陕西省西安市第四十六中学2024年高二上数学期末调研试题含解析

陕西省西安市第四十六中学2024年高二上数学期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等比数列，且，则（）A.16 B.32C.24 D.642．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.114．设，若，则（）A. B.C. D.5．下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.椭圆 B.椭圆的一部分C.圆 D.不完整的圆7．若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（）A. B.C. D.8．已知三棱柱的所有棱长均为2，平面，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（）A.6 B.7C. D.510．直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（）A. B.C. D.11．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A2 B.3C.4 D.512．和的等差中项与等比中项分别为（）A.， B.2，C.， D.1，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在数列中，，，则数列中最大项的数值为__________14．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.15．若抛物线：上的一点到它的焦点的距离为3，则__.16．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面分别为的中点，（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小18．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离.19．（12分）已知是抛物线的焦点，直线交拋物线于、两点.（1）若直线过点且，求；（2）若平分线段，求直线的方程.20．（12分）已知抛物线的焦点在直线上（1）求抛物线的方程（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程21．（12分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值22．（10分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【题目详解】，得故选：A2、A【解题分析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.【题目详解】如下图：设直线l的方程为即圆心为，半径是1又直线与圆有两个不同的交点故选：A3、B【解题分析】利用平均变化率的公式即得.【题目详解】∵，∴.故选：B.4、B【解题分析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.【题目详解】因为，且，所以.所以，，所以.故选：B5、D【解题分析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.【题目详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.故选：D6、D【解题分析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.【题目详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，又面面，故可得；因为，故可得，则，综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，在平面中，因为，以中点为坐标原点，以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：因为，故可得，整理得：，故动点的轨迹是一个圆；又当三点共线时，几何体不是空间几何体，故动点的轨迹是一个不完整的圆.故选：.【题目点拨】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.7、C【解题分析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解.【题目详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确.故选：C8、A【解题分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解【题目详解】以为坐标原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，∴，，∴，∴异面直线，所成角的余弦值为.故选：A9、A【解题分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.【题目详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以故选：A10、A【解题分析】设点与的坐标，进而可表示与，再结合两点在椭圆上，可得的值.【题目详解】设点与，则，，所以，，又点与在椭圆上，所以，，作差可得，即，所以，故选：A.11、B【解题分析】画出可行域，找到最优解，得最值.【题目详解】画出不等式组对应的可行域如下：平行移动直线，当直线过点时，.故选：B.12、C【解题分析】根据等差中项和等比中项的概念分别求值即可.【题目详解】和的等差中项为，和的等比中项为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】用累加法求出通项，再由通项表达式确定最大项.【题目详解】当时，，所以数列中最大项的数值为故答案为:14、【解题分析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出【题目详解】由等差数列的性质可得：对于任意的都有，则故答案为：【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15、【解题分析】通过抛物线的定义列式求解【题目详解】根据抛物线的定义知，所以.故答案为：16、【解题分析】由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解.【题目详解】由题意，二面角等于，可得向量，，因为，可得,所以.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）依题意可得平行四边形是矩形，即可得到，再由及面面垂直的性质定理得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小问1详解】证明：因为为的中点，，所以，又，所以四边形为平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形，所以，因为，所以，又因为平面平面，平面平面面，所以平面，因为面，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】解：由（1）可得：两两垂直，如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则则，设平面的一个法向量，由则，令，则，所以，设平面的一个法向量，所以，根据图像可知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为；18、（1）证明见解析；（2）【解题分析】（1）易得，再由勾股定理逆定理证明，即可得线面垂直；（2）根据（1）得，进而根据几何关系，利用等体积法求解即可.【题目详解】解：（1）连接，∵，是中点，∴，，又，，∴，∴，∵，∴，∴，，平面，∴平面；（2）∵点在棱上，且，，为的中点.∴，∴由余弦定理得，即，∴，由（1）平面，设点到平面的距离为∴，即，解得：所以点到平面的距离为.19、（1）；（2）.【解题分析】（1）分析可知直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，利用抛物线的定义可求得；（2）利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.【小问1详解】解：设点、，则直线的倾斜角为，易知点，直线的方程为，联立，可得，由题意可知，则，，因此，.【小问2详解】解：设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以直线的斜率存在，因为、在抛物线上，则，两式相减得，又因为为的中点，则，所以，直线的斜率为，此时，直线的方程为，即.20、（1）（2）的方程为、、【解题分析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.【小问1详解】抛物线的焦点在轴上，且开口向上，直线与轴的交点为，则，所以，抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，解得或.所以直线的方程为或.综上所述，的方程为、、.21、（1）（2）【解题分析】（1）以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）求出和的法向量，利用空间向量求解【小问1详解】以A为原点，以AB、AD、所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由，，，，所以，，，因此，，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，所以点到平面的距离【小问2详解】由，，设平面的法向量，则，，所以，取，则，，于是，由（1）知平面的法向量为，记二面角的平面角为，则，由图可知二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为22、（1）略；（2）【解题分析】（1）推导出BD⊥BC，PB⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明PD⊥BC．（2）利用等体积求得点B到面的距离【题目详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，四边形