1995年第6“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）

1995年第6届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若是正数，且，则在下列结论中，错误的一个是A． B． C． D．2．（3分）已知，则化简所得的结果是A． B．1 C． D．3．（3分）已知，，．那么的值等于A．4 B．6 C．8 D．104．（3分）用一副三角板的内角（一个三角板的内角是，，；另一个是，，，可以画出大于且小于的不同角度的角共有A．8种 B．9种 C．10种 D．11种5．（3分）数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段，则线段盖住的整点是个．A．1994或1995 B．1994或1996 C．1995或1996 D．1995或19976．（3分）方程的一组整数解、是A． B． C． D．7．（3分）某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤元．A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.38．（3分）、、的大小关系如图所示，则的值是A． B．1 C． D．39．（3分）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．10．（3分）某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是25道选择题，每题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得A．80分 B．76分 C．75分 D．64分二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）计算：．12．（4分）若，则化简的结果是．13．（4分）某市举行环城自行车比赛，跑的路线一圈是6千米，甲车速是乙车速的，在出发后1小时10分钟时，甲，乙二人恰在行进中第二次相遇，则乙车比甲车每分钟多走千米．14．（4分）如图，两条线段、将大长方形分成四个小长方形，其中面积是8，的面积是6，的面积是5．则阴影三角形的面积是．15．（4分）若，则的负倒数是．16．（4分）一次数学小测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小测验的成绩至多有种可能的分数．17．（4分）已知、均为质数，并且存在两个正整数，，使得，，则的值为．18．（4分）如图，已知中，，，在上取点，使得，量得，则的面积是．19．（4分）若，则的末四位数字的和是．20．（4分）用分别写有数字的四张卡片，可以排出不同的四位数，如1234，1342，4231，等等共24个，则其中可被22整除的四位数的和等于．三、解答题（共2小题，满分30分）21．（15分）某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．22．（15分）已知，，，，试求的值．

1995年第6届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若是正数，且，则在下列结论中，错误的一个是A． B． C． D．【分析】由于，若则，与矛盾．故．又由，，，，即（A）是错误的．事实上，，，即，（B）成立．又由，知（C）成立．又由于，，，即（D）成立．【解答】解：，若则，与矛盾．．又，，，，即（A）是错误的．事实上，，，即，（B）成立．又，（C）成立．又，，，（D）成立．故选：．【点评】本题主要考查有理数的加减法，判断出代数式的符号，可运用排除法，要注意掌握．2．（3分）已知，则化简所得的结果是A． B．1 C． D．【分析】根据，可知，继而判断出，的符号，后去绝对值求解．【解答】解：，．则．故选：．【点评】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．3．（3分）已知，，．那么的值等于A．4 B．6 C．8 D．10【分析】先由已知条件计算、、的值，然后再计算它们的平方和即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查了代数式的求值，解题的关键是求出、、的值，难度适中，是个不错的题目．4．（3分）用一副三角板的内角（一个三角板的内角是，，；另一个是，，，可以画出大于且小于的不同角度的角共有A．8种 B．9种 C．10种 D．11种【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．【解答】解：比如：画个的角，先用在纸上画出来，再角叠加就画出了角了；同理可画出、、、、、、、、的角．（因为、、、、、故选：．【点评】用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．5．（3分）数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段，则线段盖住的整点是个．A．1994或1995 B．1994或1996 C．1995或1996 D．1995或1997【分析】根据题意，解答本题需要分类讨论：①若所画线段的两个端点与均为整点时，此时线段盖住的整点个数比线段的数目多1；②若点不是整点，则点也不是整点，此时线段盖住的整点个数与线段的数目相等．【解答】解：①若所画的长为1995厘米的线段的两个端点与均为整点时，此时线段盖住的整点个数是个；②若点不是整点，则点也不是整点，此时线段盖住的整点个数为1995个，所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995个；所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995或1996个．故选：．【点评】本题主要考查了数轴的知识．在解答过程中，主要采用了分类讨论的数学思想．6．（3分）方程的一组整数解、是A． B． C． D．【分析】将原式变形，假设，，得出，再将答案代入求出．【解答】解：设，均为整数，且满足．由，得，解出：，其中，故得，代入得，故原方程的通解为，，其中是任意整数．将，，，代入求得，排除，，．只有，代入成立．故选：．【点评】此题主要考查了二元一次方程的整数解的求法，关键是得出，题目比较典型．7．（3分）某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤元．A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3【分析】假设该同学买了3元一公斤的苹果公斤，2元一公斤的苹果公斤，则一共买苹果公斤．根据买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤2元的苹果，即两种苹果用的钱数相同，可列式．买苹果共花钱数买3元的苹果钱数买2元的苹果钱数该同学所买的苹果的平均价格．【解答】解：设该同学买了3元一公斤的苹果公斤，2元一公斤的苹果公斤．买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤2元的苹果，因而可得，即．该同学所买的苹果的平均价格（元故选：．【点评】本题考查二元一次方程组的应用．解决本题的关系是根据题意列出关系式，即．8．（3分）、、的大小关系如图所示，则的值是A． B．1 C． D．3【分析】根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可确定，即可确定，，的符号，根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0，即可去掉式子中的绝对值符号，即可进行化简．【解答】解：从图中可见，且，，所以，，，，所以，则，故选：．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．9．（3分）设，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】根据分子相同的数，分母越大，该数越小，可比较其大小，然后利用负数的性质可做出正确的选择．【解答】解：因为所以．，，．故选：．【点评】本题考查有理数的大小比较，因为这几个数分子相同，要先比较其分母的大小．10．（3分）某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是25道选择题，每题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中，至少要得A．80分 B．76分 C．75分 D．64分【分析】假设模拟考试中至少要得分，则在模拟考试中至少做对道题，做错或不会做的题至多是道题．在正式考试中要出现模拟考试中80分的试题，即道题．如果最坏的可能，即其余20分题道新题）某人全不会做，而且模拟考试中道失分的题又全出现在正式考试试题之中，并且该生在模拟考试后也没能复习纠错，仍按错误答案在正规考试中失分，知识该生只能从道题中取得及格分．【解答】解：设在模拟考试中至少要得分由题意列式解得．即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得80分．故选：．【点评】要做好本题一定理清思路，做错题的临界值要考虑最坏可能（其余20分新题某人全不会做，而且模拟考试中失分的题又全出现在正式考试试题之中），只要找准了这个地方，本题也即可解决．二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）11．（4分）计算：73.4．【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘除后加减，计算过程中注意正负符号的变化．【解答】解：原式，，，．【点评】本题考查的是有理数的运算能力，注意符号的变化．12．（4分）若，则化简的结果是．【分析】由，即可判断出，，继而去绝对值即可得出结果．【解答】解：，，．故答案为：．【点评】本题考查了绝对值的知识，属于基础题，难度不大，注意细心运算．13．（4分）某市举行环城自行车比赛，跑的路线一圈是6千米，甲车速是乙车速的，在出发后1小时10分钟时，甲，乙二人恰在行进中第二次相遇，则乙车比甲车每分钟多走千米．【分析】首先解设出乙的速度，进而表示出甲的速度，再利用甲，乙二人恰在行进中第二次相遇，得出乙追过甲两圈，进而列出等式方程求出即可．【解答】解：设乙速度为千米小时，则甲的速度是千米小时，甲、乙二人在进行中第二次相遇，乙追过甲两圈．所以：，解得：（千米小时），即乙车的速度为36千米小时，甲车的速度为：千米小时，乙车比甲车每分钟多走千米．故答案为：．【点评】此题主要考查了应用类问题，根据已知得出乙追过甲两圈得出等式方程是解题关键．14．（4分）如图，两条线段、将大长方形分成四个小长方形，其中面积是8，的面积是6，的面积是5．则阴影三角形的面积是．【分析】先用、、、表示4条边长，根据矩形面积公式，可得①，②，③，②③结合可求④，把④代入①，可求，而阴影面积等于，即可求．【解答】解：如图所示，根据题意得①，②，③，②③结合可求④，把④代入①，得，解得，又．故答案为：．【点评】本题考查了三角形面积、矩形面积、解方程的有关知识．注意等量代换是解此题的关键．15．（4分）若，则的负倒数是．【分析】，，，，，，，由此求得的值，即可求出负倒数．【解答】解：，的负倒数是．【点评】此题考查有理数的加减混合运算，认真审题，找出规律，是解决此类问题的关键所在．16．（4分）一次数学小测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小测验的成绩至多有11种可能的分数．【分析】可先设答对的有题，答错的就有题，从而可知测验的成绩，并根据题意可知的取值范围是，一共11个数，因此有11种情况．【解答】解：设答对的有题，答错的就有题，测验的成绩，且可知的取值范围是，一共11个数，故有11种情况．故答案是11．【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一个自变量取的值只有唯一一个应变量对应．17．（4分）已知、均为质数，并且存在两个正整数，，使得，，则的值为．【分析】根据质数的定义，根据，即可得到，只能一个为1，另一个为．再根据，而又是质数，即可求得，的值，从而求解．【解答】解：是质数，，所以，只能一个为1，另一个为．此时，而又是质数，只能，．即，一个是1，另一个是2．故答案是：．【点评】本题主要考查了质数的定义，正确确定，的值是解题关键．18．（4分）如图，已知中，，，在上取点，使得，量得，则的面积是．【分析】利用已知中，，，求得．可得为等腰直角三角形，四个等腰直角可以拼成以为边的一个正方形，再利用与是等高，即可求出即的面积．【解答】解：，，．即为等腰直角三角形，四个等腰直角可以拼成以为边的一个正方形，的面积，而与是等高，但底，的面积为面积的，即的面积为平方厘米．故填：．【点评】此题考查学生对等腰直角三角形和三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是理解四个等腰直角可以拼成以为边的一个正方形．19．（4分）若，则的末四位数字的和是24．【分析】直接将原式变形，进而得出原式，进而得出答案．【解答】解：的末位四位数字之和为．故答案为：24．【点评】此题主要考查了位数特征，正确得出数字变化规律再将原式变形是解题关键．20．（4分）用分别写有数字的四张卡片，可以排出不同的四位数，如1234，1342，4231，等等共24个，则其中可被22整除的四位数的和等于10912．【分析】由于能被22整除的四位数必须是偶数，所以末位数字是1，3的不能被22整除，又奇位数字和减去偶位数字和之差是11倍数者，原数为11的倍数，由此即可判断可被22整除的四位数的个数，然后求和即可求解．【解答】解：在由1，2，3，4组成的24个四位数中，末位数字是1，3的不能被22整除，这样的数共12个，而其余12个末位数字是偶数，有可能被22整除，它们是：1234，1324，1432，1342，2134，2314，3124，3412，3142，3214，4132，4312．由奇位数字和减去偶位数字和之差是11倍数者，原数为11的倍数，可知其中被11整除的只有1342，2134，3124，4312．即这四个数被22整除，它们的和是：．故答案为：10912．【点评】此题主要考查了整数的整除性问题，解题时分别利用了被2整除，被11整除的整数的特点，其中11整除的整数的特点是解题的关键，平时应用比较少