・e,m）从A点沿AB方向进入磁场，它恰能从C点出射.

（Ae一~>............心？子在场中运动的时间。设磁感应强度为B,方向

।xxxx!

垂:;

IXXXX[

AE；XXXX!

D'............................c

【答案】（1…嘿⑵甘皿哼

【变式2】如图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影

区一一与SS'垂直。a、b、c三个质子先后从S点沿

附加磁场区域.0

垂的速度大小相等，b的速度方向与SS'垂直,

a、司的夹角分别为a、P，且三个质子经

过',则下列说法中正确的有（）

A.三个质子从S运动到S'的时间相等

B.三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在00'轴上

C.若撤去附加磁场，a到达SS'连线上的位置距S点最近

D.附加磁场方向与原磁场方向相同

【答案】CD

【解析】A.三个质子从S运动到S，的时间不相等，A错误；

B.三个质子在附加磁场以外区域运动时，只有b运动轨迹的圆心在00'轴上,

因为半径相等，而圆心在初速度方向的垂线上，所以B错误；

(2)粒子P在时刻开始运动,在匕孑到时间内，沿顺时针方向运

IT

动;个圆周,到达C点，此时磁场方向反转；继而，在t=:到t=T时间内,沿

逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到七,

时间内，沿顺时针方向运动!个圆周，到达A点，如图(b)所示，由几何关

4

系可知，A点在v轴上，即0A与x轴的夹角

号⑤

(3)若在任意时刻”『。(()</。<；)粒子P开始运动,在到t=，时间内，

沿顺时针方向做圆周运动到达c点，圆心0'位于x轴上，圆弧。。对应的圆心

角为

"(/C哼(5)⑥

.T

此时磁场方向反转；继而，在t=；到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周,

到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=7+/。时间内，沿顺时针方向做

圆周运动到达A点，设圆0”，圆弧B4对应的圆心角为N80〃A=72⑦

如图©所示,由几何关系可知，C、B均在。O”连线上,且OA〃O@〃⑧

若要0A与X轴成£角，则有ZOOrC=当⑨，

4T4

联立⑥⑨式可得力=£⑩

O

【总结升华】根据交变磁场的变化规律，正确画出轨迹图是解题的关键。

举一反三

【变式】如图所示是某装置的垂直截面图，虚线A1A2是垂直截面与磁场区边界

面的交线，匀强磁场分布在A1A2的右侧区域，磁感应强度B=0.4T,方向垂直

纸面向外，A1A2与垂直截面上的水平线夹角为45。。在A1A2左侧，固定的薄板

和等大的挡板均水平放置，它们与垂直截面交线分别为Si、S2,相距L=0.2m.o

在薄板上P处开一个小孔，P与A1A2线上点D的水平距离为L。在小孔处装一

个电子快门。起初快门开启，一旦有带正电微粒刚通过小孔，快门立即关闭。此

3

后每隔T=3.0X10-5开启一次并瞬间关闭。从SiS2之间的某一位置水平发射一

速度为之的带电微粒，它经过磁场区域后入射到P处小孔。通过小孔的微粒与

挡板发生碰撞而反弹，反弹速度大小是碰前的0.5倍。

’.孔射出的微粒，其初速度+应为多少？

:忖入磁场到第二次离开磁场的时间。(忽略微粒所受

•移。已知微粒的荷质比幺E.OxUc/依。只考虑

・m

”2.8x10-2$

日微粒在S1S2之间任意点Q以水平速度vo进入

,在磁场中做圆周运动的半径为r,有：f=qv0B

/=这②由①②得：厂=*

rqB

欲使微粒能进入小孔，半径r的取值范围为：L<rv2L③

代入数据得：8Om/s<vo<16Om/s

欲使进入小孔的微粒与挡板一次相碰返回后能通过小孔，还必须满足条件：

工+春=”其中n=123，……④

%0.5v0

由①②③④可知，只有n=2满足条件,即有：vo=100m/s⑤

(2)设微粒在磁场中做圆周运动的周期为To,从水平进入磁场到第二次离开

磁场的总时间为t,设tl、t4分别为带电微粒第一次、第二次在磁场中运动的时

间，第一次离开磁场运动到挡板的时间为t2,碰撞后再返回磁场的时间为t3,运

动轨迹如图所示,则有：

7；=—®r,=^®r2=—®

比41%

&=台⑨、=;⑩(弦切角=45°,圆心角二90。)

().5%4

f=4+/+‘3+/=2.8x10-2(s)(n)

类型三、带电粒子在磁场中运动的多解问题

0口可1吧题干艺间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧

分：：8；：：：：：：3垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B。折线的顶角

A

XXXXXzxXXXXX

z/xxxx/.\xxxx上的两点，AP=AQ=L0现有一质量为m、电荷量为q

的、予7丁丁丁工了，）Q方向射出，不计微粒的重力。求：

**8.......................................

（1）若在P、Q间加一与磁场方向垂直的匀强电场,能使速度为vo射出的微

粒沿PQ直线运动到Q点,则场强为多大？

（2）撤去电场,为使微粒从P点射出后,途经折线的顶点A而到达Q点,

求初速度v应满足什么条件？

（3）求第（2）问中微粒从P点到达Q点所用的时间。

【思路点拨】（2）根据运动的对称性，分析出微粒能从P点到达Q点，应满

足条件。画出草图，确定参数，圆心角、半径等，最后求出速度。

【答案】见解析。

【解析】（1）由电场力与洛伦兹力平衡通=4%星得E=\\}B

（2）根据运动的对称性“辞粒能从P点到达Q点，应满足£=心

、”而跣/的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为£或巨。

XXx\x/xXXx\

xxx\阱7XX）可得氏二匕

XXX/•/•VxcX〃A-

潺V=。〃=123、-

•/,...........\敦时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为

*&*

八71371c

a1=〃•C一+〃—C=2〃)

2n兀2九7九Irrmn

,其中〃=1、3、5、…

X.Dx.D

当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为

仪八=n--万--F〃一乃二〃4

H7T21〃？7tmn

"=-------=----,其中〃=2、4、6、…

21qBqB

【总结升华】解题的关键仍然是要画出轨迹图,要多练多想，熟能生巧，同时还

要考虑奇数次到达、偶数次到达，情况不一样，就是多解问题了。

举一反三

【变式1]如图所示，平行金属板M、N间距离为d.其上有一内壁光滑的半径

为R的绝缘圆筒与N板相切，切点处有一小孔S.圆筒内有垂直圆筒截面方向

的匀强磁场,磁感应强度为B.电子与孔S及圆心0在同一直线上.M板内侧

中点处有一质量为m,电荷量为e的静止电子，经过M、N间电压为U的电场

§,在圆筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出发点.(不考虑

寸程中无动能损失)

求：⑴电子到达小孔S时的速度大小；

⑵电子第一次到达S所需要的时间；

⑶电子第一次返回出发点所需的时间.

【答案】(1)、一⑵八丁⑶”24匕+^~g—(n=l,2,3,...)

VtnVeUVeUeB----

【解析】⑴设加速后获得的速度为V,根据,V呼

⑵设电子从M到N所需时间为ti,电子在MN间的加速度〃=「

I---ma

贝!=或彳，得「川冽

212md''\eU

⑶电子在磁场做圆周运动的周期为7；)=当

eB

目W')经过n次碰撞回到s,每段圆弧对应的圆心角

，如图。

n次碰撞对应的总圆心角夕=(〃+1)a=(n+1)乃-2,T=(〃-1)]

在磁场内运动的时间为=9芹X笔=产

1—2乃24eBeB

楞+(n=l,2,3,…)

【变式2】一足够长的矩形区域abed内充满磁感应强度为B,方向垂直纸面向

里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L,现从ad中点0垂直于磁场射入

一带电粒子,速度大小为V0,方向与ad夹角为30°,如图所示。已知粒子的电

荷量为q，质量为m（重力不计）

M）若睑彳第仔由日怜能从d点射出磁场，求vo的大小；

心艮据="23,则%==3^

(2)当V0最大时：/?-/?(cos60=4得Ri=L,

贝ijv="R\=q"

当Vo最小值：%+R2sm30=g得Rz=g

陛二理0

八」min…个…

所以V0的取值范围为警＜%w缪

带电粒子从ab边射出磁场，当速度为Vmax时，运动时间最短,

_150_57nn

'min—八―4^.0

速度为%桁时运动时间最长：%

「•粒子运动时间t的范围鸣父〈黑

6qB3qB

类型四、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题

例4、图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直

于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=2.OxlO-3T,在y轴上距坐标原点

L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子

以v=3.5x104m/s的速率从P处射入磁场若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m

的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,

不计其重力。

（1）求上述粒子的比荷V；

m

(2)如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电

场接收巧向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，

xxxxx

并XXXXX才计时经过多长时间加这个匀强电场；

XXXXX

L乂乂XXXI按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可

1A/XAX/X

以XXX尸」求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

o|・L—Y

入射

【思路点拨】理解"运动轨迹半径恰好最小〃的意思是以两点连线作为直径,运

动轨迹半径最小，画出轨迹图。理解"使其沿y轴正方向做匀速直线运动”的意

思。理解〃矩形磁场区域的最小面积〃的意思。

：/kg(5.0x1()7C/kg);(2)/=7.9xi()-6.v;(3)

中的运动半径为ro如图，依题意M、P连线即为该

劲的直径，由几何关系得〃=华①

2

由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得

y

qvB-m—②

r

联立①②并代入数据得幺=4.9xiO7C/kg(或5.0x107C/kg)③

m

(2)设所加电场的场强大小为E。如图，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方

向，依题意，在此时加入沿X轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡,

则有

qE=qvB④代入数据得E=70N/C@

所加电场的场强方向沿X轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角

为45。，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T,所求时间为t,则有

'=获T⑥7=华⑦

联立①⑥⑦并代入数据得=7.9x10-65⑧

(3)如图，所求的最小矩形是MM/P,该区域面积S=2产⑨

联立①⑨并代入数据得S=0.25w2矩形如图丙中(虚线\

【总结升华】抓住关键词语〃运动轨迹半径恰好最小〃的意思是以两点连线作为

直径，运动轨迹半径最小，画出轨迹图,这是解题的关键所在。“使其沿y