高中数学基础知识（文本格式）

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

第二十六节高中数学基础知识汇总

(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

第一部分集合6.函数的单调性

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是⑴单调性的定义：

因变量的取值？还是曲线上的点？…；

①f(x)在区间M上是增函数«Vxpx2eM,当xx<x2时有

2.藜形缜令是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图

等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决;/(%1)-/(%2)<00(再-％2>[/(王)―/(%2)]>0O'区)>。；

(1)含n个元素的集合的子集数为21真子集数为211—1；非空真子集的数为2n-2；

3.2-x2

(2)A^B^>AC\B=A<=>A\JB=B;注意：讨论的时候不要遗忘了A=。的情况。

②/(x)在区间M上是减函数«Vxj,x2eM,当王<%2时有

(3)C,(AU5)=(GA)A(G5);G(ADJ)=(GA)U(gB);

/(王)-f(x2)>0O(再一％2)•"(匹)-/(%2)]<0="1)"2)<0；

x

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。X]_2

⑵单调性的判定

第二部分函数与导数

①定义法：

1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2.函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；注意：一般要将式子/(/)-/。2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

⑤换元法；⑥利用均值不等式，而(”2②导数法(见导数部分)；

⑦利用数形结合或几何意义(斜率、

③复合函数法(见2(2))；

④图像法。

距离、绝对值的意义等)；⑧利用函数有界性(优、sinx、cosx等)；⑨导数法注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性

3.复合函数的有关问题

(1)周期性的定义：

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为[a,b]则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)生解出②若f[g(x)]对定义域内的任意X，若有/(九+7)=/(幻(其中T为非零常数)，则称函数/(九)为周

的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x£[a,b]时，求g(x)的值域。

期函数，T为它的一个周期。

(2)复合函数单调性的判定：

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周

①首先将原函数丁=/出(元)]分解为基本函数：内函数〃=g(九)与外函数丁=f(u)；期。

(2)三角函数的周期

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。®y=sinx:T=2TT；®y=cosx\T=2n；(3)y=tanx:T=7r；

注意：外函数y=/(〃)的定义域是内函数"=g(x)的值域。

2冗冗

④y=Asin(加+0),y=Acos(以+夕)：T=---；⑤y=tan〃：T=---；

4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。\0}\\CD\

5.函数的奇偶性

⑶函数周期的判定

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必攀条件；

①定义法(试值)②图像法③公式法(利用(2)中结论)

⑵f(%)是奇函数Of(-x)=-/(x)o/(一X)+“X)=0o=一1；⑷与周期有关的结论

①/(%+〃)=/(兀一。)或/(%-2々)=f(x)(a>0)nf(x)的周期为2a；

⑶/(X)是偶函数of(-x)=/(x)=/(-X)-/(x)=0==1；

f(x)

②'=/(x)的图象关于点(a,O),g,O)中心对称=>/(x)周期为21a-4

⑷奇函数/(%)在原点有定义，贝|/(0)=0；

③丁=/(%)的图象关于直线％=。,％=人轴对称n/(%)周期为21〃一4；iy=/(x)-y=/(I尤I)右不动，右向左翻(/(%)在y左侧图象去掉);

④,=/(%)的图象关于点(〃,0)中心对称，直线％=匕轴对称n/(%)周期为4k—4；my=/(x)fyN/(幻I-----上不动，下向上翻("(幻|在％下面无图象)；

8.基本初等函数的图像与性质H.函数图象(曲线)对称性的证明

⑴塞函数：y=xa(a£H)；⑵指数函数：y=a"(a>0,aw1)；(D证明函数y=/(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称

点仍在图像上；

⑶对数函数:y=logqx(a>0,aw1)；⑷正弦函数:y=sin%；

(2)证明函数y=/(九)与丁=8(幻图象的对称性，即证明y=/(尤)图象上任意点关于对

⑸余弦函数：y=cosx；(6)正切函数：y=tanx；⑺一元二次函数：ax2+bx+c=0；

称中心(对称轴)的对称点在y=g(光)的图象上，反之亦然；

⑻其它常用函数：

ki注：

①正比例函数：y=kx(k^0)；②反比例函数：y=—(左。0)；特别的y=—

XX①曲线Ci：f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

②曲线Ci：f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a—x,y)=0;

②函数y=x+—(a>0)；

x③曲线Ci：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=—x+a)的对称曲线C2的方程为f(y—a,x+a)=0(或f(—y+a,

9.二次函数：—x+a)=0);

⑴解析式：@f(a+x)=f(b—x)(x£R)---->y=f(x)图像关于直线x=39■对称；

①一般式：f(x)=ax2+bx+c；②顶点式：/(x)=a(x-h)2+k,(九女)为顶点；

特别地：f(a+x)=f(a—x)(x£R)---->y=f(x)图像关于直线x二a对称；

③零点式：/(x)=a(x-)(x-x2)o

⑤函数y=f(x—a)与y=f(b—x)的图像关于直线x=£3对称；

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：2

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。12.函数零点的求法：

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

⑴直接法(求/(x)=0的根)；⑵图象法；⑶二分法.

10.函数图象：

⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法13.导数

⑵图象变换：⑴导数定义：f(x)在点X。处的导数记作引=/(%)=­/(%+=)-/(/)；

'—Ax

①平移变换：iy=/(x)fy=/(x±a),(a〉0)------左“+”右

⑵常见函数的导数公式:①C=0；②(丁)’二；③(sinx)'=cosx；

iiy=/(x)fy=f(x)±k,(k>0)----上“+”下

xxxx

®(cosx)=-sinx；@(a)=a]na；®(e)=e；©(logflx)=---；

②伸缩变换：xlna

iy=f(x)-y=/(次)，(。>0)-----纵坐标不变，横坐标伸长为原来的,倍;⑧(In%)=,o

G)x

iiy=/(X)-y=Af(X)，(A>0)-------横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；⑶导数的四则运算法则：(〃±口丫=ur±vr;(uvy=+_uvuv.

VV

③对称变换：i>=f(x)—(0,0)>>=；ii)=/(x)—y=-f(x)；(4)(理科)复合函数的导数：乂=乂.心

⑸导数的应用：①利

iii>=/(x)"=°>y=f(-x)；ivy=/(x)i>y=/-1(x)；

①利用导数求切线：注意：i所给点是切点吗？ii所求的是在”还是“过”该点的切线？

④翻转变换:②利用导数判断函数单调性：

i/'(x)>On/(x)是增函数；ii/'(x)<O=>/(x)为减函数；7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin(。土力)=siimcos分土cosasin尸;

iii/'(x)=0=>/(x)为常数；—,八、c.•c।八、tana±tan£

②cos@±4)=cos6Zcos〃干sinasm/;③tan(a±/>)=----------。

'1+tanatanp

③利用导数求极值：i求导数/'(X)；五求方程尸(x)=0的根；迨列表得极值。

8.二倍角公式：①sin2a=2sincrcosa；

④利用导数最大值与最小值：i求的极值；ii求区间端点值(如果有)；迨得最值。

②COS2Q=cos2cr-sin2a=2cos2or-l=l-2sin2a；③tan2a=

14.《理科)定积分1-tana

9.正、余弦定理：

⑴定积分的定义：=nhc

⑴正弦定理：——=——=-----=2R(2H是AA3C外接圆直径)

z=l''sinAsin3sinC

pbpb

⑵定积分的性质：①1kf(x)dx=k\f(x)dx(左常数)；注：①c=sinA:sinB:sinC；②〃=2HsinA)=2HsinB,c=2RsinC；

JaJa

pbrbpbabca+b+c

式

②[lfi(x)+f2(x)]dx=\f^x)dx+\fx)dx；③-----------------=o

JaJaJasinAsin3sinCsinA+sin3+sinC

phpcfb

③|f{x}dx=ff{x}dx+ff(x)dx(其中〃<cvb)。力22_2

JaJaJc⑵余弦定理：a2=b2+c2—2AcosA等三个；注：cosA=-—-—J等三个。

2bc

⑶微积分基本定理(牛顿―莱布尼兹公式)：rf(x)dx=F(x)=F(b)-F{d)

Ja10o几个公式:

⑴三角形面积公式：

⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S=J«|/(x)-g(x)|dx；

={P(P-a)(P-b)(p-c),(p=；(a+b+c))；

SMBC=—ah=—absinC

③求变速直线运动的路程：S=「v(f)〃；③求变力做功：W=f"F(x)dx„

JaJa

ccabc

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形⑵内切圆半径i•二一2soBC;外接圆直径2R=——=——

a+b+csinAsinBsmC

1.⑴角度制与弧度制的互化：/弧度=180°,1°=三弧度，1弧度=(更%。*57。18'

18071

⑵弧长公式：/=制；扇形面积公式：S=-0R2=-RK11.已知A时三角形解的个数的判定:

22

2.三角函数定义：角a中边上任意一点尸为(x,y),设|。尸|=r则：其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a<h时,无解；

②a=h时，一解(直角)；③h<a<b时，两解(一锐角,

yX+y

sina=—,cosa=—,tana=一一钝角)；④aNb时，一解(一锐角)。

rrx

⑵A为直角或钝角时：①aWb时，无解；②a>b时，

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

一解(锐角)。

4.诱导公式记忆规律：”函数名不(改)变，符号看象限”；

兀k兀

5.⑴y=Asin(◎:+e)对称轴：二_京+万-j对称中心：(■乃0,0)依eZ)；立体几何

CD(0

1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为2上：1。

,71

K7VH---------(p

k7C(2.表(侧)面积与体积公式：

⑵丁=Acos@¥+0)对称轴：x=~P；对称中心：(-----Z---,0)(A;eZ);

CDCD⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=2勿7?；③体积：V=S底h

6.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=l;=tan光；⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：5侧=勿7；③体积：V二—S底h：

cosx3

⑶台体:①表面积：S=S娜+S上底S下底;②侧面积：SAI=万（「+r）/；③体积:V=—（S++S）⑵立平斜公式（最小角定理公式）：cos。=cos。1cos%;

3

h；⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为6,则S侧cos。二S底；

.4,⑷长方体的性质

⑷球体：①表面积：S=4成2;②体积：V=—成3。

3①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为a,6,/,则：

3.位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

cos2a+cos2P+cos2/=1；sin2a+sin20+sin2y=2。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行=线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为a,6,丁，则有

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义一两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

cos2a+cos2p+cos2y=2；sin2a+sin20+sin2y=l。

注：理科还可用向量法。

4.求角：（步骤……Io找或作角；II。求角）⑸正四面体的性质：设棱长为a,则正四面体的：

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；①高：h=—a；②对棱间距离：—a；③相邻两面所成角余弦值：-；④内切球半径:

323

②②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。

注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。

⑵直线与平面所成的角：当外接球半径：—a；

124

①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比，得sinS。

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。第五部分直线与圆

⑶二面角的求法：1.直线方程

①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；

⑴点斜式：y~yo=左（%—%。）；⑵斜截式：y=kx+b；⑶截距式：—F—=1；

②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定ab

理作出二面角的平面角，再求解；

⑷两点式：，一乃二A%；⑸一般式：Ax+By+C=0,（A,B不全为0）。

③射影法：利用面积射影公式：S=Scose,其中。为平面角的大小；%一为尤2-尤1

注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；

（直线的方向向量：（8,-A）,法向量（A,B）

理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。

5.求距离：（步骤……I。找或作垂线段；II。求距离）2.求解线性规划问题的步骤是：

⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；3.两条直线的位置关系：

⑶点到平面的距离：

①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注

③等体积法；l'.y=kx+b

xxxkl=k2,blblk[,k2——1/1/有斜率

l2-y=k2x+b2

理科还可用向量法：dJ些叫

I[:AjX+Bjj+C,=0ABB[,且AA+BB=0不可写成

2=A21212

⑷球面距离：（步骤）

（I）求线段AB的长；（II）求球心角NAOB的弧度数；（III）求劣弧AB的长。

/2:A^x+B2j+C2=0432G(验证)分式

6.结论：

⑴从一点0出发的三条射线OA、OB、0C,若NAOB=NAOC,则点A在平面NBOC上的4.直线系

射影在NBOC的平分线上；

⑴过圆x2+y2=r2上的点M(xo,yo)的切线方程为：xox+yoy=r2；

直线方程y=kx+bAx+By+C=0过圆(x-a>+(y-b)2二产上的点M(xo,yo)的切线方程为：(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2；

⑵以A(xi，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(X—xi)(x—X2)+(y-yi)(y—y2)=0o

平行直线系y=kx+mAx+By+m=0第六部分圆锥曲线

定义：⑴椭圆：\MF\+\MF\=2a(2a>\FFl)；

11.12912

垂直直线系y=——x+mBx—Ay+m=0

k

⑵双曲线：—"||=2〃,(2〃<|与工|)；⑶抛物线：略

相交直线系A九+B],+Cj++32y+C*2)—0

2.结论

⑴焦半径：①椭圆：|尸耳尸闻=々—倏”为离心率)；(左"+”右“，)；

5.几个公式

⑴设A(xbyi)>B(x2,y2)>C(x3,y3),/ABC的重心G：(占+%+-与M+»+%)；

3'3

⑵点P(xo.yo)至lj直线Ax+By+C=0的距离：“=”+叫+。；⑵弦长公式：=Jl+32,归2—芯|=J(l+Y)[(』+%2>—

VA2+B2

=+—W++必)2-4y%]；

⑶两条平行线Ax+By+Ci=0与Ax+By+C2=0的距离是d=吗Yl.

-XIA2+B2注：(I)焦点弦长：①椭圆：|A3|=2。±e(玉+%2)；②抛物线：=xi+x2+p=——；

sina

6.圆的方程：

(II)通径(最短弦)：①椭圆、双曲线：型；②抛物线：2p0

a

⑴标准方程：®(x-a)2+(y-b)2=r2；②/+,2=厂2。

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2+ny2=1(根，〃同时大于0时表示椭圆,

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

mnv0时表示双曲线)；

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆<=>A=C#0且B=0且D2+E2—4AF>0；⑷椭圆中的结论：

7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。①内接矩形最大面积：2ab；

8.圆系：

②P,Q为椭圆上任意两点，且OP_LOQ,则.....-H------=——H——；

(1)+y?+DyX+E[y+8+A(%2+y之+D2x+石2y+F2)=0,(Aw—1)；\OP\2|OQ|2a2b2

注：当4=一1时表示两圆交线。°

2

③椭圆焦点三角形：<I>.=btan-,(,9=Zf]PF2)；<II>.点M是APFR

22

(2)x+y+Dx+Ey+尸++By+C)=0,(Aw—1)o

IPMIa

9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)内心，PM交FF?于点、N,则—