2024-2025学年下学期初中数学人教新版八年级同步经典题精练之平行四边形

第23页（共23页）2024-2025学年下学期初中数学人教新版八年级同步经典题精练之平行四边形一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°2．（2024秋•长春校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（）A．15 B．11 C．20 D．523．（2025•山东模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2DM，BM平分∠ABC，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝3cm，则AB的长为（）A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm4．（2024秋•丽水期末）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE•AF的值是（）A．122 B．62 C．12 D5．（2024秋•钢城区期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm二．填空题（共5小题）6．（2024秋•建湖县期末）如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为cm．7．（2024秋•重庆期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝AC，对角线AC，BD交于点O，点M是CD的中点，OM＝1，则△ABCD的周长为．8．（2024秋•西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为．9．（2024秋•潍坊期末）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝．10．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•长春校级期末）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，则四边形ABCD的面积为．12．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．13．（2024秋•紫金县期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．14．（2024秋•钢城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）线段PD＝；CQ＝；QE＝（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？15．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．

2024-2025学年下学期初中数学人教新版八年级同步经典题精练之平行四边形参考答案与试题解析题号12345答案AADAB一．选择题（共5小题）1．（2024秋•长春校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°【考点】平行四边形的判定．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】A【分析】由AB∥CD，AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A符合题意；由AB∥CD，AD＝BC，可知四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，而不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断B不符合题意；由AB∥CD，AB＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由AB∥CD，得∠B+∠C＝180°，可知由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意；∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故B不符合题意；∵由AB∥CD，AB＝BC，不能推导出AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故D不符合题意，故选：A．【点评】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解和运用平行四边形的判定定理是解题的关键．2．（2024秋•长春校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（）A．15 B．11 C．20 D．52【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】由∠ADC的平分线DE交BC于点E，得∠ADE＝∠CDE，由平行四边形的性质得CD＝AB＝11，AD∥BC，则∠ADE＝∠CED，所以∠CDE＝∠CED，则CE＝CD＝11，求得AD＝CB＝CE+BE＝15，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠ADC的平分线DE交BC于点E，∴∠ADE＝∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝11，∴CD＝AB＝11，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝11，∵BE＝4，∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15，故选：A．【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠CDE＝∠CED是解题的关键．3．（2025•山东模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2DM，BM平分∠ABC，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝3cm，则AB的长为（）A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm【考点】平行四边形的性质；三角形中位线定理．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】D【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，∴EF是△BCM的中位线，∵EF＝3cm，∴BC＝2EF＝6cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6cm，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠MBC，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠MBC，∴∠AMB＝∠ABM，∴AM＝AB，∵AM＝2MD，∴AM＝AB=23AD＝4故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．4．（2024秋•丽水期末）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE•AF的值是（）A．122 B．62 C．12 D【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性质求出AH=22AB＝22，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC＝6，由三角形面积公式得到DE•AF＝AD•AH＝12【解答】解：过A作AH⊥BC于H，∵∠B＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=22AB=22×∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AF⊥DE，∴△EAD的面积=12AD•AH=12∴DE•AF＝6×22=122故选：A．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到AD•AH＝DE•AF．5．（2024秋•钢城区期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm【考点】三角形中位线定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：∵E、F分别为AB、AC的中点，EF＝35cm，∴BC＝2EF＝70（cm），∴点B距离地面的高度为70cm．故选：B．【点评】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•建湖县期末）如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为60cm．【考点】三角形中位线定理．【专题】三角形；推理能力；应用意识．【答案】60．【分析】判断出OM是△ABE的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE＝2OM．【解答】解：∵O是AB的中点，OM垂直于地面，BE垂直于地面，∴OM∥BE，∴OM是△ABE的中位线，∴BE＝2OM＝2×30＝60（cm），另一端B离地面的高度为60cm，故答案为：60．【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟记定理是解题的关键．7．（2024秋•重庆期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝AC，对角线AC，BD交于点O，点M是CD的中点，OM＝1，则△ABCD的周长为8．【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】8．【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用三角形中位线定理得出BC＝2OM，进而利用等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，AB＝CD，OB＝OD，∵点M是CD的中点，∴OM是△DBC的中位线，∴BC＝2OM＝2，∵∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∴▱ABCD的周长＝2×4＝8，故答案为：8．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OB＝OD解答．8．（2024秋•西山区校级期末）如图，若平行四边形ABCD的周长为22cm，AC，BD相交于点O且BD为5cm，则△ABD的周长为16cm．【考点】平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．【答案】16cm．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，CD＝AB，求出AD+AB＝11cm，再结合BD＝5cm即可解答．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为22cm，∴AD＝BC，CD＝AB，AD+AB+BC+CD＝22cm，∴AD+AB＝11cm，∵AC，BD相交于点O且BD为5cm，∴△ABD的周长为：AD+AB+BD＝11+5＝16（cm），故答案为：16cm．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．9．（2024秋•潍坊期末）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝2cm．【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】2cm．【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题．【解答】解：在▱ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝DAE，∵AD∥BC，∴∠BEA＝DAE，∴∠BAE＝BAE，∴BE＝AB＝3cm，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），故答案为：2cm．【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB．10．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥CD，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接CE．已知AC＝6，BD＝10，则△CDE的周长是4+213．【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】4+213．【分析】由平行四边形的性质得OC＝OA=12AC＝3，OD＝OB=12BD＝5，而AC⊥CD，OE⊥AC，则∠ACD＝90°，AE＝CE，所以CD=OD2-OC2=4，则AD=AC2+CD2=2【解答】解：∵四边ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝10，∴OC＝OA=12AC＝3，OD＝OB=12∵AC⊥CD，OE⊥AC，∴∠ACD＝90°，AE＝CE，∴CD=OD∴AD=AC2∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE＝AE=12AD∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+13+13∴故答案为：4+213．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，证明DE＝CE＝AE是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•长春校级期末）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，则四边形ABCD的面积为44．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）44．【分析】（1）证△ABF≌△CDE（SAS），得AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，再证AB∥CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得出结论．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠CED＝∠AFB＝90°，在△ABF和△CDE中，AF=∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵CF＝3，EF＝5，∴AC＝AE+EF+CF＝11，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×12×11×4故答案为：44．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．12．（2024秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F．证明BE＝CF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】证明见解答．【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC，则∠ABE＝∠C，而∠E＝∠DFC＝90°，即可根据“AAS“证明△ABE≌△DCF，则BE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠C，∵AE⊥BC且交CB的延长线于点E，DF⊥BC于点F，∴∠E＝∠DFC＝90°，在△ABE和△DCF中，∠E∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCF是解题的关键．13．（2024秋•紫金县期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四边形BEDF的面积．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）23．【分析】（1）根据“SAS”及平行四边形的性质证明；（2）根据勾股定理及平行四边形的判定和性质求解．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，∵E，F分别为边AB，CD的中点，∴AE=12AB，CF=∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，AD=∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）解：∵∠ADB＝90°，E，为边AB的中点，∴DE=12AB＝∴AB＝4，∴AD=AB2∴S△ABD=12AD•DB＝2∴S△BDE=3在▱ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD，∵E，F分别为边AB，CD的中点，∴AE=12AB，CF=∴AE＝CF，∴四边形BEDF为平行四边形，∴S▱BEDF＝2S△BDE＝23．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．14．（2024秋•钢城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）线段PD＝6﹣t；CQ＝2t；QE＝8﹣2t（0＜t＜4）或2t﹣8（4＜t＜6）（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？【考点】平行四边形的判定；列代数式．【专题】行程问题；整式；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】（1）6﹣t，2t，8﹣2t（0＜t＜4）或2t﹣8（4＜t＜6）；（2）当t＝2或t=143时，以点P，Q，E，【分析】（1）AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，得PD＝6﹣AP，BE＝CE＝8，则QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，而CQ＝2t，AP＝t，则PD＝6﹣t；若点Q与点E重合，则2t＝8，求得t＝4；若点P与点D重合，则t＝6，所以当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，于是得到问题的答案；（2）由PD∥QE，可知当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，再分两种情况讨论，一是当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t；二是当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，解方程求出相应的t值即可．【解答】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，∴PD＝6﹣AP，BE＝CE=12BC＝∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，∴AP＝t，∴PD＝6﹣t；∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，∴CQ＝2t，若点Q与点E重合，则2t＝8，解得t＝4；若点P与点D重合，则t＝6，当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8．（2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，∴PD∥QE，∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2；当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，解得t=14综上所述，当t＝2或t=143时，以点P，Q，E，【点评】此题重点考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键．15．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）△ACE的面积是85．【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，因为延长CD至点E，使CD＝DE，所以AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABDE是平行四边形；（2）连接OE，由▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，得OA＝OC=12AC＝4，由AC平分∠BAE，得∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，则∠EAC＝∠ECA，所以AE＝CE＝6，则OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE=AE2-OA2=25，则S【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵延长CD至点E，使CD＝DE，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）解：连接OE，∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，∴OA＝OC=12AC＝∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE＝6，∴OE⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴OE=AE2∴S△ACE=12AC•OE=12×8×∴△ACE的面积是85．【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．

考点卡片1．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．2．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．3．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．4．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE6．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．7．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．8．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相