第5章空间直角坐标系及向量

第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面

在平面几何中，平面曲线看作平面上动点的几何轨迹.在空间解析几何中，空间曲面可以看成是空间中动点的几何轨迹.一、曲面方程的概念关于二次曲面的研究，有两个基本问题：(1)将一已知曲面看成空间动点的几何轨迹，建立该曲面的方程；(2)已知曲面的方程，研究该方程所表示的曲面的几何形状.

如果曲面S和方程F(x,y,z)=0之间存在下面关系：曲面S上的点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；而不在曲面上的点的坐标都不满足这个方程，就称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程.例1

建立球心在、半径为R的球面方程.解：设M(x,y,z)为球面上的任意一点，则点M满足条件：|M0M|=R即：方程(1)也可以写为:球面方程为:如果M0为原点，则(3)

显然，球面上的点满足这个方程；而不在球面上的点的坐标不满足这个方程，所以方程(1)就是以为球心，以R为半径的球面方程.例2方程表示怎样的曲面？解：经配方以后，方程可以写成与(1)式比较，可见球心在(－3,4,0)，半径为5表示一个球面:例3球的一条直径的两端为(1,－2,3)和(－3,4,1)，求此球面方程.解：首先，平面几何中关于定比分点及线段中点坐标的公式可以推广到空间中，所以球心的坐标为：所以球面方程为：两点间距离公式

一平面曲线C绕同一平面上的定直线L旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的轴.二、旋转曲面问题：设在yoz面上曲线C的方程为:F(y,z)=0，把曲线C绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，求这个旋转曲面方程.

此时，M0点的轨迹是在z=z0平面上，半径为|y0|的圆.所以点M与M0的z坐标相同，且它们到z轴的距离相等，即：(3)

因为M0点是在曲线C上，所以有F(y0,z0)=0.将(3)式代入F(y,z)=0,就得到M点坐标应满足的方程:此式为旋转曲面满足的方程.

同理，曲线C绕y轴旋转，所得到的旋转曲面方程为：

类似,xoy面上的曲线F(x,y)=0绕x轴旋转所得到的旋转曲面方程为：例4yoz坐标面上的直线,绕z轴旋转，试求所得旋转曲面方程.解：因为是yoz坐标面上的直线绕z轴旋转,故将z保持不变，y换成,则有:即所求旋转曲面方程:上式表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点.例5将xOz坐标面上的双曲线分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程.解:绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，它的方程为绕x轴所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面,它的方程为

平行于定直线,并沿曲线C移动的直线L形成的轨迹称为柱面，定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线.三、柱面

一般F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示柱面，其母线平行于z轴，准线为xOy面上的曲线C：F(x,y)=0

；

仅含x、z的方程:

F(x,z)=0

在空间表示母线平行于y轴的柱面.

同理，仅含y、z的方程:

F(y,z)=0

在空间表示母线平行于x轴的柱面；例6方程表示怎样的曲面？解：方程在xoy面上表示圆心在原点O、半径为R的圆.

在空间直角坐标系中，此方程不含z，仅含x、y，故此方程：表示母线平行于z轴的圆柱面，它的准线是xOy平面上的圆：例7方程x+y-1=0在空间直角坐标系中表示怎样的曲面？解：方程x+y-1=0在空间直角坐标系中代表一个平面，这平面实际上也是一个柱面，是以xOy平面上的直线x+y-1=0为准线，而母线平行于Oz轴的柱面.例8方程x2=4z表示怎样的柱面？解：方程中仅含x、z，故此柱面的母线平行于y轴，它们的准线为xOz平面上的抛物线x2=4z,这类柱面为抛物柱面.常见的母线平行于z轴的柱面及其方程有：方程称为母线平行于z轴的圆柱面；方程称为母线平行于z轴的椭圆柱面；方程称为母线平行于z轴的双曲柱面;方程y2=2px称为母线平行于z轴的抛物柱面.四、二次曲面

在空间直角坐标系中，空间曲面可以用方程F(x,y,z)=0来表示.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)的，则表示的曲面为平面，通常称平面为一次曲面.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些项为一次、零次)的，即方程F(x,y,z)=0为三元二次方程，则表示的曲面称为二次曲面.1、椭圆锥面

以垂直于z轴的平面z=t截此曲面,当t=0时得一点(0,0,0)；当t≠0时得平面z=t上的椭圆当t变化时，上式表示一族长短轴比例不变的椭圆.平面z=t与曲面F(x,y,z)=0的交线称为截痕.通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法.2、椭球面由方程所表示的曲面叫做椭球面，a、b、c叫做椭球面的半轴.

特征是：用坐标面或平行于坐标面的平面x=m(-a<m<a)，y=n(-b<n<b)，z=h(-c<z<c)截曲面所得的交线均为椭圆.

当a、b、c中有a=b或b=c或a=c时，即为旋转椭球面；当a=b=c时，即为球面.例9xoy坐标面上的椭圆，分别绕x、y轴旋转，试求所得旋转曲面方程.解：因为是xOy坐标面上的椭圆：绕x轴旋转，故x保持不变，而将y换成得到旋转曲面的方程为：

该曲面称为旋转椭球面.特征是：以平面x=h(-a<h<a)截该曲面得到的截痕曲线是圆，而分别以平面y=h(–b<h<b)、z=h(–b<h<b)截曲面所得的截痕为椭圆.

类似，该椭圆绕y轴旋转而得的旋转椭球面的方程为：

特征是：用xOz坐标面及平行于xOz坐标面的平面y=h(–a<h<a)截该曲面得到的截痕曲线是圆，而分别以平面x=h(–b<h<b)、z=h(–b<h<b)截曲面所得的截痕为椭圆.

把xOz面上的双曲线绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面

.把此旋转曲面沿y轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面.3、单叶双曲面

把xOz面上的双曲线绕x轴旋转，得旋转双叶双曲面.把此旋转曲面沿y轴方向伸缩倍，即得双叶双曲面.4、双叶双曲面5、椭圆抛物面

把xOz面上的双曲线绕z轴旋转，所得曲面叫做旋转抛物面

.此旋转曲面沿y轴方向伸缩倍，即得椭圆抛物面.例10

yOz坐标面上的抛物线绕z轴旋转，试求所得旋转曲面方程.解：该曲面称为旋转抛物面.yOz坐标面上的抛物线绕z轴旋转所得曲面的方程为:

其特征为：以平行于xOy坐标面的平面z=h(h>0)截曲面得到的截痕曲线是圆，而以xOz坐标面、yOz坐标面或平行于xOz坐标面、yOz坐标面的平面截曲面所得的交线，都是抛物线.当a>0时，旋转抛物面的开口向上.6、双曲抛物面所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.用平面z=h去截，截线为：

当z=h>0时，截线是双曲线，实轴平行于y轴,虚轴平行于x轴;

当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;

当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行