湖南省岳阳市临湘市2024届高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

湖南省岳阳市临湘市2024届高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.是函数的极大值点B.函数在区间上单调递增C.是函数的最小值点D.曲线在处切线的斜率小于零2．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()A. B.C. D.3．已知、是平面直角坐标系上的直线，“与的斜率相等”是“与平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的表面积为A.B.C.D.5．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（）A.1 B.2C.4 D.86．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）A.2 B.C. D.37．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6 B.C.8 D.8．某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两位老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分.如图所示，当，，时，则（）A. B.C.或 D.9．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（）A.B.C.D.10．对于圆上任意一点的值与x，y无关，有下列结论：①当时，r有最大值1；②在r取最大值时，则点的轨迹是一条直线；③当时，则.其中正确的个数是（）A.3 B.2C.1 D.011．已知直线与圆相切，则的值是（）A. B.C. D.12．双曲线的虚轴长为（）A. B.C.3 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______14．若双曲线的渐近线为，则其离心率的值为_______.15．点到直线的距离为_______.16．在的展开式中，含项的系数为______（结果用数值表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆与x轴交于A，B两点，P是该圆上任意一点，AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点.（1）若弦AP长为2，求直线PB的方程；（2）以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，求此时圆C的方程.18．（12分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？19．（12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示（1）请将字母F，G，H标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）：（2）若且有下面两个条件：①；②，请选择其中一个条件，使得DF⊥平面，并证明你的结论20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1.（1）求抛物线C的方程；（2）若不经过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点.21．（12分）已知三角形的三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程22．（10分）自疫情爆发以来，由于党和国家对抗疫工作高度重视，在人民群众的不懈努力下，我国抗疫工作取得阶段性成功，国家经济很快得到复苏.在餐饮业恢复营业后，某快餐店统计了近天内每日接待的顾客人数，将前天的数据进行整理得到频率分布表和频率分布直方图.组别分组频数频率第组第组第组第组第组合计（1）求、、的值，并估计该快餐店在前天内每日接待的顾客人数的平均数；（2）已知该快餐店在前50天内每日接待的顾客人数的方差为，在后天内每日接待的顾客人数的平均数为、方差为，估计这家快餐店这天内每日接待的顾客人数的平均数和方差.（）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【题目详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B2、A【解题分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【题目详解】由题知圆心为，半径，∴圆方程为﹒故选：A﹒3、D【解题分析】根据直线平行与直线斜率的关系，即可求解.【题目详解】解：与的斜率相等”，“与可能重合，故前者不可以推出后者，若与平行，与的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，故选：D.4、A【解题分析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据等积法求出几何体内切球的半径，再计算内切球的表面积【题目详解】解：由三视图知该几何体是一个三棱锥，放入棱长为2的正方体中，如图所示：设三棱锥内切球的半径为，则由等体积法得，解得，所以该三棱锥内切球的表面积为故选：A【题目点拨】本题考查了由三视图求三棱锥内切球表面积的应用问题，属于中档题5、C【解题分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.【题目详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.6、C【解题分析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.【题目详解】因为数列满足，，（且）所以，，，，因为恒成立，所以，则M的最小值是，故选：C7、B【解题分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【题目详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B8、B【解题分析】按照框图考虑成立和不成立即可求解.【题目详解】因为，，，所以输入，当成立时，，即，解得，，满足条件；当不成立时，，即，解得，，不满足条件；故.故选：B.9、D【解题分析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.【题目详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，设，则由已知得：，由定义得：，故在直角三角形中，，，，从而得，，求得，所以抛物线的方程为故选：D10、B【解题分析】可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，，对于①，当时，r有最大值1，得出结论；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，得出结论；对于③当时，则得出结论.【题目详解】设，故可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，可知直线平移时，点与直线，的距离之和均为，的距离，即此时圆在两直线内部，，的距离为，则，对于①，当时，r有最大值1，正确；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，正确；对于③当时，则即，解得或，故错误.故正确结论有2个，故选：B.11、D【解题分析】直线与圆相切，直接通过求解即可.【题目详解】因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以，.故选：D12、D【解题分析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案【题目详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则由已知可得数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求得，再设设小球第n次落地时，经过的路程为，由等比数列的求和公式建立方程求解即可.【题目详解】解：设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则当时，得出递推关系，所以数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，所以，且，设小球第n次落地时，经过的路程为，所以，所以，解得，故答案为：4.14、【解题分析】利用渐近线斜率为和双曲线的关系可构造关于的齐次方程，进而求得结果.【题目详解】由渐近线方程可知：，即，，，（负值舍掉）.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于的齐次方程.15、【解题分析】应用点线距离公式求点线距离.【题目详解】由题设，点到距离为.故答案为：16、12【解题分析】通过二次展开式就可以得到.【题目详解】的展开式中含含项的系数为故答案为：12三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）.【解题分析】（1）根据圆的直径的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；（2）根据题意，结合基本不等式和圆的标准方程进行求解即可.【小问1详解】在方程中，令，解得，或，因为AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点，所以，圆心在x轴上，所以，因为，，所以有，当P在x轴上方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：，当P在x轴下方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：，因此直线PB的方程为或；【小问2详解】由（1）知：，，所以设直线的斜率为，因此直线的斜率为，于是直线的方程为：，令，，即直线的方程为：，令，，即，因为同号，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，于是有以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，此时最小，当时，和，中点坐标为：，半径为，所以圆的方程为：，同理当时，和，中点坐标为：，半径为，所以圆的方程为：，综上所述：圆C的方程为.18、（1）；（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解题分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得，∴；【小问2详解】设圆的方程为，因为该圆经过三点，∴，得到.所以该圆方程为：，化成标准方程为：.设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，圆心（6，8）到直线的距离，所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.19、（1）答案见解析（2）答案见解析【解题分析】（1）由展开图及直观图直接观察可得；（2）选择②，根据线面垂直的判定定理即可证明DF⊥平面.【小问1详解】如图，【小问2详解】若选择①，若此时有平面，则由平面可得，而平面，而平面，故，因为，则平面，由平面可得，故此时矩形为正方形，，矛盾.选择条件②，使得平面，下面证明如图，连接,在长方体中，平面，而平面，故，而，故矩形为正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.20、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，由点到直线距离公式可得参数值得抛物线方程；（2）设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入可得值，得定点坐标【小问1详解】已知双曲线的一条渐近线方程为，即，抛物线的焦点为，所以，解得（因为），所以抛物线方程为；【小问2详解】由题意设直线方程为，设由得，，，又，所以，所以，直线不过原点，，所以所以直线过定点21、；【解题分析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.【题目详解】解：过的两点式方程为，整理得即边所在直线的方程为，边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为，即过，的直线的方程为，即整理得所以边上中线所在直线的方程为22、（1），，，平均数为；（2）平均数为，方差为.【解题分析】（1）计算出第组的频数，可求