2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省示范性高中高二下学期2月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若f′x0=−2，则limA.−1 B.−2 C.1 D.22.已知A机器中有7个娃娃，B机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从A，B机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有(

)A.15种 B.30种 C.45种 D.56种3.若数列an满足an+1=3an−1，则称an为“对奇数列”.已知bA.3×22024 B.22025 C.2×4.已知点C的坐标为1,1，动点P满足PC=22，O为坐标原点，则OP的最大值为A.42 B.32 C.5.从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛，则选出的3人中既有男生又有女生的概率为(

)A.110 B.310 C.356.将4个相同的商品放在A，B，C，D4个空货架上，则有且仅有2个货架上有商品的放法有(

)A.18种 B.20种 C.24种 D.120种7.设F1，F2为椭圆C:y2+x2n=10<n<1的两个焦点，若在CA.12,1 B.22,1 8.已知函数fx与f′x的定义域均为R，且fx与fx+1−2均为奇函数，A.f2025=4050 B.f′x的图象关于直线x=1对称

C.f′二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题

B.分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情

C.分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题

D.求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题10.已知点A2,3，B4,−5到直线l的距离相等，且l过点P1,0，则l的方程可能是A.x+y−1=0 B.4x+y−4=0 C.2x+y−2=0 D.x+2y−1=011.如图，阴影部分(含边界)所示的四叶图是由抛物线C:y2=2pxp>0绕其顶点分别逆时针旋转90∘，180∘，270∘A.开口向上的抛物线的方程为y=14x2

B.四叶图上的点到点O的距离的最大值为42

C.动直线x+y=t三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若C16x=C162x+1x∈13.已知反比例函数y=2x的图象是双曲线，则这个双曲线的离心率为

．14.已知a>0，若在函数fx=eax2−x+1,x≥0xax2+1,x<0，的图象上存在4个点四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列an的通项公式为an=3n−1，bn是公比为qq>0(1)求bn(2)设an与bn的公共项由小到大排列构成新数列cn，求cn的前516.(本小题12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，P为DF的中点．(1)证明：BF//平面APC；(2)求直线EC与平面APC所成角的正弦值．17.(本小题12分)已知椭圆E:x25+y2b2=10<b<5的左、右焦点分别为F1(1)求E的方程；(2)过点t,0作斜率为1的直线交E于A，B两点，设点A、B关于y轴的对称点分别为D、C，当四边形ABCD的面积为553时，求直线18.(本小题12分)已知函数fx=−xex(1)讨论fx(2)若当x∈1,+∞时，fx与gx(3)若当a∈0,1e时，gxx∈0,e19.(本小题12分)已知函数fx=sin(1)求an(2)从an的前nn≥2项中随机选出不同的两项相乘，所得结果为偶数的概率记为Pn，问：是否存在正整数M，使得当n≥M时，恒有P(3)若bn=−1n+1an，且数列bn的前n参考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.D

6.A

7.B

8.D

9.AC

10.BD

11.ABD

12.5

13.214.0,115.【详解】(1)因为b2=2，所以2+2q+2q2=14，解得q=2(所以bn(2)设an的第m项与bn的第则am=bk，即当k=1时，m=23∉N∗，当k=2当k=3时，m=53∉N∗，当k=4当k=5时，m=173∉N∗，当k=6当k=7时，m=653∉N∗，当k=8当k=9时，m=2573∉N∗，当k=10故S5

16.【详解】(1)如图，连接BD，交AC于点O，连接PO．因为四边形ABCD为矩形，所以OB=OD，因为P，O分别为DF和DB的中点，所以BF//PO，又PO⊂平面APC，BF⊄平面APC，所以BF//平面APC．(2)因为AF⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD，以A为坐标原点，AB，AD，AF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0，C1,2,0，E1AC=1,2,0，AP=设平面APC的法向量为m=则m⋅AC=x+2y=0,m⋅AP=y+设直线EC与平面APC所成的角为θ，则sinθ=所以直线EC与平面APC所成角的正弦值为2

17.【详解】(1)设F1−c,0，F2c,0，c>0.由因为△F1MF2由b2+c2=5bc=2得b4−5b所以b=1c=2或b=2c=1，结合c>b，可得b=1c=2，所以E(2)由题意得直线AB的方程为y=x−t，设Ax1,由A，B关于y轴的对称点分别为D，C，构成四边形ABCD，可知点A，B位于y轴同侧，则四边形ABCD的面积2x将y=x−t代入x25+则x1+x且Δ=100t2−24所以x1整理得t4−6t2+9=0所以直线AB的方程为y=x+3或

18.【详解】(1)由题可知fx的定义域R，f′令f′x=0，可得当x∈−∞,1时，f′x<0，当x∈所以fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞(2)由(I)可知gx在1,+∞即g′x=ln即a≤lnxx令px=lnxx可得当x∈1,e时，p′x>0，当x∈所以px在区间1,e上单调递增，在区间e,+∞上单调递减，且p又x∈1,+∞时，px所以a≤0，即实数a的取值范围是−∞,0．(3)由题可知g′x=令tx=lnx−ax，因为0<x≤e，0≤a<1e，所以所以g′x在0,e又g′1=−a≤0，所以存在唯一的x0∈1,e，使得g′x0当x∈0,x0时，g′x<0，gx单调递减，当所以gx令qx=xlnx所以qx在1,e所以qe<qx≤q1所以−e

19.【详解】(1)因为fx所以令fx=0，可得πx=kπ，k∈Z，解得x=k，则fx的所有正零点可表示为x=n，n∈故an的通项公式为a(2)从an的前n项中随机选出不同的两项相乘，共有C设事件A=“不同的两项相乘，所得乘积为偶数”，则A=“不同的两项相乘，所得乘积为奇数”，可知P当n为偶数时，前n项中有n2个奇数，n易得当n=2时，P2当n>2时，即从n2个奇数中任取2个不同的奇数，共有C则1−Pn=由Pn<56，可得由n为偶数，可得n≥6．当nn≥3为奇数时，前n项中有n+12个奇数，则两项均为奇数，即从