2023年吉林省长春市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年吉林省长春市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.滑轮半径r=0．2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A，如图所示。已知滑轮绕轴0的转动规律φ=0．15t3rad，其中t单位为s，当t=2s时，轮缘上M点的速度、加速度和物体A的速度、加速度计算不正确的是()。

A.M点的速度为vM=0．36m／s

B.M点的加速度为aM=0．648m／s2

C.物体A的速度为vA=0．36m／s

D.物体A的加速度为aA=0．36m／s2

3.

4.

5.

6.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)＞0，则f(x)在(0，1)内A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

7.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

8.

9.

10.A.A.为所给方程的解，但不是通解

B.为所给方程的解，但不－定是通解

C.为所给方程的通解

D.不为所给方程的解

11.

12.

13.下列关系式正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

14.

15.

16.

17.A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx

18.

19.

20.下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点

C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点

D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

二、填空题(20题)21.y'=x的通解为______．22.

23.

24.

25.

26.

27.设f(x)=xex，则f'(x)__________。

28.29.

30.

31.

32.

33.

34.35.36.37.

38.设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．

39.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。40.三、计算题(20题)41.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．42.43.证明：44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．45.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．46.47.48.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

49.

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.求微分方程的通解．52.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则53.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．54.

55.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56.

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

59.

60.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．四、解答题(10题)61.展开成x-1的幂级数，并指明收敛区间(不考虑端点)。

62.求微分方程y"-3y'+2y=0的通解。

63.

64.设65.66.设z=z(x，y)由方程e2-xy+y+z=0确定，求dz．

67.

68.求微分方程y"-y'-2y=ex的通解。

69.

70.

五、高等数学(0题)71.微分方程xdy—ydx=0的通解是________。

六、解答题(0题)72.设存在，求f(x)．

参考答案

1.C

2.B

3.A

4.A

5.D解析：

6.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)内单调增加。因此选B。

7.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

8.D

9.A解析：

10.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

11.D

12.B

13.C本题考查的知识点为定积分的对称性．

14.B

15.C解析：

16.D解析：

17.D

18.A解析：

19.C

20.D解析：由极值的必要条件知D正确。

y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。

y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。

21.本题考查的知识点为：求解可分离变量的微分方程．

由于y'=x，可知

22.1

23.

24.

解析：

25.

26.

27.(1+x)ex

28.

29.解析：

30.

31.+∞(发散)+∞(发散)

32.

33.34.本题考查的知识点为重要极限公式。

35.36.1/2

本题考查的知识点为计算二重积分．

其积分区域如图1—1阴影区域所示．

可利用二重积分的几何意义或将二重积分化为二次积分解之．

解法1

解法2化为先对y积分，后对x积分的二次积分．

作平行于y轴的直线与区域D相交，沿Y轴正向看，人口曲线为y＝x，作为积分下限；出口曲线为y＝1，作为积分上限，因此

x≤y≤1．

区域D在x轴上的投影最小值为x＝0，最大值为x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化为先对x积分，后对y积分的二次积分．

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正向看，入口曲线为x＝0，作为积分下限；出口曲线为x＝y，作为积分上限，因此

0≤x≤y．

区域D在y轴上投影的最小值为y＝0，最大值为y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知37.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

38.

39.

40.e2

41.

列表：

说明

42.

43.

44.

45.由二重积分物理意义知

46.

47.

48.

49.

50.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

51.52.由等价无穷小量的定义可知

53.

54.

则

55.函数的定义域为

注意

56.由一阶线性微分方程通解公式有

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％58.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

59.

60.

61.

62.y"-3y'+2y=0特征方程为r2-3r+2=0(r-1)(r-2)=0。特征根为r1=1r2=2。方程的通解为y=C1ex+C2e2x。y"-3y'+2y=0，特征方程为r2-3r+2=0，(r-1)(r-2)=0。特征根为r1=1，r2=2。方程的通解为y=C1ex+C2e2x。

63.

64.本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导．

只需依公式，先分别求出即可．

65.

66.

；本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分．

求二元隐函数的偏导数有两种方法：

(1)利用隐函数偏导数公式：若F(x，y，z)=0确定z=z(x，y)，F'z≠0，则

67.

68.

69.

70.

71.∵xdy一ydx=0；即

∴lny=Inx+lnc；y=cx∵xdy一ydx=0；即

∴lny=Inx+