2025年内蒙古农大附属秋实中学中考数学模拟试卷

第1页（共1页）2025年内蒙古农大附属秋实中学中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共有8小题，1题一6题每题2分，7、8题3分，共18分.）1．（2分）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹2．（2分）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次，数据765000000用科学记数法表示为（）A．0.765×109 B．7.65×108 C．76.5×107 D．7.65×1063．（2分）《多收了三五斗》是我国著名作家叶圣陶创作的短篇小说，文中的“斗”是我国古代称量粮食的器具．如图1是一个口大底小无盖方形的“斗”，将它按图2方式摆放后的俯视图为（）A． B． C． D．4．（2分）下列各式计算正确的是（）A．3x+x＝4x2 B．（﹣a）2•a6＝﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）＝y2（y≠0） D．（a2b3c）2＝a4b6c5．（2分）如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，函数y＝的图象经过点C，则菱形OABC的面积为（）A．15 B．20 C．29 D．246．（2分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，若，AB＝6，则AF的长为（）A．2 B． C．3 D．48．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D在折线ACB上运动，垂足为E．设AE＝x，S△ADE＝y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共有8小题，9题一14题每题2分，15、16题3分，共18分）9．（2分）张老师上班途中要经过1个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，张老师希望上班经过路口是绿灯．10．（2分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°的长为cm（结果保留π）．11．（2分）若x+y＝3，xy＝2，则x﹣y+xy2的值是．12．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BD⊥AC，垂足为D，以大于AB的长度m为半径作弧，以同样大小为半径作弧，两弧交点分别为E，F，直线EF与AC交于点G，则AB与DG的比是．13．（2分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，斜边长为c，若b﹣a＝4，则每个直角三角形的面积为．14．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，D是BC的中点，分别以B，BD长为半径作弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积是．15．（3分）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，经过分钟时，两仓库快递件数相同．16．（3分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”（a，2a）就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），过点M（5，4）、N（﹣1，n），n的取值范围为．三、解答题17．（8分）（1）计算：（﹣）﹣1+×﹣2cos30°﹣|2﹣|；（2）化简求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．18．（7分）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理．（1）填空：平均数/min中位数/min众数/min方差/min2A7069.5①②B72③6914（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由．19．（8分）为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1），45cm，且它们互相垂直，AD∥BC，如图（2）．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76≈4.00，，）（1）求车架档AD的长；（2）求车链横档AB的长．20．（8分）中考临近，七一中学、七一华源中学食堂为提高全体初三学子伙食，精心购买A、B两种食材共600kg，当B食材购买量不大于300kg时，B食材的价格为每千克9元，每增加10kg，B食材的价格降低0.1元．设购买B种食材xkg（x为10的整数倍）．（1）若x＜300，购买A、B两种食材共花了3800元，求A、B两种食材各多少千克？（2）若x＞300，且购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，求购买A种食材多少千克时，最少总费用是多少元？（3）若购买A食材不超过mkg（m＜250），购买B食材超过300kg，商家获得的最大销售额为4000元21．（12分）【感知特例】（1）如图1，点A，B在直线l上，DB⊥l，垂足分别为A，B，且PC⊥PD，垂足为P．结论：AC•BD＝AP•BP（请将下列证明过程补充完整）证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，.+∠APC＝90°，∴＝，（同角的余角相等）∴△APC∽，（两角分别相等的两个三角形相似）∴＝，（相似三角形的对应边成比例）即AC•BD＝AP•BP．【建构模型】（2）如图2，点A，B在直线l上，且∠CAP＝∠DBP＝∠CPD．结论AC•BD＝AP•BP仍成立吗？请说明理由．【解决问题】（3）如图3，在△ABC中，AC＝BC＝5，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点（0＜x＜8），当x＝时，BD有最大值是．22．（9分）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P.102习题12作了深入研讨．【教材原题】如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于C（1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB．那么CD为⊙O的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据．（2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记AD与⊙O交于E，三条线段AE，AB有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由．（3）【应用尝试】奇思小组同学提出，若AD+AB＝18，CD＝423．（12分）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔AO，三条缆索L1，L2，L3，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索L1，L2，L3的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，桥面OC＝1200m，锚碇D到索塔OA的距离OD＝400m1的最低点P到桥面OC的距离为20m．（1）求缆索L1所在抛物线的表达式；（2）同一直角坐标系中，缆索L2所在抛物线的表达式为．①求b，c的值；②为了加固桥梁，计划在索塔OA左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为150m．要使两根吊杆的长度之和最小

2025年内蒙古农大附属秋实中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DB．ACBACA一、选择题（本大题共有8小题，1题一6题每题2分，7、8题3分，共18分.）1．（2分）纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹【解答】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形；B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C是轴对称图形，也是中心对称图形；D不是轴对称图形，但它是中心对称图形；故选：D．2．（2分）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次，数据765000000用科学记数法表示为（）A．0.765×109 B．7.65×108 C．76.5×107 D．7.65×106【解答】解：765000000＝7.65×108．故选：B．3．（2分）《多收了三五斗》是我国著名作家叶圣陶创作的短篇小说，文中的“斗”是我国古代称量粮食的器具．如图1是一个口大底小无盖方形的“斗”，将它按图2方式摆放后的俯视图为（）A． B． C． D．【解答】解：根据图形可知，俯视图为：．故选：A．4．（2分）下列各式计算正确的是（）A．3x+x＝4x2 B．（﹣a）2•a6＝﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）＝y2（y≠0） D．（a2b3c）2＝a4b6c【解答】解：A、3x+x＝4x；B、（﹣a）5•a6＝a8，故此选项错误；C、（﹣y）7÷（﹣y）＝y2（y≠0），故此选项正确；D、（a4b3c）2＝a8b6c2，故此选项错误；故选：C．5．（2分）如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，函数y＝的图象经过点C，则菱形OABC的面积为（）A．15 B．20 C．29 D．24【解答】解：∵CD⊥x轴，垂足为D的图象经过点C，∴S△OCD＝6，∵CD＝4，∴，即OD＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝5，S菱形＝OA×CD＝5×3＝20．故选：B．6．（2分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，＝×，故选：A．7．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，若，AB＝6，则AF的长为（）A．2 B． C．3 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴AB∥DC，AB＝DC＝6，∵点F在直线AB上，∴AF∥DC，∴△AFE∽△DCE，∵＝，∴＝＝，∴AF＝DC＝，故选C．8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D在折线ACB上运动，垂足为E．设AE＝x，S△ADE＝y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意得，AC＝，当点D与点C重合时，DE＝，此时AE＝，当0＜x≤4时，△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴y＝AE•DE＝x＝x2，此抛物线开口方向向上；当4＜x＜4时，△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴DE＝10﹣2x，y＝AE•DE＝2+5x，此抛物线开口方向向下；故符合题意的图象是选项A．故选：A．二、填空题（本大题共有8小题，9题一14题每题2分，15、16题3分，共18分）9．（2分）张老师上班途中要经过1个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，张老师希望上班经过路口是绿灯．【解答】解：张老师上班经过路口是绿灯的机会是：＝＝，故答案为：．10．（2分）如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°的长为18πcm（结果保留π）．【解答】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长＝，故答案为：18π．11．（2分）若x+y＝3，xy＝2，则x﹣y+xy2的值是3．【解答】解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x﹣y+xy6＝x﹣y+（xy）y＝x﹣y+2y＝x+y＝3．故答案为：2．12．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BD⊥AC，垂足为D，以大于AB的长度m为半径作弧，以同样大小为半径作弧，两弧交点分别为E，F，直线EF与AC交于点G，则AB与DG的比是2．【解答】解：由题意得，EF为AB的垂直平分线，∵∠B＝90°，∴G为AB的中点，连接BG，∴AG＝BG＝CG，∵BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，∴sinA＝sin∠DBC＝，∴＝，设DC＝x，则BC＝2x，∴CG＝5x，AB＝＝x，DG＝CG﹣CD＝x，∴．故答案为：2．13．（2分）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，斜边长为c，若b﹣a＝4，则每个直角三角形的面积为96．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c3，∴且a，解得，∴每个直角三角形的面积为ab＝，故答案为：96．14．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，D是BC的中点，分别以B，BD长为半径作弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积是11π．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠B+∠C＝110°，∵BC＝12，D是BC的中点，∴BD＝CD＝6，∴图中阴影部分的面积是＝11π．故答案为：11π．15．（3分）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，经过20分钟时，两仓库快递件数相同．【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k2+40＝400，解得k1＝6，∴y6＝6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k4x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，∴y2＝﹣7x+240，联立，解得，∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．故答案为：2016．（3分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”（a，2a）就是“友好点”，若二次函数图象的顶点为“友好点”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+2就是“友好二次函数”，若“友好二次函数”的图象过点（﹣2，8），过点M（5，4）、N（﹣1，n），n的取值范围为或n＝4．【解答】解：设“友好二次函数”的解析式为，由条件可知，解得h1＝8，h2＝﹣14，∵h＞0，∴h＝3，∴，∵N（﹣7，n），∴点N在直线x＝﹣1上运动，设直线x＝﹣1与“友好二次函数”交于点C，当x＝﹣1时，，∴，∵二次函数的顶点为（2，∵M（2，4），∴当点N的坐标为（﹣1，2）时、M与抛物线顶点共线且与二次函数，即n＝5；当点N在点C上方时，线段MN与抛物线有且只有一个交点，即；∴当线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，n的取值范围为．故答案为：或n＝4．三、解答题17．（8分）（1）计算：（﹣）﹣1+×﹣2cos30°﹣|2﹣|；（2）化简求值：（﹣x+1）÷，其中x＝．【解答】解：（1）原式＝﹣2+×3×﹣2+＝﹣2+2﹣﹣2+＝﹣8；（2）原式＝（﹣）÷＝÷＝•＝﹣x（x+5）＝﹣x2﹣x，当x＝时，原式＝﹣2﹣．18．（7分）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理．（1）填空：平均数/min中位数/min众数/min方差/min2A7069.5①72②17.8B72③716914（2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由．【解答】解：（1）A组数据为64、66、68、70、72、80，则其众数为72，方差为2+（66﹣70）5+（67﹣70）2+（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+3×（72﹣70）7+（80﹣70）2]＝17.8，B组数据为68、69、69、72、74、80，所以其中位数为＝71，故答案为：72、17.8；（2）B款无人机运行时间更有优势，∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机，∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）．19．（8分）为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1），45cm，且它们互相垂直，AD∥BC，如图（2）．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76≈4.00，，）（1）求车架档AD的长；（2）求车链横档AB的长．【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，AC＝45cm，∴AD＝＝45，∴车架档AD的长为63.5cm；（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，∵AC＝45cm，CD＝45cm，∴∠CAD＝∠ADC＝45°，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∴tan∠ACB＝2，设BH＝CH＝x，AH＝45﹣x，则tan76°＝≈4，解得；x＝36，∴BH＝36，AH＝9，∴AB＝＝＝9，7答：车链横档AB的长约为37.5cm．20．（8分）中考临近，七一中学、七一华源中学食堂为提高全体初三学子伙食，精心购买A、B两种食材共600kg，当B食材购买量不大于300kg时，B食材的价格为每千克9元，每增加10kg，B食材的价格降低0.1元．设购买B种食材xkg（x为10的整数倍）．（1）若x＜300，购买A、B两种食材共花了3800元，求A、B两种食材各多少千克？（2）若x＞300，且购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，求购买A种食材多少千克时，最少总费用是多少元？（3）若购买A食材不超过mkg（m＜250），购买B食材超过300kg，商家获得的最大销售额为4000元【解答】解：由于购买B种食材x千克，则购买A种食材（600﹣x）千克，（1）当x＜300时，购买B种食材的价格为每千克9元，由题意得5（600﹣x）十7x＝3800，解得：x＝200，则600﹣x＝600﹣200＝400，答：购买A种食材400千克，B种食材200千克；（2）当x＞300时，购买B种食材的价格为每千克（9﹣，设购买的总费用为w元，由题意得w＝5（600﹣x）+（9﹣）x，整理得w＝﹣0.01x7+7x+3000，即w是x的二次函数，其对称轴为直线x＝﹣，∵且x为10的整数倍，∴300＜x≤400且x为10的整数倍，∵﹣0.01＜0，∴函数图象开口向下，当300＜x＜350时，当350＜x≤400时，∵x为10的整数倍，∴当x＝400时，w有最小值3+7×400十3000＝4200，此时600﹣x＝600﹣400＝200，∴购买A种食材200千克时，购买的总费用最少；（3）由题意，结合（2）可得2+2x十3000＝4000，解得：x1＝200，x2＝500，∵购买B食材超过300千克，∴x＝200应舍去，只取x＝500，∴m＝600﹣500＝100．21．（12分）【感知特例】（1）如图1，点A，B在直线l上，DB⊥l，垂足分别为A，B，且PC⊥PD，垂足为P．结论：AC•BD＝AP•BP（请将下列证明过程补充完整）证明：∵AC⊥l，BD⊥l，PC⊥PD∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，∠DPB.+∠APC＝90°，∴∠C＝∠DPB，（同角的余角相等）∴△APC∽△BDP，（两角分别相等的两个三角形相似）∴＝，（相似三角形的对应边成比例）即AC•BD＝AP•BP．【建构模型】（2）如图2，点A，B在直线l上，且∠CAP＝∠DBP＝∠CPD．结论AC•BD＝AP•BP仍成立吗？请说明理由．【解决问题】（3）如图3，在△ABC中，AC＝BC＝5，点P和点D分别是线段AB，BC上的动点（0＜x＜8），当x＝4时，BD有最大值是．【解答】（1）证明：∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠CAP＝∠DBP＝∠CPD＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，∠DPB+∠APC＝90°，∴∠C＝∠DPB（同角的余角相等），∴△APC∽△BDP（两角分别相等的两个三角形相似），∴＝（相似三角形的对应边成比例），即AC•BD＝AP•BP．故答案为：∠DPB，∠C＝∠DPB，＝；（2）解：成立，理由如下：∵∠C+∠CPA＝180’﹣∠CAP，∠CPA+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∵∠CAP＝∠CPD，∴∠C＝∠BPD，∵∠CAP＝∠DBP，∴△APC∽△BDP（两角分别相等的两个三角形相似），∴＝（相似三角形的对应边成比例），∴AC•BD＝AP•BP；（3）解：∵AB＝8，AP＝x，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣x，∵AC＝BC＝7，∴∠A＝∠B，∵∠CPD+∠BPD＝∠A+∠ACP，∴∠BPD＝∠ACP，∴△BPD∽△ACP，∴＝，∴AC•BD＝AP•BP，∴5BD＝x（8﹣x）＝5x﹣x2，∴BD＝﹣（x﹣4）2+，当x＝4时，BD的最大值为．故答案为：2，．22．（9分）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P.102习题12作了深入研讨．【教材原题】如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于C（1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB．那么CD为⊙O的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据．（2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记AD与⊙O交于E，三条线段AE，AB有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由．（3）【应用尝试】奇思小组同学提出，若AD+AB＝18，CD＝4【解答】【教材原题】证明：如图1，连接OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵CD与⊙O相切于C，∴CD⊥OC于点C，∵AD⊥CD于点D，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC平分∠DAB．（1）解：这个命题是真命题，依据：如图1，连接OC，∴∠OCA＝∠BAC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥CD于点D，∴∠D＝90°，∴∠OCD＝180°﹣∠D＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，∴CD为⊙O的切线，∴这个命题是真命题．（2）解：AE+4DE＝AB，理由：如图2，在AB上截取AF＝AE、CE，作CH⊥AB于点H，∵AC平分∠DAB，∴∠EAC＝∠BAC，∴＝，∴CE＝CB，∵CD⊥AD，CH⊥AB，∴∠D＝∠CHB＝90°，CD＝CH，∴Rt△CED≌Rt△CBH（HL），∴DE＝HB，∠CED＝∠B，∵AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，∴