初中数学考点试卷

第一章集合与充要条件

本章内容在高考题中多以选择、填空形式出现，其分值占高考比例约5%左右，要求不高，难度不大。涉及

的知识点有:集合的有关概念与表示方法;集合间的关系;集合的运算;推出与充要条件.

§1-1集合及其运算

【考点】

1.理解集合、空集、子集、真子集、交集、并集、全集、补集的概念

2.理解属于、包含、相等关系的意义与符号

3.掌握集合的表示方法

4.掌握求集合的子集、交集、并集与补集

5.了解实数分类、常用数集的记号及关系

【复习指导】

一、实数分类

r<1）正有理数，0,负有理数

r正分数

-分数•

有理数一L负分数

「正整数I

(2)r(l)0J自然数

负整数

-整数「正奇数

「奇数.

L负奇数

「正偶数

L偶数-c

L负偶数

r正无理数

无理数（无限且不循环小数）-

L负无理数

质数:大于1的自然数，除去1和它自身没有其他约数的数

（2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,....）

二、集合概念

1.最解集合.元素的特性:确定性、互异性、无序性

2.元素与集合的关系:属于，不属于（匕任）

3.记住常用数集符号:N,N*（N+）ZZ*,Q,RRR*,R+（非负实数）

4.集合分类:有限集和无限集

5.集合的表示法:列举法;性质描述法A=卜|〃（耳｝

6.空集的特性：0,不包含任何元素，是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集,

0UA=A0nA=0,AW0,A\jB=0^A=B=0i

AnB=0n①A、3非空无公共元素；②A=0,B/0：③4工0,B=0；@A=B=0

三、集合间的关系

1.子集①定义:A中任一元素都是B的元素/------、

②记作:Aq8(A包含于8)或33A(5包含A)/、

③A=A(B\

2.真子集①定义:AqB,且3中至少有一个元素不属于A/\

②记作:A08或BOA(都表示A是8的真子集)I()j

③用文氏图表示集合间的关系：(见右图)\A/

④空集没有真子集\/

3.集合A中有〃个元素，则：，

①A的所有子集有2”个

②A的所有真子集有2"-1个

③A的所有非空真子集有2"-2个

④。中加个元素(/?>rri)，则满足Cq8qA的集合B有2n~m个

4.集合相等:元素完全相同,A=5;若且BqA,则A=8

5.集合传递性

①则AqC;②A08,B0C,则;A0C

③A±8,80C,则A0C;④A0优则A0c

四、集合运算

1.交集①定义:A与3有公共元素，AIB={X|XGAKVGB),若A与8无公共元素，则AI8=0

②性质：AIB=BIAMIA=A9A10=0

③若AqB,则AIB=A

④集合中元素的个数：|AI却=同+忸

2.并集①定义:所有元素并在一起，相同元素只记一个

②性质：AU8=8UAAUA二A,AU0=AM=A

③若Aq3,则AU8=8

④若406=0,则A=8=0

⑤集合中元素的个数：|个UB|=M+|B|TAIB\

3.分配律:AU(5IC)=(AUB)I(XUC)

AI(5UC)=(AIC)

4.补集①定义:食舀A={x|xwU且x任A}(可画图表示)

LAQU

②条件:A三U(A必须是全集U的子集)

③性质:AU食§A=U;4I酬=0;痴(o4)=Atg(/=0

解(41团=解4U食勖;fg(AU8)=解41食留B

注:集合符号在立体几何中的应用(点、线、面的关系)

【解题示例】

例1如果5={1卜=2〃+1,〃£2},7={不卜=42±1,2£2}那么()

(A)SuT(R)TuS(C.)S=T(D)S^T

解析:当应取0,±1,±2…时，有2〃+1=±1,±3,±5…,当女取0,±1,±2…时，有以+1=土1,±3,±5一・故选

(C).

例2如图所示,U是全集,M、P、S是U的3个子集，则阴影部分

所表示的集合是()

(A)(MI尸)1S(B)(MIP)US

(C)(MIP)IS⑼(MIP)U螂

解析:图中阴影部分在M和尸中，故必在中;但阴影部分又不在S中,则必在露S中,故在(MIP)IduS

中。故应选(C)

例3若集合A={1,3,X},B={X2/},4U8={1,3,X},则满足条件的实数了的个数有()

(A)l个(B)2个(C)3个(D)4个

分析:由AU8=jl,3,x}=A,知3口4,于是有f=3或者/=%

解得x=土百或者x=0或x=1,

若％=1，则与集合元素的互异性矛盾，

所以满足条件的实数x有3个,行、7、0,故选(C)。

例4已知集合4={(乂)，)|0¥72+〃=0},8={(乂)，)|/一①一0=0},若{(2,3)}工0413),则

a=__________,b=_________o

解析:・・・{(2,3)}=(AIB).•.(2,"Aa(,2)-8

2a-9+b=0a=-5

故・解得

4-3a-b=06=19

例5已知集合A={x||x+8|(x2-4)〈0},集合B为函数/(%)=1的定义域。

XJCI

Q求集合比(2)若A=8,求实数〃的取值范围。

解析：(1)由1+“；20得卜一(4+1)](十一24)」0团:-2々羊0,

又Q。vL・•・2a<a+l,.•.x<2a^!UNa+l,

.,.8={幻工〈幼或吟1+1}

⑵由卜+8|(12—4)40得上+8|=0或/—440,即1=一8或一24x42,

A={x|x=-8^c-2<x<2}

QAq8,・・・有以下三种情况：

①为>2,即这与相矛盾

②。+1£-8,即。三-9

_(2a>-8

③<，即-4<〃W-3

a+1<-2

综上所述，若A=&则实数。的取值范围为{。|。4一9或一4＜。＜一3},

2

例6已知4=卜次2一⑪+储一］9=0},B={x|log2(x-5x+8)=1},C={x|e，+2i,且

(AIB)U0,AIC=0，求实数Q的值。

解析：(AI8)00意即A、3有公共元素;AIC=0意即A、C无公共元素

Q8={2,3},C={<2}/.2",生A

把x=3代入可得：9—3。+。2-19=0,解得。二一2或5

当°=5时,A={2,3}与2纪4矛盾，舍去

当。=—2时,A={3,-5}符合条件，故。=-2。

【过关训练】

一、填空题

1.已知"={1|122},汽={幻X4封,若/0%=0,则实数2的取值范围是.

2.己知4=(划-1<1<2},8={划-2<尢41},则4口3=______.

3.已知A-|x|x2-px-q=o},B=卜|f+"_〃=o},且Api8={1},则A(J8=

4.满足条件{0,1}qM0{0,1,2,3,4}的集合M的个数为.

5.已知4={不,<3},8={幻]之-1},。={1524},则4^13=______,(AnB)|JC_____

6.已知不等式2or<l的解集是。，尸={x|x〈O},若。八条产二{x|Ovx<；,，则。=.

7.如图所示,U是全集，则图中阴影部分表示的集合是_________________________

8.二次方程x2-2x+2=0在实数范围内的解集是(3^^

9.已知集合4=2{2/+»,8={工一乂4卜且4=3,则-------------------

x=,y=.

10.已知全集U=N，且QA={0,1,2}，则A=_______.

11.设。乃£R,集合{1,〃+/?,〃}={(),2,6，则b-a=.

二、选择题

1.若a=l,A={x[x<&},则正确的是()

(A)〃0A(B){a}=0A(C){a}eA(0){a}^A

2.集合A={(x,y)|x+y=2},5={(x,y)|x-y=0}，则Ap|8=()

(A){(lJ)}⑻{1,1}

(C)(l,l)(D){lj

3.已知集合，/={123,4,5,6,7},A={2,457},R={3,4,5}M(喇U(〃曲等

于()

(A){1,6}⑻{4,5}

(C){1,2,3,4,5,7}(D){123,6,7}

4.已知集合4=b|尢=2已+1,1£^},3={工|工=2%-1,2£多},则一与3的关系是

()

(A)A=3(B)A0B

(C)AUB(D)以上都不对

5.已知集合4={直线},8={圆}，则下列说法正确的是()

(A)AI8=0(B)AI8含有一个元素

(C)4IB含有两个元素(D)以上三种均有可能

6.己知知={2,/一34+5,5},%={1,/一64+10,3}，且“nN={2,3},则〃等于

()

(A)l或2(8)2或4(C)2(D)l

7.集合A={2,3,5}的子集个数是()

(A)l(B)3(C)5(D)8

8.没全集U=/?,A={x|xv3},8={x|x<2}，则()

(A){x|2<x<3}(B){X|2<X<3}(c){x|x<2^cx>3}(D)R

9.第三象限内的所有点组成的集合是()

(A){(x,y)|x>0,y>0}(B){(x,y)I—>0}

(c){(x,y)|x<0,y<0}(D){(x,y)|孙voj

10.若集合尸={x|ox+8—x+2=0}是无限集，则实数久分的值分别是()

(A)a=-1,/?=2(B)a=l,b=-2

(C)a=l,b=2(D)a=-\yb=-2

11.下列关系式正确的是()

(A)0G{«}(B)〃q{a}(c)a=l,b=2(D)aw{a,Z?}

12.已知A={x|f-5%+6=0},5=卜|/2+2/-15=0}则4门3等于()

(A){2,3}(B){3}(C){2,-5}(D){2,3-5)

三、解答题

L没集合4={“丁=%2+]},8={y}=一丁+2%+3}，求40兄

2.没4={1,3,〃},8={1,。2一a+]}，且304,求4.

3.已知A/={a,4+d,a+2d},N={6。q,aq2}，其中〃=0,且M=乂求〃值.

4.没集合4={x|2f+3〃x+2=0},B={x|2f+x+q=0}，若AI8={g>,求A|J3.

5.已知集合4=3|0?+2工+1=0｝中至多有一个元素,求〃的值.

6.已知集合4=｛划一2（工＜5｝,8=｛幻加+1＜欠42〃7-1｝,若37人,求实数〃2的取值范围.

7.已知集合4=｛划/一2为一8〈0卜集合8=｛不上一。＜0｝.

⑴若An8=0，求。的取值范围;⑵若An4=A，求〃的取值范围.

§1-2充要条件

【考点】

掌握推出关系与充分必要条件

【复习指导】

1.准出与充分必要条件（注:推出关系具有传递性）

“如果p,那么q”为真，就说p能够推出g。

①〃=4（真）:p是g的充分条件，夕是p的必要条件.

②p=q且p即〃<=>4（p与q等价），则

p是q的充分且必要条件（充要条件）,q也是p的充要条件

③若p与q无推出关系:p是q的既不充分又不必要条件.

【解题示例】

例1设p：平面。内有两条直线平行于平面夕，夕:。//夕，则（）

（A）p是。的充分不必要条件.

（B）p是q的必要但不充分条件.

（Qp是q的充要条件.

（D）p即不是q的充分条件,也不是q的必要条件.

分析:由p=>4（假）“=p（真）

・••选（B）.

例2设〃:X是3的倍数,夕：X是6的倍数，则p是q的条件.

分析:・.・〃uq，p是q的必要条件

例3设机：x是等腰三角形,〃:x是正三角形，则〃是加的条件.

分析:・.・n=>m，〃是6的充分条件

例4己知p是4的充分条件,r是q的必要条件,s是r的充要条件，问

⑴s是p的什么条件？（2）q是s的什么条件？

分析:由p是q的充分条件，知〃=“（真）

由r是g的必要条件，知q=>厂（真j

由s是厂的充要条件，知sor（真）

:.〃=s,s是p的必要条件

q=s,q是s的充分条件

【过关训练】

1.用充分、必要、充要或既不充分又不必要填空

①x>3是x>5的条件.

②4=0且b=0是〃N+从=0的条件.

3“X是平行四边形"是"X是矩形”的条件.

④a=6是同=力的条件.

⑤“空间四点A8,C,。不在同一平面内”是“直线A3、CD异面”的条件

⑥a>0且。>0是。力>0的条件.

⑦"v0是a>0且bvO的条件.

⑧在AABC中,A8=AC是NB=NC的条件.

⑨〃>。>0是的条件

⑩a>b是>网的条件.

⑪〃>。是/<匕3的条件.

QA=0是418=0的条件.

2.滇空

（l；（x-l）（x+2）>0<=>.

⑵log?x=log2y的充要条件是.

(3)|H>5是x>5的条件.

⑷£>o是x工o的条件.

⑸'”是矩形”是“X是正方形”的条件.

⑹“直线，垂直于x轴”是“直线/的斜率不存在”的条件.

⑺AUB=0的充要条件是.

⑻直线a在平面。内，则直线机JLa是掰_La的条件.

3.选择题

（1MI8=A是4=8的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（2）xeZ是大£%的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑶log2x<0是XV1的（）条件.

（A）充分（B>必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑷直线aqa,则/J•。是/■14的（）条件.

（A）充分（B）必要（Q充要。）既不充分也不必要

⑸一次函数y=Ax+l是增函数是4>0的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑹m>0是加有平方根的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

⑺sina>sin4是a>夕的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（8）ua+b=2tn"是"机是。与力的等差中项”的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（9]“函数/（X）的定义域关于原点对称”是“〃X）是奇函数”的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

（10）sina=8S/是a+£=90°的（）条件

（A）充分（B）必要（C）充要（D）既不充分也不必要

4.如果A是8的充分条件,8是C的充要条件,C是。的必要条件，那么。是A的什么条件?

5.已知实数x的两个条件，甲：12一21-15<0,乙：|2工一5区1.试分析甲是乙的什条件?

【典型试题】

一、选择题

1.满足MUN={a力}的集合共有()

(A)7组(B)8组(C)9组(D)1C组

2.己知4={工£"|工(5},8={工£?/|/>1},则41B等于()

(A){1,2,3,5,4}⑻{2,3,4,5}

(C){2,3,4}(D){XG/?|I<X<5}

3.由坐标平面内不在坐标轴上的点所组成的集合是()

(A){(x,y)\xyw0}y}\x丰0}

(C){(x,y)\y^0}(D){(x,y)\xy=0}

4.己知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4}，那么集合MIN为()

(A)x=3,y=-1(B)(3,-l)

(C){3,-1}(D){(3,-1))

5.已知全集U=N，集合A={x|x=2/7,〃£N},B={x|x=4〃,〃eN},则()

(A)U=AU5(B)U=6MAU5

(C)U=AUdwB(D)U=胡4Utg/?

6.设全集U=R,若4=何04]<5},8=3工21},则等于皤411188等于()

(A){x|x>0)⑻或次25}

(C){x|x<lWcx>5}(D){X<1^CX>5)

7.已知集合〃={。,0},"={/|冗2-3X〈0»€?7},若知1Nw0,则a等于()

(A)l(B)2(C)l或2(D)8

8.下列说法错误的是()

(A)空集的子集就是它本身⑻空集没有真子集

(C)空集是任何集合的子集(D)空集是任何集合的真子集

9.已知p：X?之一乂/国=尢，则p是g的()

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(Q充要条件(D)既不充分又不必要条件

10.下列各题中P与g等价的是()

(A)p：X2-3=0q：X=6

(B)p：X是6的倍数/X是12的倍数

(0〃：办2+5+6=0(。wO)有实数根q:b2-^ac>^

(D)p:有一个角是60。的等腰三角形/正三角形

二、填空题

9

1.如果A={xeN|—eN},那么用列举法表示A=.

2.已知集合A={一条边长为1,一个角为40。的等腰三角形}中的元素个数有个.

3.已知工€{1,2,工2},则工=.

4.满足{2,3}工Mq{2,3,4,5}的M集合个数为.

5.数集{2。,/一々}中〃的取值范围是.

6.已知4={尤以22},3={处不工图,若418=0,则实数k的取值范围中正整数就.

7.已知全集U=R,集合A={x\x<-1或r>1},则6以=.

8./=,2是％=>的条件

9.向量ab=0是。_L6的条件.(为非零向量)

111UU

10.向量。//5是Q=〃?的条件.

三、解答题

1.没A={x|x2-2_r_3«0,xeZ},5={0,4,5},U={Mk-l|K4,xwZ}

⑴求6%4UB,A1duB.(2)求集合A的子集的个数.

2

2.已知A={y|y=f-4x+6,yG^|zB={y|y=-x-2x+7,ywN},求AIB.

3.已知4={%|2/+工+m=0},8=1|2/+依+2=0}，且AIB=，求AUB.

4对关于实数集A={x|f-2⑪+(4〃_3)=0},8={才工2一2亿¥+«2+々+2)=0},是否存在实

数%使AUB=0若《不存在，说明理由;若〃存在，求。的值.

5.没集合M=|(x,j)|y=x24-2xJ,A^=|(x,y)|y=x4-a}.^AfIN=0,求〃的取值范围.

6.已知A={x|〃z-1vxvwt+2|},3={x|x<1或x>5},若AI8=0,求m的取值范围.

【巩固训练】

一、选择题

1.集合A={x|j>3}M=Ji5，则

(A)«oA(B)a任A(C){«}cA(D){6f}GA

2.集合A={X\XGZ,R是3的倍数}fB=(x\xeZ,x是9的倍数}，则正确的是

(A)A0B(B)A=B(C)/1UB(D)AGB

3.A={-3,0,3},B={0}，则

(A)8为空集(B)3wA(C)80A(D)A08

4.条件p:sina=:a=30°,则p是q的()条件

(A)充分不必要(B)必要不充分

(C)充要(D)既不充分又不必要

5.集合A有5个元素,A所有非空子集个数是()个

(A)32(B)31(C)30(D)25

6.A={X£Z|3X2—X=0},则

(C)A={0}(D)Ah0,；

(A)A=0(B)A=0

7.x>0是.~>0的()条件

(A)充分不必要(B)必要不充分

(Q充要(D)既不充分又不必要

8.集合4="|工>0},5={幻工之0},则413=

(A){x|x>0}(B){x|x>0}(C){0}(D)0

9若。=1,4={1|1<&},则正确的是

(A)a0A(B){a}0A(c){a}eA(D){a}^A

io.下列正确的是

(A)30{3}(B)3G{3}(C)30{1,2,3}(D)3G0

11.尤=丁是炉=外的()条件

(A)充分不必要⑻必要不充分

(C)充要(D)既不充分又不必要

12.设全集U=R，集合4={%|』<3},8={%|x<2},则41CuB=

(A){x[24x<3}(B){A|2<x<3)

(C){x|xv2或xi3}(D)R

13.设p:x<Lq:->1,则p是9的()条件

x

(A)充分不必要(B)必要不充分

(Q充要(D)既不充分又不必要

14.集合A={0,2,5,8}的子集共有()个

(A)4(B)8(C)15(D)16

15.设p:平面〃内有两条直线平行于平面p.q:allp.则p是g的()条件

(A)充分不必要⑻必要不充分

(C)充要(D)既不充分又不必要

16.若集合A={1,2},B={2,3},C={1,3}，则集合41(8UC)=()

(A)0(B){1}©{1,2}⑼{1,2,3}

17.设集合A={G，y)|2x-y=4},3={(工,>)|工一2丁=5},则AIB=()

(A){1,-2}(B)(l,-2)(C){(1,-2)}(D){(-2,1)}

18.设集合4={-1,0},8={X£N|X<J5}』IJAIB=()

(A){-1,0}⑻{0,1}(C){O}(D){-1,0,1}

19.<<(x+2)(x-l)>0w是ux>\n的()条件

(A)充分不必要(B)必要不充分

(Q充要(D)既不充分又不必要

20.已知集合A={-1,0,1},B={0,1,2},则AIB=()

(A){0,1}⑻{-1,0,1,2}(C)O,1(D){-1,2}

21.设集合4={幻工<3},3={幻工:>一1},则41B=

(A)(0,1,2)(B){x|-l<x<3}

(C){x|xv3垢>-1}(D)0

22.2若集合411吕=31C,则必有

(A)AcC(B)CaA(C)AwC(D)A=0

二、填蠢

1.{4〃|刀£Z}U{4〃+21〃cZ}

2.A={奇数},8={偶数}，则AIB,AUB=

3./={2,4,/_〃+1},A={2,々+1},8={7},AUB=/，则”

4.全集U=Z,A={xwN|x>I0}l={x£N|xN3pUjC〃(AU8)=

5.全集U={X|XGZ,X>0)，则CuN*=

6.集合A={xwZ|0<x<4},5={2,3,4,5,6}，则AIB=

7.[/=/?M={X|-2<X<3},则Ck4=

8.设集合4={冗|一1<%42},8={0一2<：工(1},则/11B=

9.没集合A={x|f-x-2=0},8={x[f+x-2v0}，则AIB=

10.已知全集U=N,集合CuA={1,2,3,4,…},则集合A=

11.用列举法表示:小于10的所有质数组成的集合.

12.用描述法表示:第一象限内的所有点组成的集合.

三、解答题

1.已知全集17={0,1,2,3,4,5,6},集合4={0,1,4,6},集合8={1,3,5,6},求：

(1MIB,AUB;(2)CtiA;(3)Cw(AUfi).

2.全集0=/?,4={乂X<5},3="次2-2},求41BtA\JB.CuA.CuB.

3.已知集合A={x|or2—6x+3=0}中只有一个元素，求。的值.

4.己知集合A={(x,y)|2x_y+3=0},8={(x,y)|x+y_9=0}，求AIB.

第二章不等式

本章内容在高考中多以选择、填空形式出现，其分值约占高考比例5%左右。要求同学们掌握不等式的基

本性质，熟练掌握一元二次不等式、绝对值不等式的解法。另外，由于不等式与其他知识联系紧密，具有一定的

“工具性”，如求函数定义域、值域,确定函数的最大值与最小值，二次函数的△等等。因此，是近几年来高考的

重点和热点.

§2-1不等式的性质与证明

【考点】

L了解不等式的概念.

2.掌握实数大小的基本性质，不等式的重要性质.

3.能利用不等式的性质进行推理、求值、确定范围.

4.会用作差比较法证明不等式.

【复习指导】

一、不等式的性质

1.实数的大小比较基本性质(作差比较法)

@a-b>O^>a>b

®a—b=O<=>a=b

®a—b<O<^>a<b

2.不等式的性质

⑴传递性

@a>b,b>c=>a>c@a>b,b>c=>a>c

@a>b,b>c=>a>c@a>b,b>c^>a>c

(2)加法性质

①a>/?=a+c>b+c

②移项:a+

③a>b,c>d=>a+c>b+d

⑶乘法性质

®a>b,c>O=>ac>bc

②a>b,cvO=acvbc,(注意:乘以负数要改变不等号的方向!)

③a>b>O,c>d>Onac>bd

变形题①avbvO,cvdvO，则ac>bd.

®a<b<O,c>d>0,^ac<bd.

⑷倒数

®a>b>0=>0<—<—②0>a>Z?=>—<—<0®a>O>b=>—>0>—

ababab

(5)乘方(n为大于1的正整数)

a>b>0=>an>hna>b>0=板>物

(6)a2+b2>2ab(a,beR)

二、不等式的证明

作差法(证明格式、完全平方、配方法、构造思想)

【解题示例】

例1已知。〈人〈0,则()

A.[4<|4B.a2<trc.y<1D.a3<b3

答案:选D

例2比较大小,用〉,v,2,W填空.

①已知a+则与十与______—+

b2a2ab

@(x-3)2(x-2)(x-4);@x2+y2+22x+4y-3；

@72oi2-V2oTTV20TT-V2010；

⑤若a>b,m<Q,m[a-c)m(b-c).

(答案:①2;②〉;③弄④v；⑤v)

例3若0<。<],一]</<0,则。一夕的取值范围是o答案：(0,4)

例4若时>0,且。〉力，则有()

1111,.2

(A)->-(B)-<-[C)a2>b2(D)a2<b

abab

解答:本题可综合运用分类讨论法，举特例法、排除法，选8.

例5若Ovav〃〈加，则不列不等式成立的是()

n-ann+ann-an+a

(A)<—<------(B)—<<------

m—arnin+amtn—arn+a

n+ann+an-an

(C)----<一<(D)-----<-----<一

m+atntn-am+atn-atn

解析:可采用特殊值法，令a=\,n=2fm=3，代入求值验证，选A.

例6若xwy,求证：d+寸>/,+孙3

证明：Qx4+y4-(x3y+Ay3)=x3(x-y)-y3(x-y)

=(x-y)p-y3)

二(x-y)2，+孙+丁)

二(f)2[+?+])，

又Qxwy/.(x-j)2>0Jx+-y4/>o

k2)4

33

故/+炉>xy+xy

点评:运用作差比较法证明不等式时，常用到因式分解、公式变形、配方法等.

【过关训练】

一、选择题

1.不等式①/+2>2。,②/+从22(。一人一1)，③。2+/>。力恒成立的个数是

(A)0(B)l(C)2(D)3

2.若avOv。,则下列关系正确的是

(A)"(B)ab<a2<b

(C)-^—>-(D)/g仿一〃)>O

b-aa

3.已知av1,则成立的不等式是

(A)->1(B)a2<]

a

(C)/<1(D)同<1

4.已知则----+-----的值是

b-cc-a

(A)正数(B)非正数

(Q负数(D)非负数

5.已知avOvO,下列不成立的是

11

(A)a2<ab(c)\a\>b\(D)a2>b2

ah

6.已知©"CER,则下列命题成立的是

.o!?ab,

(A)a>。=ac~>bc~(B)—>—=>a>b

cc

(C)a3>b\ab>0^>-<-(D)a?>b2,ab>0^>-<-

abab

7.若a、〃是任意实数，且a>6,则

(A)a2>b2(B)-<1

a

(C)/g(tz-Z?)>0<g)

8.刀>1是一<1的

X

(A)充分条件(B卜必要条件

(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件

9.己知av匕v0,则下列不等式中正确的是

<>fb(B)x/^a<4-b

⑹后<后(D)V-a<>/^b

10.已知a>A,那么->-成立的充要条件是

ab

(A)a>"0(B)bvavO

(C)a>O>Z?(D)O</?<a<1

二、填空题

1.比较大小：(x+61(x+5)(x+7)

2.若一则a-夕的范围是.

3.已知〃>2力>2,则a+b与出?的大小关系是

4.若1cxv10,a=(/g=/g寸,c=/g(/gx),则〃，4c的大小关系是

5.若2v6v3,则L的范围是.

m

6.〃>6且am<Zwt,则m的取值范围是.

7.0vxvl是的条件.

x

8./>从是|d|>网的条件.

9.a，B都是锐角，且cosa>cos/?,则a与p的大小关系是.

mtn+1

10.m,n都是正整数，且m>n，比较大小:一________________.

n〃+1

三、解答题

1.求证:①/+Z?2+l>2(«/?+a-Z?),@a2+6+1Nab+a-b,(提示:两边乘以2)③

a2+b2+c2>ab+bc-{-ca

2.已知〃、bwR；求证〃3+//>〃2%+〃力2

3.已知〃、b£R”,试比较一^H—尸与的大小.

\fbyla

4.若XVy<0,试比较(d+y2)(x_y)与(12-y2)(x+y)的大小.

5.设集合4={#一2<“<1},3={刈。一1«工《2。+1},且304,求。的取值范围.

6.已知一1«机<4,一3K〃V6,求m+2n和2〃一3，〃的范围.

7.己知6<8,2</?<3,分别求：〃+/?；〃一匕；出?;3的范围.

b

§2-2不等式的解法

【考点】

1.理解不等式的解集与区间的关系.

2.掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式、绝对值不等式的解法.

3.了解不等式与不等式组在解实际问题中的应用.

【复习指导】

一、解集与区间(〃<。)(注:不0能写成区间)

©a<x<Z?<=>[«,/?]®a<x<Z?<=>(«,/?)®a<x<b<^>[a,b)

®a<x</?<=>(«,/?]⑥x>ao(a,+oo)

⑦x<a<=>(/a]⑧X《40(-OOM]@XG/?<=>(-oo,+oo)

⑩无=a<=>（-00,a）U（〃，+00）

二、一元一次不等式（组）

1.不等式n（。〉0时）或冗<〃（。<0时，注意变向）

a

2.不等式组（同大取大，同小取小，大于小小于大取中间,小于小大于大无解刑0）

三、一元二次不等式:达标一求根一定解

1.之标:保证二次项系数为正，化为标准形式:加+法+c>0（〃>0）

—4〃c

2.求根:求对应二次方程的根（囚式分解、求根公式大=—b—+喂Jb?———）

2a

3.定解:大于取两根之外，小于取两根之间;用数轴表示.

4.解法:因式分解法（“十字相乘法”卜区间分析法、图像法、△判别法.

5.图像法解题步骤：

①先变二次项系