河北省南宫中学等四校2022-2023学年数学高一年级上册期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1.奇函数/(x)在(一8,0)上单调递增，若八一1)=0,则不等式/(x)V0的解集是.

A.(-oo,-l)U(0,1)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(-b0)U(0,1)D.(-L0)U(l,4-00)

2.若函数/(刈=2'+夕2-'-％为R上的奇函数，则实数。的值为()

A.-lB.-2

C.lD.2

3.若则x的可能值为()

A.OB.0,1

C.0,2D.0,1,2

4.已知圆GV+7+2尸0与过点力(1,0)的直线J有公共点，则直线I斜率4的取值范围是()

r_v|0立叵

C.-*D.[-1,1]

5.如图，在直角梯形ABCD中，ABA.BC,AD=DC=2,CB=y/2,动点尸从点4出发，由ATOTC—8沿边运动,

点尸在A5上的射影为Q.设点尸运动的路程为x,AAP0的面积为山贝!ly=I/a)的图象大致是()

6.函数y=Jl—x+」一的定义域是(

x+1

A.(^o,-l)U(l,+oo)B.(T1)

C.(-oo,—l)U(-hl)D.(-oo,-1)U(-l,1]

7,已知点p（3,—4）是角1的终边上一点，则sina-cosa=（）

B.

8.某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生

人数多300人，现在用分层抽样的方法抽取的样本容量为35,则应抽取高一学生人数为（）

A.8B.11

C.16D.10

9.已知直线/J•平面。，直线加u平面夕，给出下列命题：

①a〃B=I②a工0=1〃m③/〃加④/_L加=a〃4其中正确命题的序号是

A.①③B.②③④

C.®®③D.@@

|x+l|,x<0,

10.设函数/(x)=<若关于x的方程/（x）=。有四个不同的解N，X?，Xy，X4，且XV%2＜七〈工4,则

|log4x|,x)0,

/、1

工3（%+々）+-1-的取值范围是

/与

77

7

C.（-l,+℃）D.（-oo,-］

2

11.设h,c表示两条直线，a,£表示两个平面，则下列命题正确的是

A.若bua,dla,则c//bB.若bua,bile,则c//tz

C.若cua,aLp,则c_L4D.若cua,cL/3,则。，/7

12.函数的定义域为D,若满足；⑴“X）在D内是单调函数；⑵存在［“力］G。，（〃＜为使得“X）在同

上的值域也是可，则称y=/(x)为闭函数；若/(x)=A+4是闭函数，则实数Z的取值范围是()

1

A.-1-B.一一,+8

I42

11

D-一5'一7

二、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.已知A,B,C为AABC的内角.

(1)若tanA=-2,求tan8TanC的取值范围;

ARC

(2)求证：tan2—I-tan2——I-tan2—>1；

222

(3)设/夕,7£0,一,且tana=tan—•tan—,tan/?=tan—­tan—,tan/=tan—•tan—,求证:

222222

6sin2a+6sin2/?+6sin2y>sin2a+sin2月+sin2/

14.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4,y)是角。终边上一点，且sin9=-竽,则y=.

15.两平行线x+3y—4=0与2x+6y+12=0的距离是

Jx—41

16.函数'二千厂二+;―--K的定义域为——

|x|-5log3(^x-3)

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.已知全集。=如集合A=„+px+i2=o},集合8=卜,-5x+q=()}

(1)若集合A中只有一个元素，求夕的值；

(2)若AcB={3},求AUB

18.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A、B在y轴的正半轴上，点c(x,o)在x轴的正半轴上.若

|0A|-6,|(9B|-4

(1)求向量声，砺夹角的正切值

(2)问点C在什么位置时，向量场，丽夹角最大？

19.已知函数/(x)=2cosx(百sinx+cosx)-l.

(1)求“X)的周期和单调区间;

Q(兀兀'

(2)若/(a)=—,ae，求cos2a的值.

5142)

20.从某校随机抽取100名学生，调查他们一学期内参加社团活动的次数，整理得到的频数分布表和频率分布直方图

如下：

组号分组频数

1［。，2)6

2[2,4)8

3[4,6)17

4[6闾22

5[8,10)25

6[10,12)12

7[12,14)6

8[14,16)2

9[16,18)2

合计100

(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率；

⑵求频率分布直方图中的a、b的值；

(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次

数

21.已知函数f(x)=k)g2g(x)+7nx(znGR)

(1)若函数g(x)=2'+l,且为偶函数，求实数加的值;

⑵若加=0,^(x)=(a-l)x2+ax+a(aGR),且/(x)的值域为R,求。的取值范围

22.已知函数/(X)=以2+/?xxe[0,2],其中。<0,b>0.

(D若布+人之0,求函数f(x)的最大值；

9

(2)若.f(x)在[0,2]上的最大值为6，最小值为-2,试求a，b的值.

8

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，共60分)

1、A

【解析】考点：奇偶性与单调性的综合

分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果

解：根据题意，可作出函数图象：

二不等式f(x)VO的解集是(-00,-1)U(0,1)

故选A

2、A

【解析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有/(0)=0,可求得答案.

【详解】函数"X)=2’+。•2-x为R上的奇函数，

故/⑼=1+。=0,得。=-1，

当a=T时，/(X)=2、一2一、一》满足/(-%)=一/(x),

即此时/(x)=2'一2一'-x为奇函数，

故。=一1,

故选：A

3、C

【解析】根据xe{l,2,f},分1=1,%=2,x=V讨论求解.

【详解】因为万€卜,2,/},

当x=l时，集合为{1,2,1},不成立；

当x=2时，集合为{1,2,4},成立；

当x=V时，则x=l(舍去)或x=0,

当x=0时，集合为{1,2,0}

故选：C

4、B

【解析】利用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系直接求解

【详解】根据题意得，圆心(-1,0),r=L

设直线方程为y-0=4(x-1),即Ax-y-4=0

圆心到直线的距离<*<—

42+133

故选8

【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题

5、D

【解析】结合尸点的运动轨迹以及二次函数，三角形的面积公式判断即可

【详解】解：尸点在上时，AAP。是等腰直角三角形，

此时/(x)(0<X<2)是二次函数，排除A,B,

2224

尸在OC上时，尸。不变，A0增加，是递增的一次函数，排除C,

故选。

【点睛】本题考查了数形结合思想，考查二次函数以及三角形的面积问题，是一道基础题

6、D

【解析】由函数解析式有意义可得出关于实数x的不等式组，由此可求得原函数的定义域.

【详解】函数y=JH+」一有意义，只需1一x»()且x+1/O,解得且X。—1

x+1

因此，函数y=J匚7+占的定义域为(―8,-1)。(一1』.

故选：D.

1、A

【解析】利用三角函数的定义可求得结果.

【详解】由三角函数的定义可得己--

sina-cosa=「.—、’、=——

y3-+(-4>5

故选：A.

8、A

【解析】先求出高一学生的人数，再利用抽样比，即可得到答案；

【详解】设高一学生的人数为X人，则高二学生人数为x+3(X),高三学生人数为2x,

x+2x+x+300-3500=x=800，

故选：A

9、A

【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.

【详解】②若a_L£,贝I"与加不一定平行，还可能为相交和异面；④若则a与/不一定平行，还可能是相

交.

故选A.

【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、

垂直的性质定理和判断定理.

10、A

【解析】画出函数/（尤）的图像，通过观察“力的图像与。的交点，利用对称性求得％与W的关系，根据对数函

数的性质得到七与Z的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.

【详解】画出函数/（x）的图像如下图所示，根据对称性可知，再和々关于尤=一1对称，故为+々=-2.由于

|logX=log;，故二1=%，%3,%=1.令10g-=1,解得X=1,所以占61-1

444+*=3+工,

x4

【点睛】本小题主要考查函数的对称性，考查对数函数的性质，以及函数图像的交点问题，还考查了利用函数的单调

性求函数的值域的方法，属于中档题.

11、D

【解析】对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理.

【详解】对A,c与人可能异面，故A错；对B,c•可能在平面a内

对C,C与平面力可能平行，故C错；对D,面面垂直判定定理，故选D.

【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可.

12、C

【解析】先判定函数/（X）的单调性，然后根据条件建立方程组，转化为使方程f—X-左=0有两个相异的非负实根，最

后建立关于k的不等式，解之即可.

【详解】因为函数/。）=左+6是单调递增函数,

所以,即/（劝=》有两个相异非负实根，

所以（石尸-五-左=o有两个相异非负实根,

令所以产一，一左=。有两个相异非负实根,

令g(f)=r-t-k

g（0）>01

则1-4皿）>0廨得人（」

故选C.

【点睛】本题考查了函数与方程,二次方程实根的分布，转化法,属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；

山口ABBCCA

（2）先证明tan—tan——Ftan—tan-4-tan-tan—=1,

222222

2

再由不等式/+〃2_|_c>"+AC+QC证明即可；

（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.

【小问1详解】

tanA=-2,

.・•史。为锐角,

tanB>0,tanC>0

tanB+tanC

2=-tanA=tan(B+C)=

1-tanfi-tanC

2〉2VtanB-tanC

1-tanB-tanC

-4>4tangtanC

(1-tanBtanC)^

解得0<tanBtanCW±N5,当且仅当3=C时，等号成立,

2

(3-V5

即tanBtanCG0,--------

2

【小问2详解】

RAC

在AABC中'5+，+5=9。。,

二.tan—tan(—i—)=1

222

ABBCCA

tan—tan—+tan—tan——i-tan—tan—

222222

=tad(tad+ta£+tan3anC

22222

BQACAC

=tan—H—)(1—tan—tan—)+tan—tan—

222222

=Ian3a£taW

2222

=1

2A、BAB,CCBA,CC

•：tan-——i-tan'—>2tan—tan—,tan'——ktan-—>2tan—tan—,tan2-——Ftan'—>2tantan—

22222222222

2A、B2。、A6BCCA,

tarr——Ftan-——Ftan-—>tan—tan——Ftan—tan——ktan—tan—=1.

222222222

【小问3详解】

由(2)知tana+tan，+tan/=1

.2tan2a._2tana

•.・sina-----；-,sin2a=--------；一

1+tan~a1+tan~a

/.6sin2ez+6sin2/7+6sin2y>sin2a+sin2〃+sin2/

ctan2a。tan2B八tan2ytanatan/3tan/

=3--------+3-------^-+3-------y-2-----------o------0)

1+tan"a1+tan~pl+tan"/1+tan-a1+tan/1+tarry

令x=tana,y=tan人z=tany,

3x2-x3y2-y+3z,2-z

原不等式等价为>0,

1+x21+/1+z2

X1

・・;二；

•yX+1力在（。/）上为增函数,

.・嗤台1＞山

同理可得,

y(3)」D3z(3z-l)3

>—(3y-l)>—(3z-l),

/+110'z2+110

x(3x—l)y(3y—1)z(3z—1)

x2+1y2+\z2+1

3y2_y3Z2-Z

1+x2+1+y2*1+1NO成立,

问题得证.

a2a2o2

【点睛】本题第3问的证明需要用至Utana+tan，+tany=l,换元后转换为+上:E+1二3o,再构

1+x1+y1+z

造不等式里二DN±；（3X-1）是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.

x+110

14、-8

【解析】答案：-8.解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限

角。疝"油7=岑"1

15、Vio

（解析】直接根据两平行线间的距离公式得到平行线x+3y-4=0与x+3y+6=（）的距离为:

|10|l

V1+9

故答案为加.

16、（4,5）u（5,-Ko）

【解析】本题首先可以通过分式的分母不能为。以及根式的被开方数大于等于0来列出不等式组，然后通过计算得出

结果

x-420

【详解】由题意可知（国―5x0,解得4cx<5或者x>5,

log3（x-3）^0

故定义域为（4,5）U（5，+8）

【点睛】本题考查函数的定义域的相关性质，主要考查函数定义域的判断，考查计算能力，考查方程思想，是简单题

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17、（1）±4A/3

(2){2,3,4}

【解析】(1)对应一元二次方程两根相等，△=().

(2)先由已知确定，、q的值，再确定集合A、3的元素即可.

【小问1详解】

因为集合A中只有一个元素，所以A=p2—4x12=0,P=±46

【小问2详解】

32+^X3+12-0

当AcB={3}时,，P=-7,q=6,

3?—5x3+q=0

此时A={3,4},B={2,3},AUB={2,3,4)

18、(1)见解析；(2)见解析.

【解析】分析：(1)设向量G5,而与x轴的正半轴所成的角分别为名",则向量场,而所成的夹角为

2r

\/3-a\=\a-/J\,由两角差的正切公式可得向量无,而夹角的正切值为tan(a—0=(2)由⑴知

/2x_2

始11(=一=A五=IF,利用基本不等式即可的结果.

x

详解：(1)由题意知，A的坐标为A(0,6),B的坐标为B(0,4),C(x,0),x>0

设向量以，而与x轴的正半轴所成的角分别为a,B,

则向量型，混所成的夹角为IB-a|=|a-B

由三角函数的定义知：tana=2，tanB=£由公式tan(a-p)=tan。二tanB,

xx1+tanCL•tanp

2_

y2x

得向量以，&的夹角的正切值等于tan(a-B)=—^——,

1+~2*

X

2x

故所求向量忌，两夹角的正切值为tan(a-6)=1----;

x+24

2x2Q//»

(2)由(1)知tan(a-B~o=24W门/—=——>

X2+24xq-2V2412

所以tan(a-B)的最大值为返时，夹角|a-B|的值也最大，

12

当x=2^时，取得最大值成立，解得x=2&,

X

故点C在x的正半轴，距离原点为2加，

即点C的坐标为C(2娓,0)时，向量以，圆夹角最大

点睛：本题主要考查利用平面向量的夹角、两角差的正切公式以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最

值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要

看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相

等时参数否在定义域内，二是多次用2或4时等号能否同时成立).

JTJT-TT2/A2/2

19、(1)周期为万，增区间为一7+&万(keZ),减区间为—+krr,——+kzr(ZrGZ)；(2)—二一.

【解析】(1)利用三角恒等变换思想可得出/(x)=2sin12x+2J,利用周期公式可求出函数y=/(x)的周期，分

别解不等式一生+2女万〈2%+工〈工+2女乃伙eZ)和工+2br<2x+代〈包+26r(^eZ),可得出该函数的增区

262262

间和减区间；

(2)由/(a)=|可得出sin(2a+[■卜4利用同角三角函数的平方关系求出cos(2a+个J的值，然后利用两角

5

差的余弦公式可求出cos2a的值.

详解】(1)

/(%)=2cosxV3sinx+cos-1=273sinxcosx+2cos2x-\=V3sin2x4-cos2x=2sin^2x+^,

所以，函数y=/(x)的周期为了=$="，

令-三+2k?r<2x+^<^+2k7v(ksZ),解得一—+女乃<x<?+攵不(ZeZ)；

令生+2%乃<2x+—<—+(Z£Z),解得工+Avr<X<—+k/v(Z:GZ).

26263

因此，函数y=/(x)的增区间为一耳+Z肛+&)(kwZ),减区间为％■+&肛飞-+&乃(ZwZ)；

(2);/(a)=2sin(2a+^H4

sin2a+—

I65

_、、

71>717T.71+戛LU

cosla-cos2a+—=cos2a+—cos一■Fsin2a+一sin—

I6J66J66/6525210

【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，同时也考查了利用两角差的余弦公式求值，考查运算求解能力,

属于中等题.

20、(1)0.9；(2)a=0.085,b=0.125；(3)7.68次.

【解析】(1)由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为90,由此能求出从该校随机选取一

名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率

(2)由频数分布表及频率分布直方图能求出频率分布直方图a,b的值

(3)利用频率分布直方图和频数分布表能估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数

【详解】解：(1)由频数分布表得这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的频数为：100-(6+2+2)=90,

90

从该校随机选取一名学生，估计这名学生该学期参加社团活动次数少于12次的概率p=—=0.9

(2)由频数分布表及频率分布直方图得：

1725

频率分布直方图中a=---------=0.085,b=----------=0.125

100x2100x2

(3)估计样本中的100名学生本学期参加社团活动的平均次数：

1x0.06+3x0.08+5x0.17+7x0.22+9x0.25+11x0.12+13x0.06+15x0.02+17x0.02=7.68(次)

【点睛】本题考查概率、频率、平均数的求法，考查频数分布表、频率分布直方图等知识，属于基础题

21、(1)m=--

2

-4~

⑵

【解析】(1)由题意得f(x)解析式，根据偶函数的定义，代入求解，即可得答案.

(2)当加=0时，可得/(x)解析式，根据/(x)值域为R,分别求。=1和awl两