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文档简介
湖南省岳阳市第五中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()A. B. C. D.2.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④3.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.4.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,则的最大值为A.2 B. C. D.5.如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩,算法框图中输入的,,,,为茎叶图中的学生成绩,则输出的,分别是()A., B.,C., D.,6.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.7.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切,则双曲线的离心率是()A.2或 B.2或 C.或 D.或8.已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等,则项系数为()A.10 B.32 C.40 D.809.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要10.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B. C. D.11.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.12.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.13二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,且由的最大值是_________14.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.15.的展开式中的系数为__________.16.已知多项式的各项系数之和为32,则展开式中含项的系数为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的短轴长为,左右焦点分别为,,点是椭圆上位于第一象限的任一点,且当时,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若椭圆上点与点关于原点对称,过点作垂直于轴,垂足为,连接并延长交于另一点,交轴于点.(ⅰ)求面积最大值;(ⅱ)证明:直线与斜率之积为定值.18.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.19.(12分)己知,,.(1)求证:;(2)若,求证:.20.(12分)已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.21.(12分)已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为.(1)求线段长的最小值;(2)求点的轨迹方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,,,,因为点在线段的延长线上,设,解得,所在直线的方程为因为点在边所在直线上,故设当时故选:【点睛】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.2、B【解析】
利用基本不等式得,可判断②;和联立解得可判断①③;由图可判断④.【详解】,解得(当且仅当时取等号),则②正确;将和联立,解得,即圆与曲线C相切于点,,,,则①和③都错误;由,得④正确.故选:B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用,根据方程,判断曲线的性质及结论,考查学生逻辑推理能力,是一道有一定难度的题.3、A【解析】
根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.【详解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.4、C【解析】
设出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得t的范围,进而利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|的最大值.【详解】解:设直线l的方程为y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由题意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦长|AB|=4.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用,直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,判别式找到解决问题的突破口.5、B【解析】
试题分析:由程序框图可知,框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数,由茎叶图可知,成绩不小于80的有12个,成绩不小于60且小于80的有26个,故,.考点:程序框图、茎叶图.6、C【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.7、A【解析】
根据题意,由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程,再分焦点在x、y轴上两种情况讨论,进而求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx,是圆的切线得:,得双曲线的一条渐近线的方程为∴焦点在x、y轴上两种情况讨论:
①当焦点在x轴上时有:②当焦点在y轴上时有:∴求得双曲线的离心率2或.
故选:A.【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.解题的关键是:由圆的切线求得直线的方程,再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式,从而解出双曲线的离心率的值.此题易忽视两解得出错误答案.8、D【解析】
根据二项式定理通项公式可得常数项,然后二项式系数和,可得,最后依据,可得结果.【详解】由题可知:当时,常数项为又展开式的二项式系数和为由所以当时,所以项系数为故选:D【点睛】本题考查二项式定理通项公式,熟悉公式,细心计算,属基础题.9、A【解析】
首先根据等比数列分别求出满足,的基本量,根据基本量的范围即可确定答案.【详解】为等比数列,若成立,有,因为恒成立,故可以推出且,若成立,当时,有,当时,有,因为恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解,充分必要条件的集合关系,属于基础题.10、C【解析】
联立方程解得M(3,),根据MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是边长为4的等边三角形,计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x轴的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选:C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.11、B【解析】
根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.12、D【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
将其转化为几何意义,然后根据最值的条件求出最大值【详解】由化简得,又实数,图形为圆,如图:,可得,则由几何意义得,则,为求最大值则当过点或点时取最小值,可得所以的最大值是【点睛】本题考查了二元最值问题,将其转化为几何意义,得到圆的方程及斜率问题,对要求的二元二次表达式进行化简,然后求出最值问题,本题有一定难度。14、130.15.【解析】
由题意可得顾客需要支付的费用,然后分类讨论,将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养.15、3【解析】
分别用1和进行分类讨论即可【详解】当第一个因式取1时,第二个因式应取含的项,则对应系数为:;当第一个因式取时,第二个因式应取含的项,则对应系数为:;故的展开式中的系数为.故答案为:3【点睛】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解,属于基础题16、【解析】
令可得各项系数和为,得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项,可得解.【详解】令,则得,解得,所以展开式中含项为:,故答案为:【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数和,二项展开式特定项,赋值法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)证明见解析.【解析】
(1)由,解方程组即可得到答案;(2)(ⅰ)设,,则,,易得,注意到,利用基本不等式得到的最大值即可得到答案;(ⅱ)设直线斜率为,直线方程为,联立椭圆方程得到的坐标,再利用两点的斜率公式计算即可.【详解】(1)设,由,得.将代入,得,即,由,解得,所以椭圆的标准方程为.(2)设,,则,(ⅰ)易知为的中位线,所以,所以,又满足,所以,得,故,当且仅当,即,时取等号,所以面积最大值为.(ⅱ)记直线斜率为,则直线斜率为,所以直线方程为.由,得,由韦达定理得,所以,代入直线方程,得,于是,直线斜率,所以直线与斜率之积为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及到椭圆中的最值及定值问题,在解椭圆与直线的位置关系的答题时,一般会用到根与系数的关系,考查学生的数学运算求解能力,是一道有一定难度的题.18、(1),;(2)米.【解析】
(1)过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】解:过点作于点则,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因为,化简得,令,,且,因为,故令即,记,当时,单调递增;当时,单调递减,又,当时,取最大值,此时,的最大值为米.【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.19、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)采用分析法论证,要证,分式化整式为,再利用立方和公式转化为,再作差提取公因式论证.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性质论证.【详解】(1)要证,即证,即证,即证,即证,即证,该式显然成立,当且仅当时等号成立,故.(2)由基本不等式得,,当且仅当时等号成立.将上面四式相加,可得,即.【点睛】本题考查证明不等式的方法、基本不等式,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题..20、(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ)
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