河南省郑州市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学 含答案

郑州市2023—2024学年上期期末考试高二数学试题卷注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点，且倾斜角为的直线方程为（）A. B. C. D.2.已知点，，，则点的坐标为（）A. B. C. D.3.已知数列的前项和为，且，则（）A.20 B.28 C.32 D.484.已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（）A.1 B.2 C.3 D.65.若关于，的方程组无解，则的值为（）A. B. C.1 D.06.已知，，且，则和可分别作为（）A.双曲线和抛物线的离心率 B.双曲线和椭圆的离心率C.椭圆和抛物线的离心率 D.两双曲线的离心率7.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.8.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆：的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，则的值不可能为（）A. B. C.0 D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（）A. B.与所成角的余弦值为C.，，，四点共面 D.的面积为10.已知两圆：，：，则下列说法正确的是（）A.点在圆内B.圆关于直线对称C.圆与圆外切D.点在圆上，点在圆上，则的最大值为611.已知数列中，，，，记的前项和为，则（）A.中任意三项都不能构成等差数列 B.C. D.12.抛物线：的焦点是，准线与对称轴相交于点，过点的直线与相交于，两点（点在第一象限），，垂足为，则下列说法正确的是（）A.若以为圆心，为半径的圆经过点，则是等边三角形B.两条直线，的斜率之和为定值C.已知抛物线上的两点，到点的距离之和为8，则线段的中点的纵坐标是4D.若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是________.14.写出圆：与圆：的一条公切线方程________.15.松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和，且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点.已知，，则的离心率为________.16.已知数列中，，，，设数列，则的通项公式为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.其中17题10分，1822题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，.（I）求边上的高所在直线方程；（II）求点到直线的距离.18.已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2.（I）求圆的标准方程；（II）若圆与圆：相交于，两点，求两圆公共弦的长.19.（12分）设等差数列的前项和为，已知，.（I）求数列的通项公式；（II）设数列的首项为，且对任意的都有，求数列的前项和.20.（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小1.（I）求点的轨迹的方程；（II）已知直线过点，与轨迹交于，两点.求证：直线与直线的倾斜角互补.21.（12分）在三棱台中，平面，，，，为中点.（I）求证：平面；（II）求平面与平面夹角的余弦值.22.（12分）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点.当垂直于长轴时，.（I）求椭圆的方程；（II）椭圆上是否存在点，使得当绕点转到某一位置时，四边形为平行四边形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.

郑州市2023—2024学年上学期期末考试高中二年级数学参考答案一、单项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BCABCABD二、多项选择题，本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号9101112答案ACDBDACABD三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.；14.写出或或一条即可；15.；16..四、解答题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）由题意可知，为的中点，，，.又，.所在直线方程为，即.（2）由，解得，所以.又直线方程为，即.点到直线的距离.18.解：（1）设圆的半径为，过向圆所作切线的一个切点为，由知，当最小时，切线段的长度有最小值，自圆心向直线引垂线段，此时有最小值.圆心到直线的距离.即..圆的方程为.（2）由圆：和圆：，两圆方程相减得，公共弦所在直线方程为.圆心到直线的距离为.弦长.19.解：（1）设等差数列的公差为，则由题意得解得数列的通项公式为.（2）由题意得，数列为等比数列，公比为，所以的通项公式为..当为偶数时，；当为奇数时，.综上所述，.（的最终结果写成分段函数形式也可以.）20.解：（1）曲线上的动点到点的距离比到直线的距离小1，动点到直线的距离与它到点的距离相等.故所求轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且，.点的轨迹的方程为.（2）证明：由题知直线的斜率存在且不为零，设的方程为，联立得，，设，，则，，.，，.即直线与直线的倾斜角互补.21.解：（1）取的中点，连接，，得为的中位线，，且.而，，，则，，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则，，，所以，.设平面的一个法向量为，由得可取.易知平面平面的法向量为.设平面与平面的夹角为，则平面