汽车计算机控制-第2章信号转换与z变换

第2章信号转换与z变换

■解决问题：信号采集与描述

L什么是信号抽样

AX因

x[k]=x{t)

t=kT

2.为什么进行信号抽样

输入_a输出

A/DD/A一

xo系统

用数字方式处理模拟信号

离散信号与系统的主要优点：

(1)信号稳定性好：数据用二进制表示，受外界影响小。

(2)信号可靠性高：存储无损耗，传输抗干扰。

(3)信号处理简便：信号压缩，信号编码，信号加密等

(4)系统精度高：可通过增加字长提高系统的精度。

(5)系统灵活性强：改变系统的系数使系统完成不同功能。

3.如何进行信号抽样

3.如何进行信号抽样

x[k]=x{t}t=kT

如何选取抽样间隔7?

本章内容：

•信号变换原理

•采样信号恢复与保持器

•信号转换的工程化技术

•Z变换/Z反变换

・计算机工程设计中的问题

Ji2.2信号变换原理

2.2.1计算机控制系统信号转换分析

图2.1计算机控制系统前后的信号转换关系

2.2.1计算机控制系统信号转换分析

-模拟信号：时间上连续，幅值上也是连续的信号，

即通常所说的连续信号。

-采样信号：时间上离散，幅值上连续的信号。

-数字信号：时间上离散，幅值上也离散且已经量化

的信号，可用一序列数字表示。

-量化：采用一组数码（多用二进制数码）来逼近离

散模拟信号的幅值，将离散模拟信号转换成数

字信号。

-采样：利用采样器，将模拟信号按一定时间间隔

抽样成离散模拟信号的过程。

・2.1计算机控制系统信号转换分析

采样器量化

模拟信号---------采样信号---------^数字信号

A——A/D变换——

D/A转换

模拟信号、采样信号、数字信号之间的转换关系

2.2.2采样过程及采样函数的数学表示

＞模料信号到照生信号的信号变换。

输出

输e*u*

x(t)’

计算机控制系统方框图

*号表示离散化的意思。

2.2.2采样过程及采样函数的数学表示

(a)采样开关

(b)连续信号

(c)开关函数

2.2.2采样过程及采样函数的数学表示

(d)采样信号

(e)采样过程叫调制器尸)f*(t)=p(t)f(t)

因％eT,所以分析时可近似认为今=0,以单位脉冲函

数3(t)代替p(t)0

*2.2.2采样过程及采样函数的数学表示

理想单位脉冲3(1)定义：

理论表达形式：6田={t=0

two

工程表达形式：S(t)={；t=0

two

理想单位脉冲序列8式方)：心丁⑴

八AAA八AAAA

0T2Tt

数学表达式：+8

心⑺=£-kT)

k=­g

2.2.2采样过程及采样函数的数学表示

H-OO

f*S=fS3T8=/32火—kT)

k二­g

考虑物理上可实现，又可近似为：

+oo

/*⑺=/⑺可⑺=/(百(TT)

k=0

可见,/*⑺具有采样信号的特性。

连续函数f(t),经一个以7为周期的脉冲采样器

调制后可以得到采样函数/*«)。

*2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

»由模料信号物熬与信号的信号变换，信

号变换的可喊喉。

⑴啪)u*(t)____u(t)输出

/、丁C—数字控制器—＞保持器一＞被控对象

x(t)TV------------

\-y*(t)

T1y(t)

计算机控制系统方框图

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

采样函数的一般表达式为f*3=f-kT)=f⑦加。)

k=-8

-|-oo

金⑴是周期函数，可以展成傅氏级数(Fourier):外⑺二2c"如

k=­g

其中采样角频率：3s与傅氏系数：5」］；斗(""如力

T5

37⑴在［—7/2,T/2］时间内，有

匚33f3dt=/⑺L

]_

于是得到：cS(ty-jk^dt=:it

k=jJ；：t=o1

।2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

1丁方

于是有：4(。二了士”如

1丁方

从而得到：/*«)=/Z/。)*如

/k=-8

于是采样函数/*«)的拉氏变换式为：

1丁方

F\s)=\j\t)e-Stdt=f-工fW3dt

Ik=-8

定义拉氏变换式：/(s)=£f(t)e-stdt

采样函数，(f)的拉氏变换式为：

1+8

/⑸=「，(。「力=「7Z/("如厂力

/k=-8

样函数的频谱分析及采样定理

1+8

根据拉氏变换复位移定理得到：F*(5)=-£F(S—jk3)

Tk=­g

14-oo

令n=-k,得到F*(s)二亍EF(s+jn①,)

在令S=j3则采样函数的傅氏变换式为：

14-00

F\jcd)=-ZF(j3+jH3s)

1/n=—oo

周期函数，周期为@=女

Srji

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系，即采样

函数的傅氏变换式：

1+oo

/（改）二£尸（於+井以）

/左=—OO

尸。・劭为原连续函数，（f）的频谱，

劭为采样函数/*«）的频谱。

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

4-00

被控对象一般具有低通滤波特性，因而隼）的带宽

是有限的，a为非周期频谱图。

由于采样过程会产生高频频谱，b为周期频谱图。

K=0时叫主频谱，主频谱就是原连续函数的频谱,

只是幅值为原来的1/T。

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

这时，采样信号/*«）的频谱是由多个孤立频谱组成

的离散频谱。如果将/*“）经过一个频带宽带大于Qnax小

于g的理想滤波器4/⑷，滤波器输出就是原连续函数

的频谱。

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

(2)3s<2㈤max

这时，采样函数/⑺的频谱已变成连续频谱。重叠后的频

谱中没有哪部分与原连续函数频谱尸。劭相似,采样信号厂⑺

不能通过低通滤波方法不失真的恢复原连续信号。

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

为了不失真的使采样函数恢复原连续函数：

3?2.x

香农采样定理：

“如果一个连续信号不包含高于频率8max的频率分量（连续

信号中所含频率分量的最高频率为0max），那么就完全可以

用周期万//曲的均匀采样值来描述。或者说，如果采样

频率q>2凡海，那么就可以从采样信号中不失真地恢复原

连续信号”。香农采样定理给出了采样周期的上限，即采样频

率的下限。

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

■抽样定理的工程应用

连续信号的频谱是无限带宽，此时无论怎样提高采

样频率，频谱混叠或多或少都将发生，即许多实际

工程信号不满足带限条件。

]2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

■混叠误差与截断误差比较

"（j。）

2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理

理论上采样频率越高越好，频率越高复现连

续信号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低

越好，采样频率越低对系统硬件要求越低，所以

在工程实际中往往采用折中的方案。

2.2.4采样周期丁的讨论

工程上，束年周期怎并确定呢7

如声音的最高频率为4000Hz,当采样频率为

8000Hz时就能够在计算机中完全复现声音信号。

2.2.4采样周期丁的讨论

工程上一般不知道系统的最高频率，所以常用系统的预

期开环频率特性的截止频率4或系统预期闭环频率特性的

谐振频率叫来确定采样频率。

10a)cylOo^Q

&2.2.4采样周期T的讨论

采样周期选取的一般原则：

♦:♦若信号/")最高频率.已知，工程上一般取

私2(5〜10)仞m

♦:♦若系统的带宽例已知，一般取

qN(5〜10)g

♦:♦若干扰信号的最高频率0f,应满足

3s>20f

2.2.4采样周期丁的讨论

慢过程采样周期T的选择

被控参数采样周期T(S)

主汽压力、汽包压力、炉膛负压、

1

凝汽器真空、汽包水位、汽机转速

流量、主汽温度、一般压力真空和电气参量3〜5

一般液位6〜8

一般温度10〜20

成分：OxfNOxfSoxfCOx10-30

2.2.4采样周期丁的讨论

快过程采样周期，的选择：

根据系统上升时间而定采样周期，即保证上升

时间内进行2到4次采样。设行为上升时间，Nr为

上升时间采校次数，则经验公式为：

2.3采样信号恢复与保持器

＞由懿庄信号刎模料信号的信号变换。

e*u*输出

x(t),

计算机控制系统方框图

・■2.3采样信号恢复与保持器

数字信号的恢复是指将采样信号恢复为模拟信号的过程,

物理上能够实现这一过程的装置称为保持器0

2.3采样信号恢复与保持器

如果有一脉冲序列/⑺，从脉冲序列的全部信息

中恢复原来的连续信号u(f)的过程是由保持器完成的。

小。值的复现是通过多项式外推实现的。即是由

f二k/前各采样时刻的值推算出来。实现这样外推的

一个方法，是利用u(。的寨级数展开公式：

〃«)=u(kT)+u(kT)(t—kT)+U'kT)«_kT)2+.・・

女2.3采样信号恢复与保持器

各阶导数的近似值用各阶差商表示：

u(kT)=-{u(kT)—u[(k-1)T]}

i1

u\kT)=—{u(kT)~2u[(k-1)7]+u[(k-2)7]}

由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的

瞬时值。若右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。

1/(/)=u(kT)+〃(左一)二半左二1))工]«_kT)

u(kT)2u[(k-1)]+u[(k-2)7]

+(t—kT)2H—

2T2

式中，kT<t<[k+\)T

2.3采样信号恢复与保持器

由破冬信号到模物信号的信号变换，信

号变换的可谦植。

e*u*输出

x(t),

计算机控制系统方框图

2.3.1零阶保持器

零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，

即uN)=u(kT)kT<t<(k^To它将前一采样时刻“了的采

样值保持到下一采样时刻m+i)丁，其输入信号与输出信

号的关系如图所示。

*

U

u(kT)〃四)

零阶保持器输入输出关系

a-零阶保持器单元方框图b-零阶保持器输入c-零阶保持器输出

2.3.1零阶保持器

(a)0阶保持(b)水平垂直抽样间隔

为前者的一半

2.3.1零阶保持器

为了便于计算，把脉冲响应函数g4)

分解为右图(b),根据线性函数可加性,

可表示为：

当。=1(。—1(-T)

式中，1(t)为单位阶跃函数:

1/>0

1(%)=<

0/<0

V

由拉氏变换可得零阶保持器的

传递函数：

[c-Ts

1—e

零阶保持器的单位脉冲响应

G〃(S)=LL")]二

S

2.3.1零阶保持器

令s二j3,得零阶保持器的频率特性:

1-e-jC0T

j3

或%（次）=/。初

sin{a)T/2)「

式中匕(，。)|=7-

coT/2

_coT

N%(9)~一/,

.2.3.1零阶保持器

零阶保持器的幅频特性如图所示。它的幅值随角频率3

的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性。但是，它不是一

个理想的滤波器，除了主频谱之外，还允许附加高频谱通过

部分。因此，被恢复的信号与原信号是有差别的。

“监Ci町

零阶保持器的幅频特性

2.3.1零阶保持器

零阶保持器的相频特性从下图可看出，输出比输入平均滞

后了T/2时间。零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统的

不稳定因素。

零阶保持器的相频特性

2.3.1零阶保持器

零阶保持器的输入和输出信号

若将阶梯波输出信号的各中点连接起来，可以得到一条

比连续信号滞后T/2的曲线，反映了零阶保持器的相位滞后

特性。

2.3.1零阶保持器

jT(1)鸣

1-e-Tsin(W/2)2

零阶保持器的频率特性为：/。行助=------------------二1--------------e

j①coT/2

幅频特性为：

相频特性为：

Z%。(J。)-一外7/2+k兀,k=INT(a)/3)

取整函数

开关特性

2.3.2一阶保持器

取保持器外推式的前两项，组成一阶保持器：

Uh(t)=u(kT)+u(kT\t-kT)kT<t<[k-¥\)T

u(kT)-u\(k-1)T]

g)=u(kT)+二；。一kT)

图2.12一阶保持器工作情况

2.3.2一阶保持器

（a）结构图（b）单位脉冲响应（c）单位脉冲响应分解

图2.13一阶保持器的脉冲响应

2.3.2一阶保持器

一阶保持器的单位脉冲响应函数：

g1(0=l(0+^xl(0-2xl(z-T)-^^xl(z-T)

+-2T)+0二,义1(，—2T)

卬八12-T2112ST,11-2sT

%。)=_+/万一eS-——'esT+—e+~~e

SISs1ss1s

于是得到一阶保持器的传递函数为：

(\-e-sT^

%(s)=T(l+sT)——

IsT)

2.3.2一阶保持器

频率特性为:

图2.14一阶保持器幅频与相频特性（虚线为零阶保持器频率特性）

2.3.2一阶保持器

零阶保持器与一阶或高阶保持器比较:

・零阶保持器和一阶或高阶保持器相比，它具有最小的相

位滞后，而且反应快，对稳定性影响相对减少，再加上容

易实现，所以在实际系统中，经常采用零阶保持器。

小结:

■信号变换是信号丢失（A/D变换）和信号补充（D/A变换）

的过程，“失真”在信号变换中或多或少都会发生。只有满足

一定的条件（香农采样定理，零阶保持器等），才能够保证

信号变换的可靠性。

采样定理的实际应用举例

利用离散系统处理连续时间信号

X0

铁路控制信号识别

采样定理的实际应用举例

铁路控制信号识别

•

机

机车信号识别

车O-----------

信O

号A/D转换器

传感器

采样定理的实际应用举例

列车运行控制系统是轨道交通最重要的技术装备，它是由

轨道电路以钢轨为通道，将控制列车的信息传输到列车上的。

各控制分区

-1~2公里-

采样定理的实际应用举例

车载主体机车系统，是其中的关键部分，功能是接收来自

钢轨的信号，经过解调、译码来控制驾驶室信号机的信号显示,

同时输出给后级的列车速度控制设备。

系统主要由接收线圈（天线）、控制主机（包含记录器及

远程监测模块）及机车信号机（信号显示器）构成。

车戮信号安全一列控车载

控制主机f设备

各控制分区

采样定理的实际应用举例

传统的车载信号系统，由于安全性及可靠性等技

术的局限，仅能作为辅助信号应用，司机必须瞭望

地面信号机来驾驶列车。

国际公认160km/h以上或高密度的列车运行已

不能靠司机瞭望地面信号方式保证安全,而必须以

车载信号作为主体信号来控制列车。

采样定理的实际应用举例

主要产品：JT1-CZ2000型机车信号车载系统。

采样定理的实际应用举例

铁路控制信号识别

....AJ1.1

R«*dyA=240B-Q-240

铁路控制信号的时域波形和频谱

采样定理的实际应用举例

/L个冏题:

什么要进行信号变换7

参考各嚓:计算机与被控对象组成的闭环反馈系统的两种信

号类型不统一，必须通过信息转换使信号满足各环节的输入输

出关系。

»模N信号是怎咨按成一定的时间间俯抽并阀离微

信号的%7

4-00

参考答案/f*⑺=f(t)g⑴=f(t)E6(t-kT)

k=0

连续函数f(t),经一个以7为周期的脉冲采样器调制

后可以得到采样函数f\t)

＞束曲善救怎禅才惋系夫女他恢复展这族信号7

参考本嗓：为了不失真的使采样函数恢复原连续函数:

3s22仞max

工程上，束曲周期怎并确是见7

参考答案:理论上采样频率越高越好，频率越高复现连续

信号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低越好，采样频

率越低对系统硬件要求越低，所以在工程实际中往往采用折

中的方案。

怎曲将计算机的赵与信号箝换，模料信号7

参考各案：当双之2稣ax时，在被控对象前加一个理想滤波

器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频分量。这种滤波

器叫做保持器。

经客阶保持器恢复的信号必与晨唾陵徐数认0■

多大差别7

参考答案：

幅频特性：除了允许主频谱通过之外，还允许附加的

高频频谱通过一部分。

相频特性：附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因

素。

2.4信息转换的工程化技术

#+B8942

ADC0809CCN

抽样间隔(周期)T(s)

抽样角频率0sam=2兀/T(rad/s)

抽样频率几m=l/T(Hz)

2.4信息转换的工程化技术

2.4.1A/D转换的基本工程化技术

1、A/D转换的性能指标

（1）A/D精度

指转换后所得数字量相当于实际模拟量值的准确度,

即指对应一个给定的数字量的实际模拟量输入与理

论模拟量输入接近的程度。

A/D转换器精度：数字部分由A/D转换器的位数决

定；模拟部分由比较器、T型网络中的电阻以及基

准电源的误差决定。

2.4信息转换的工程化技术

精度的高低是用误差来衡量的，误差大精度低，

误差小精度高。

例如，一个A/D转换器，理论上5出应数字量

800”但实际上4,997~4,999H匀产生数字量

800”那么绝对误差将为

|(4.997+4.999)/2—5|=2小%

或者相对误差将为

|(4.997+4.999)/2—51/5=0.04%

2.4信息转换的工程化技术

（2）分辨率

指输出数字量对输入模拟量变化的分辨能力，利用

它可以决定使输出数码增加（或减少）一位所需要

的输入信号最小变化量。

设A/D转换器的位数为n,则A/D转换器的分辨率为:

2〃一1

2.4信息转换的工程化技术

有时也用最小有效位LSB代表的模拟量来表示，如

12位A/D芯片的分辨率为：

1

D—------=2.44x107

212-14095

如果输入电压最大值为5V,则12位A/D芯片能够分

辨的输入电压最小变化量为：

5V

=1.22mK

212-1

2.4信息转换的工程化技术

（3）转换时间

从A/D转换的启动信号加入时起，到获得数字输出

信号（与输入信号对应之值）为止所需的时间称为

A/D转换时间。该时间的倒数称为转换速率。

A/D的位数越大，则相应的转换速率就越慢。逐

次逼近式A/D转换器转换时间为几微秒~几百微秒,

双积分式A/D转换器的转换时间为几十毫秒~几百

毫秒。

启动A/D转换有内、外两种启动方式。

2.4信息转换的工程化技术

（4）量程

量程指测量的模拟量的变化范围，一般有单极性

（例如0~10V、0~20V）和双极性（例如・5V~+5V、

-10V^+10V）两种。

为了充分发挥A/D转换器件的分辨率，应尽量通过

调理环节（放大器）使待转换信号的变化范围充满

量程。

，12.4信息转换的工程化技术

2、A/D转换的典型芯片

ADC0809是一种采用逐次逼近式转换原理的8位8通道的

A/D转换器芯片。

主要特性参数如下：

分辨率：8位，零位误差和满量程误差均小于0.5LSB；

量程：0〜5V；

通道：8个模拟量输入通道，有通道地址锁存、输出

数据三态锁存功能；

转换时间：约为100约；

工作温度范围：・40〜+85℃；

功耗：15mW；

电源：单一的+5V电源供电。

EOC

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]|15

ASTART为A/D转换启动信号（输入，身电平有效）；E0C为A/D转

换结束信号（输出，转换期间该端一直为低电平，当A/D转换

结束时，输出一个高电平）。

A0E为数据输出允许信号（输入，高电平有效），当A/D转换结

束时，向该端输入一个高电平，才能打开输出三态门，输出数

子里。

$2.4信息转换的工程化技术

VREF（+）、VREF（一）为基准电压引脚，基准电压的取值

范围为-10-10VDC,可视实际情况选择。

A/D转换器的输入电压VE，位数n，参考电压VREF^）、

VREFG）的关系为：

嗫一PREF(一)

D=x2n

VREF(+)一^REF

ADC0809为8位A/D转换器，故〃=8。

-=

>单极性输入时，若VREF(+)=5V,VREF()0V9Vjn—

1.5V,则口=[(L5-0)/(5・0)]x256=76.8=77=4DH。

>双极性输入时，若VREF(+^)=+5V,VREF(-)=-5V,Vjn

=-1.5V,贝！JD=[(・L5+5)/(5+5)]X256=89,6P90=5AH。

，12.4信息转换的工程化技术

3、A/D转换芯片的选择

口满足用户的各种技术要求

□A/D输出的方式（中断方式、查询方式等）

□A/D芯片对启动信号的要求

□A/D的转换精度和转换时间

口稳定性及抗干扰能力等。

，12.4信息转换的工程化技术

□A/D转换器位数选择:

设A/D转换器的位数为小模拟输入信号的最大值

为A/D转换器的满刻度，则模拟输入信号的最小值

umm应大于等于A/D转换器的最低有效位。即有

Jfmax_

2〃一1

所以心lg[〃max/〃min+l]/lg2

模拟输入信号的最小值

^^2.4信息转换的工程化技术

4、A/D转换的标度变换

进入计算机之前

相同于上述过程的逆过程

:标度转换

使用工程量进行编程u----------

感表与管理等「

计算机内部

2.4信息转换的工程化技术

假设映射为线性关系，于是由y=〃x）得到：

B-B

【广学（X—4）+8。

4一4

由c=g（y）得到

C=^f（Y—B°）+C。

若为=0,于是得到

C-C

。=六管（X-4）+孰

4—4

由上式得到

（4n-4）x（c-co）

C〃「Co为

式中C为计算机已知的数字量，计算出来的X就是

被检测的工程量。

2.4信息转换的工程化技术

以PLCS7-200和0〜5V标准输入信号为例。经A/D转换

器转换后，得到的数值是6400〜32000,0=6400,

Q=32000,于是有

(4-4)x(0-6400)

-r力0

32000-6400°

若温度传感器检测的温度范围为40〜60℃,用上述的方

程可表达为

70(C-6400)

X-------------------1U

25600

当计算机的A/D转换数据，即采样数据为C=16000时，

得到X=16.25,意味着此时温度值为16・25℃。

242D/A转换的基本工程化技术

1、D/A转换的性能指标

(1)D/A精度

D/A的精度指实际输出模拟量值与理论值之间接近

的程度，与D/A转换器的字长、基准电压有关，主

要由线性误差、增益误差及偏移误差的大小决定。

(a)线性误差(b)增益误差(C)偏移误差

图2.16D/A转换器的误差

242D/A转换的基本工程化技术

例如：

一个D/A转换器，某二进制数码的理论输出为2.5V,

实际输出值为2.45V,则该D/A转换器的精度为2%。

若已知D/A转换器的精度为±0.1%,则理论输出为2.5V

时，其实际输出值可在2.5025〜2.4975V之间变化。

242D/A转换的基本工程化技术

(2)分辨率

分辨率指输入数字量发生单位数码变化时输出模拟

量的变化量。

分辨率也常用数字量的位数来表示，如对于分辨率

为12位的D/A转换器，表示它可以对满量程的

1/212=1/4096的增量做出反应。

242D/A转换的基本工程化技术

(3)转换时间

从接收一组数字量时起一到完成转换一输出模拟量

为止所需的时间称为D/A转换时间。一般为微秒级,

有时可以短到几十纳秒。

D/A转换器一般具有零阶保持功能(数字锁存)。

242D/A转换的基本工程化技术

(4)输出电平与代码形式

对于D/A来说，不同型号的D/A转换器的输出电平相

差较大，一般为5V〜10V,高压输出型的输出电平可

达24V〜30V。还有一些电流输出型，低的有20mA,

高的可达3A(一般D/A带负载能力不够，需接入功

率放大器)。

D/A转换器单极性输出时，有二进制码、BCD码；当

双极性输出时，有原码、补码、偏移二进制码等。

2.4.2D/A转换的基本工程化技术

2、D/A转换的主要芯片

8位D/A转换器芯片DAC0832,有R-2RT型电阻网络.

主要特性参数如下：

输入数字量分辨率：8位；

电流建立时间：

精度:1LBS；

基准电压：-10V^+10V；

电源电压：+5VT15V；

输入电平：符合TTL电平标准；

功耗：20mWo

242D/A转换的基本工程化技术

3、D/A转换的输出信号形式

运算放大器A1在电路中起反相比例求和作用，可以实现D/A

的单极性输出。此时，VOUTI、VREF、D7〜Do(D)的关系为：

-OUT1=

—Knr5/2〃

上式说明，对于DAC0832(n=8),若取VREF=5V,当

D7^DO=OOH(0)时，VOUTI=0V。

当D7〜D0=FFH(255)时，VOUTI=£V；当D7〜D0=7FH

(127)时,VOUTI=-2.5Vo

242D/A转换的基本工程化技术

DACO«32.

V世

Dr

।

D(1

二

RR1^F-1)

Vy0UT2IDREF+—DVOUT\)=_/yREF(V

%火22

上式说明，对于DAC0832(n=8),若取VREF=5V,当

D7〜DO=OOH(0)时，VOUT2=-2.5V；当D7〜D0=FFH(255)

时，=；当时，VT2=0Vo

VOUT22.5VD7〜D0=7FH(127)OU

2.4.2D/A转换的基本工程化技术

4、D/A转换芯片的选择

□性能满足要求

口结构和应用上接口方便

口外围电路简单

□D/A的转换分辨率

□D/A的转换精度和转换时间

口稳定性及抗干扰能力等

242D/A转换的基本工程化技术

对于D/A转换器的字长的选择，可以由计算机控制

系统中D/A转换器后面的执行机构的动态范围来选定。

设执行机构的:大输入电压为/2执行机构的死区电

压为"A，D/A转换器的字长为小则计算机控制系统的

最小输出单位应小于执行机构的死区电压，即

“max

2n-l

所以^>lghmax/i/A+l]/lg2

执行机构的最大输入电压执行机构的死区电压,死区就是执行机构的灵敏度

2.4.2D/A转换的基本工程化技术

5、D/A转换的标度变换

计算机控制系统前向通道（信号出计算机）

计算机内部

2.4.2D/A转换的基本工程化技术

假设各环节的变换皆为线性变换关系，因此上述过程恰是

A/D变换过程中信号变换的逆过程，因此A/D变换过程的

标度变换公式仍然适用，即

C=（X—4）+c°

4一4

上式中，x为计算机内部计算得到的物理量，即执行

机构输出的物理量，范围为4〜4小c为与x对应的数

字量，即D/A变换前的数字量，范围为〜

2.5z变换

2.5.1z变换的定义

/(o的拉普拉斯变换式为产(s)=L[/«)]=匚山

N)的采样信号为r(of*(t)=£f(kTW(t-kT)一时域

OO

其拉普拉斯变换式为F*3=Ef(kT"skT-S域

k=O

引入一个新的复变量z=e"

oov

Z"⑺]=Z[f(0]=%Z)=Z八kT)z；k-Z域

k=0/\

N序列时刻(时间信息):

时间序列单位延迟因子

(信号幅值信息)

2.5z变换

定义：一个连续的函数可进行拉氏变换，采样后的函

数同样可以进行拉氏变换.

OO

k=0

QZ变换

OO

=F(z)=Zf(kT)z-k

k=0

注：F(z)与/(，)不是一一对应关系，一个/(z)可有无穷多个/⑺与之对

应。

2.5z变换

任何采样时刻为零值的函数夕⑺与/⑺相加，得曲

线/⑺+9(。,将不改变了*⑺的采样值，因而它们的z变

换相同。由此可见，采样函数/*⑺与尸⑶是一一对应关

系，尸⑸与/⑺是一一对应的，而尸(z)与/⑺不是一一对

应关系，一个爪Z)可有无穷多个r⑺与之对应。

2.5.2z变换方法

1、级数求和法

将离散函数r(o展开如下

OO

k=0

二〃o)b⑺+〃T)b”T)+…+)(仃)犯-5)+

然后利用公式直接展开

OO

F(z)=»(kT)z-k(2方

k=0

=/(o).i+/(r)z-1+/(2r)z-2+...+/(^)z^+……

2.5.2z变换万法

例2.1求单位阶跃函数1(t)的z变换

解：单位阶跃函数1(t)在任何采样时刻的值均为1

f(kT)=l(kT)=l,左=0,1,2,……

2.5.2z变换方法

代入式(2.50)中，得：

OO

F(z)=工八4廿=lz°+lz-1+lz~2(2.51)

k=0

将式(2.51)两边乘以z-1，有：

z-1F(z)=z-1+z~2+...+z~k+...(2.52)

上两式相减，得：

F(z)-z-1F(z)=l

1z

所以F(z)=

-1i-z-iz—1

2.5.2z变换方法

例2.2求衰减指数e5的z变换。

解：根据公式可得

aTxkaTk

尸(z)=1+e~z~+e-2心-2+…+e~z~+…

将两边同乘以""z7,得

e~aTz~xF(z)=e~aTz~x+e~laTz~2+...+e~kaTz~k+…

上两式相减，可以求得Nz)(i-"心-|)=1

F(z}=-------------=——-——

')1-邛"1Z—。一江

2.5.2z变换万法

2、部分分式法

设连续函数/⑺的拉氏变换为有理函数，具体形式如

下：M(s)

F(s)=—

N(s)

式中，M(s)与N(s)都是复变量的多项式。

通常无重极点的尸(s)能够分解成如下的部分分式形式:

〃A

尸⑸=E-f-4=(s+。产(sH=_%

Z=1s十/

利用已知的典型函\A,

数Z变换，便可求\-e-aiTz-x

出各个环节的Z变

换。

2.5.2z变换方法

例2.3求F(.)=的z变换

J(DICL)

aj__1

解:/(s)=

s(s+a)SS+Q

1拉氏反变换)]⑺z变换)]

s1-z-1

1拉氏反变换-atZ变换I

s+al-e~aTz-l

(1-/

F(z)=

(l-z-lXl-e-aTz-1)

2.5.2z变换方法

说明：

厂(s)n/⑺n/*«)n尸⑸n尸(z)

sw/lnz

尸(s)口口,AF(z)

5=ylnz

尸*(s)口口AF(z)

求拉氏变换式/(s)的z变换的含义是，将拉氏变换式所

代表的连续函数/⑺进行采样，然后求它的Z变换。为

此，首先应通过拉氏反变换求得连续函数/⑺，然后对

它的采样序列做z变换。

2.5.2z变换方法

数计算法

若已知连续时间函数/⑺的拉氏变换式及全部极点，贝”⑺

的z变换可由下面留数计算公式求得：

b(z)=ZResF(5Z)

z—el

极点上的留数分两种情况求取：

ZZ

（1）单极点情况Re5F（5Z）--=（5-5Z）F（5）--

_z—e1[_z—e

（2）〃阶重极点情况

Re5R(sJ(s—s"(s)

(n-1)!ds

2.5.2z变换方法

1

例2.6求/(s)=的z变换。

(s+l)(s+3)

解：上式有两个单极点邑二-1,邑=-3,加=2，于是

|Z1

F(z)^[(5+1)--]_+[(5+3)——--------。]厂

(S+1)(5+3)Z-严5=1，(S+1)(5+3)Z-产J3

ZZ

=-----------1--------------

2(z—e")(-2)(z-e-3r)

z(e-T-e-3T)

~2(z-e-TXz-e-3T)

2.5.2z变换方法

例23求取人击的％变换。

解：上式有二重极点为2=-。/=2,于是

aT

1d21z]Tze-

厂—(S+Q)

(z)=sT

(2-1)!(S+Q)2Z-e

2.5.3z变换的基本定理

1、线性定理

线性函数满足齐次性和迭加性，若

Z"«)]=片(2)Z[f2(t)]=F2(z)

a、b为任意常数，f(t)=af\S土明(t)

则b(z)=。与(z)±b£(z)

2.5.3z变换的基本定理

2、滞后定理（右位移定理）

Z"（，-U）］=z一〃/（z）+z一〃£代门什

y=-i

如果/<0,/«）=0,贝！］

Z［f（t-nT）］=z-nF（z）

右位移〃了函数〃一江）表示,/（左-〃）相对时间起点延迟

了〃个采样周期。该定理还表明歹⑶经过一个z一〃的

纯滞后环节，相当于其时间特性向后移动〃步。

2.5.3z变换的基本定理

3、超前定理(左位移定理)

n—\

Z[f(t+U)]=z'N(z)—z〃2

7=0

如果/(0T)=〃T)=…=/[(〃—1)T]=0

则Z[/(/+nT)]=z,7F(z)

左位移〃函数/。+江）表示，/（左+〃）相对时间起点超

前n个采样周期出现。该定理还表明尸⑶经过一个z〃

的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动〃步。

.2.5.3z变换的基本定理

4、初值定理

如果/⑺的z变换为F(z),而映/⑶存在,则

/(O)=limF(z)

Z—>8

证明:oo

&z)=Ef"=f8+/(7>T+/(而+…

百

limF(z)=/(0)=lim八kT)

z—>ook—>0

2.5.3z变换的基本定理

5、终值定理

如果/⑺的z变换为2z),而(1-zT»(z)在Z平面以原点

为圆心的单位圆上或圆外没有极点，则

lim/(0=limf(kT)=lim(l-z-1)F(z)

t—8k—8z—>1

=lim―—―F(z)=lim(z-l)F(z)

z—>lzz—»1

2.5.3z变换的基本定理

证明:lim(1-z-1)F(z)=limF(z)-z-1limF(z)

z—>lz—>lz—>l

oo

•••F(z)=Zf(kT)zi=/(0)++〃27>-2+…

k=0

oo

z7F(z)=Ef(kT_T)z-k=f(-T)+f*+f(T)z~2+…

k=0

尺z)-z*(z)=[/(0)-/(-7)]+[/⑺-/Ok+，(27)-/(7)]z-2+…

，即lim[F(Z)-z-1F(z)]=f(g)

limf*T)=/(oo)=lim[i_z-i]F(z)

k—8z—1

2.5.3z变换的基本定理

6、求和定理（叠值定理）

在离散控制系统中，与连续控制系统积分相类似的概念叫

k

叠分，用Z/G）来表示

k

如果g（左）=（左二°，1，2,…）

j=。

则G（z）=Z卜（左）］=生f=白尸（z）

1—zz—1

2.5.3z变换的基本定理

7、复域位移定理

如果/⑺的z变换为b(z),〃是常数，则尸(ze±w)=Z[*7X%)]

8、复域微分定理

如果/⑺的z变换为尸(z),则Z[tf(t)]=-Tz^^-

9、复域积分定理

如果/⑺的z变换为尸⑶，贝!JZ[平卜g生U+Hm.

zTzr->0

42.5.3z变换的基本定理

10、卷积定理

两个时间序列(或采样信号)/(A)和g(A),相应的z变换为

F(z)和G(z),当/<0时，f(k)=g(k)=0,/>0的卷积

记为/(左)*第左)，其定义为

k8

f(k)*g(k)=£f(k-i