福建省龙岩市武平一中、长汀一中、漳平一中等六校2024学年高二上数学期末检测模拟试题含解析

福建省龙岩市武平一中、长汀一中、漳平一中等六校2024学年高二上数学期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（）A. B.C.或 D.或2．已知抛物线的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若，则当最大时，（）A. B.1C. D.23．函数区间上有（）A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值4．为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（）A.60 B.120C.150 D.2405．已知数列通项公式，则（）A.6 B.13C.21 D.316．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（）A. B.C. D.7．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则离心率（）A. B.C. D.8．即空气质量指数，越小，表明空气质量越好，当不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日的统计数据.则下列叙述正确的是A.这天的的中位数是B.天中超过天空气质量为“优良”C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这天的的平均值为9．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.610．设函数在上可导，则等于（）A. B.C. D.以上都不对11．如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（）A. B.C. D.12．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线m，n，直线m与椭圆交于A，B两点，直线n与椭圆交于C，D两点，若．则下列方程①；②；③；④．其中可以作为直线AB的方程的是______（写出所有正确答案的序号）14．已知过椭圆上的动点作圆（为圆心）：的两条切线，切点分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为______15．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________16．已知两平行直线与间的距离为3，则C的值是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直角梯形AEFB与菱形ABCD所在平面互相垂直，，，，，，M为AD中点.（1）证明：直线面DEF；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且椭圆C过点（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点A，B，且(O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由19．（12分）已知圆，直线（1）求证：对，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）当时，求直线l被圆C截得的弦长20．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知，S2=-3.（1）求{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.21．（12分）如图，正方体的棱长为2，点为的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离.22．（10分）已知三棱柱中，.（1）求证:平面平面.（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去得到关于的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的的值；当已知直线位于直线及直线的位置时，分别求出对应的的值，写出满足题意得的范围，综上，得到所有满足题意得的取值范围【题目详解】根据曲线，得到，解得：；，画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线代入椭圆方程得：，得到，即，化简得：，解得或(舍去)，则时，直线与曲线只有一个公共点；当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，则当时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得的范围是或故选：D2、B【解题分析】根据抛物线的定义，结合换元法、配方法进行求解即可.【题目详解】因为点P为该抛物线上的动点，所以点P的坐标设为，抛物线的焦点为F，所以，抛物线的准线方程为：，因此，令，，当时，即当时，有最大值，最大值为1，此时.故选：B3、B【解题分析】求出得出的单调区间，从而可得答案.【题目详解】当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.故选：B4、C【解题分析】结合排列组合的知识，分两种情况求解.【题目详解】当分组为1人,1人,3人时，有种，当分组为1人，2人，2人时有种，所以共有种排法.故选：C5、C【解题分析】令即得解.【题目详解】解：令得.故选：C6、B【解题分析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.【题目详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，故，，，，，等式左右两边分别相加得，，故选：B.7、D【解题分析】根据长轴长是短轴长的2倍，得到，利用离心率公式即可求得答案.【题目详解】∵，∴，故，故选：D8、C【解题分析】这12天的AQI指数值的中位数是，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的指数值的平均值为110，故D不正确.故选C9、C【解题分析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【题目详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.10、C【解题分析】根据目标式，结合导数的定义即可得结果.【题目详解】.故选：C11、D【解题分析】代入计算即可.【题目详解】设B点的坐标为，由抛物线方程得，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.故选：D12、A【解题分析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②【解题分析】①②结合椭圆方程得到与椭圆参数的关系，即可判断；③④联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求，即可判断.【题目详解】由题设，且右焦点为，①时直线，故，则符合题设；②时，同①知：符合题设；③时直线，联立直线AB与椭圆方程并整理得：，则，同理可得，则，不合题设；④时，同③分析知：，不合题设；故答案为：①②.14、【解题分析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当最小时，可知，此时；根据椭圆性质知，解方程可求得，进而得到离心率.【题目详解】由椭圆方程知其右焦点为；由圆的方程知：圆心为，半径为；当最小时，则最小，即，此时最小；此时，；为椭圆右顶点时，，解得：，椭圆的离心率.故答案为：.15、；【解题分析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径,利用点到直线距离公式解出半径,即可得到圆的方程【题目详解】由题,设圆心到直线的距离为,所以,因为圆与直线相切,则,所以圆的方程为,故答案为：【题目点拨】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程,考查点到直线距离公式的应用16、【解题分析】根据两条平行直线之间的距离公式即可得解.【题目详解】两平行直线与间的距离为3，所以，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，连接BD，可得，以为原点，为轴，竖直向上为轴建立空间直角坐标系，利用向量法计算与平面的法向量的数量积为0即可得证；（2）分别计算出平面和平面的法向量，然后利用向量夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，且，所以平面ABCD，连接BD，则等边三角形，所以，以为原点，为轴，竖直向上为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，因为，则有，取，又因为，所以，因为平面，所以平面；【小问2详解】解：分别设为平面和平面的法向量，因为，则有，取，因，则有，取，所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.18、（1）；（2）存在，.【解题分析】(1)与焦点相同可求出c，将代入方程结合a、b、c关系即可求a和b；(2)直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，联立AB方程与椭圆方程，得到根与系数的关系；由得，结合韦达定理得k与m的关系；再由圆与直线相切，即可求其半径；最后再验证AB斜率不存在时的情况即可.【小问1详解】，由题可知，解得点，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设，设，代入，整理得，由得，即，由韦达定理化简得，即，设存在圆与直线相切，则，解得，所以圆的方程为，又若轴时，检验知满足条件，故存在圆心在原点的圆符合题意19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）由直线过定点，只需判断定点在圆内部，即可证结论.（2）由点线距离公式求弦心距，再利用半径、弦心距、弦长的几何关系求弦长即可.【小问1详解】直线恒过定点，又，所以点在圆的内部，所以直线与圆总有两个不同的交点，得证.【小问2详解】由题设，，又的圆心为，半径为，所以到直线的距离，所以所求弦长为20、（1）；（2）【解题分析】（1）根据所给条件列出方程组，求得，即可求得答案；（2）根据（1）的结果，写出，利用等比数列的前n项和公式求得答案.【小问1详解】设等差数列{an}公差为d，由，得解得所以(n∈N*)；【小问2详解】由（1）可知，故，所以21、（1）（2）【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，利用向量的夹角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小问1详解】解：以点作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，0，，，0，，设平面的一个法向量为，又，则，则可取，又，设直线与平面的夹角为，则，直线与平面的正弦值为；【小问2详解】解：因为所以点到平面的距离为，点到平面的距离为22、（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.【解题分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答.(2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.【小问1详解】在