高中数学 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积基础巩固 北师大版必修2

【成才之路】-学年高中数学1.7.1柱、锥、台的侧面展开与面积基础巩固北师大版必修2一、选择题1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是()A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4[答案]B[解析]设圆柱的底面半径为r，母线长为l，依题意得l＝2r，而S侧面积＝2πrl，S表面积＝2πr2＋2πrl，∴S侧面积∶S表面积＝2πrl：(2πr2＋2πrl)＝2∶3，故选B.2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积是()A．eq\f(3＋\r(3),4)a2 B．eq\f(3,4)a2C．eq\f(3＋3\r(3),2)a2 D．eq\f(6＋\r(3),4)a2[答案]A[解析]因为底面边长为a，则斜高为eq\f(a,2)，故S侧＝3×eq\f(1,2)a×eq\f(a,2)＝eq\f(3,4)a2.而S底＝eq\f(\r(3),4)a2，故S表＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8[答案]C[解析]设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l＝eq\f(1,2)(r＋R)，又32π＝π(r＋R)l＝2πl2，∴l2＝16，∴l＝4.4．半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是()A．14cm B．12cmC．10cm D．8cm[答案]B[解析]设圆锥的底面半径为r，则eq\f(r,15)·360°＝216°解得r＝9，∴圆锥的高是h＝eq\r(152－92)＝12(cm)．5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)[答案]B[解析]本题主要考查三视图的基本知识．利用面积公式．由三视图知，四棱锥为正四棱锥，四个侧面为四个全等的三角形，由图知三角形的高h＝2eq\r(2)，S′＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×4＝16eq\r(2)，所以表面积为S′＋4×4＝16eq\r(2)＋16.6．(·安徽理，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18[答案]A[解析]本题考查三视图还原为直观图，几何体的表面积计算．如图，还原直观图为边长为2的正方体截去两个角，S表＝2×2×6－eq\f(1,2)×1×1×6＋eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×2＝21＋eq\r(3).正确画出直观图是解题关键．二、填空题7．轴截面是正方形的圆柱，轴截面面积为S，则它的全面积是________．[答案]eq\f(3,2)πS[解析]设圆柱的母线长为a，则a2＝S，所以a＝eq\r(S).设底面圆半径为r，则2r＝a＝eq\r(S)，所以r＝eq\f(\r(S),2).所以圆柱的全面积为2·πr2＋2πr·a＝2π·(eq\f(\r(S),2))2＋2π·eq\f(\r(S),2)·eq\r(S)＝eq\f(3,2)πS.8．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为________．[答案]eq\f(5,2)[解析]方程x2－9x＋18＝0的两个根为x1＝3，x2＝6，设侧面梯形的高为h，则由题意得eq\f(1,2)×(3＋6)·h×4＝32＋62，h＝eq\f(5,2).三、解答题9．一个直棱柱的底面为菱形，对角面面积分别为Q1、Q2，求直四棱柱的侧面积．[解析]如图所示，设底面边长为a，侧棱长为l，两条底面对角线的长分别为c，d，即BD＝c，AC＝d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c·l＝Q1，①,d·l＝Q2，②,\f(1,2)c2＋\f(1,2)d2＝a2.③))由①得c＝eq\f(Q1,l)，由②得d＝eq\f(Q2,l)，代入③，得(eq\f(Q1,2l))2＋(eq\f(Q2,2l))2＝a2，∴Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)＝4l2a2，∴2la＝eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2)).∴S侧＝4al＝2eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2)).一、选择题1．正六棱柱的高为5cm，最长的对角线为13cm，则它的侧面积为()A．180cm2 B．160cm2C．80cm2 D．60cm2[答案]A[解析]设正六棱柱的底面边长为a，则底面上最长对角线长2a，∴正六棱柱最长对角线长为eq\r(52＋4a2)＝13，∴a＝6，S侧＝6a×5＝180.2．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]如图所示∵半圆弧长为πl，圆锥的底面圆周长为2πr，∴πl＝2πr，∴r＝eq\f(1,2)l，在Rt△PBO中，∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°.二、填空题3．已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________cm，侧面积为________cm2，全面积为________cm2.[答案]43248[解析]如图所示，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴斜高h′＝PE＝eq\f(OE,sin30°)＝eq\f(2,\f(1,2))＝4cm.∴S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32cm2，S正棱锥全＝42＋32＝48cm2.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[答案]38[解析]本题考查三视图知识及表面积求法．根据三视图还原后的几何体为一个长方体中挖去一个圆柱，此长方体长、宽、高为3、4、1，圆柱底面半径为1，高为1，∴S＝2(3×4＋3×1＋4×1)－2π＋2π×1×1＝38.注意根据三视图还原后的几何体形状．三、解答题5．如图是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，问需要油漆多少千克？(尺寸如图，单位：米，π取3.14，结果精确到0.01千克)[解析]建筑物为一组合体，上面是底面半径为3米，母线长为5米的圆锥，下面是底面边长为3米，高为4米的正四棱柱．圆锥的表面积＝πr2＋πrl≈3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36.四棱柱的一个底面积＝32＝9，四棱柱的侧面积＝4×4×3＝48.所以外壁面积S≈75.36－9＋48＝114.36(平方米)．故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．答：共需约22.88千克油漆．6．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．[解析]如图所示，在梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足为M，则DM＝4，MC＝5－2＝3，在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝eq\r(32＋42)＝5.在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设它们的面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π×42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.7．如图是某几何体的三视图，(1)你能想象出它的几何结构并画出它的直观图吗？(2)根据三视图的有关数据(单位：mm)，计算这个几何体的表面积．[解析](1)由三视图可知这个几何体是由两个圆柱夹一个圆台组成的，其中下面圆柱底面直径为60mm，母线长40mm，中间圆台上、下底直径分别为40mm，60mm，高为20mm，上面圆柱的底面直径为20mm，高为40mm，其直观图如图所示．(2)由三视图可知圆台母线长l＝eq\r(202＋102)＝10eq\r(5)(mm)．∴所求的表面积S＝S下圆柱下底＋S下圆柱侧＋S圆台侧＋(S圆台上底－S上圆柱下底)＋S上圆柱侧＋S上圆柱上底＝π(eq\