2022-2023学年人教A版选择性必修第三册列联表与独立性检验讲义

8.3列联表与独立性检验

新课程标准新学法解读

L通过2X2列联表统计意义的学

习，能对两个事件是否关联做出判1.了解独立性检验的基本思想方

断.法.

2.了解两个分类变量的独立性检验2.通过对数据的收集、整理和分

析，增强学生的社会实践能力，

的应用.

培养学生分析问题、解决问题的

3.借助炉计算公式进行独立性检验，

能力.

并能利用独立性检验的基本思想来

解决实际问题.

课前篇咱主学习固基础

［笔记教材］

知识点12义2列联表

(1)定义：如果随机事件A与3的样本数据整理成如下的表格形

式.

A总计

Baba~\~b

~Bcdc~\~d

总计a+cb+d

因为这个表格中的核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通

常称为2X2列联表.

(2)记〃=a+Z?+c+d,则由表可知：

①事件A发生的概率可估计为0(4)=，产；

②事件B发生的概率可估计为P(B)=；

③事件AB发生的概率可估计为P(AB)=.

答案：⑵②审酰

知识点2/（读作“卡方”）统计量

/2计算公式：,2=,其中"=

n（ad一儿丫

a+0+c+d

口木.(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+tZ)

知识点3独立性检验

根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律.在假定飞

的条件下，对于有放回的简单随机抽样，当样本容量〃充分大时，忽

略/的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值a,可以

找到相应的正实数Xa,使得下面的关系成立：

P（x~N%a）=a.

我们称乂为a的临界值，这个临界值就可作为判断,2大小的标

准.概率值a越小，临界值.基于小概率值a的检验规则

是：

当________时，我们就推断为不成立，即认为x和y不独立，

该推断犯错误的概率不超过a；

当时，我们没有充分证据推断“0不成立，可以认为X

和y独立.

这种利用才?的取值推断分类变量x和y是否独立的方法称为/

独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

/独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

答案：越大/2<Xa

［重点理解］

1.按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存,

因为这个表格中的核心数据是中间的4个格子.

2.作2X2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.

3./计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能

张冠李戴；三是计算时要细心.

4.统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据

的性质来推测全部数据的性质.因此，统计推断是可能犯错误的，即

从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系.

［自我排查］

1.（2021•天津河西月考）如表是2X2列联表，则表中的a、b的

值分别为（）

Vy合计

X1a835

X113445

合计b4280

A.27,38B.28,38

C.27,37D,28,37

答案：A解析：4=35—8=27,8=4+11=27+11=38.

故选A.

2.（2021・湖南石门第六中学高二月考）根据下表：

a0.0500.0100.001

z«3.8416.63510.828

若有99%的把握说事件A与事件8有关，那么具体算出,2一定

满足（）

A./2>10.828B./2<10.828

C./>6.635D./<6.635

答案：C解析：因为有99%的把握说事件A与事件8有关，所

以有1一99%=0.01,根据临界值表，x2>6.635.

故选C.

3.（2021•江苏星海实验中学高二）某班班主任对全班50名学生学

习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：

积极参加不太主动参

合计

班级工作加班级工作

学习积极性高18725

学习积极性一般61925

合计242650

临界值表:

a0.50.40.250.150.10

0.4550.7081.3232.0722.706

Q0.050.0250.0100.0050.001

43.8415.0246.6357.87910.828

根据表中数据分析，以下说法正确的是（）

A.有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态

度有关系

B.有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态

度有关系

C.有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度

有关系

D.没有充分的证据显示学生的学习积极性与对待班级工作的态

度有关系

2

M50X（18X19-7X6）~

答案：A解析：/0=:年”乂彳乂”[11・54>10.828,所以

有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关

系.

故选A.

4.（2021•辽宁丹东高三二模）（多选题）晚上睡眠充足是提高学习效

率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须

休息，另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生

还可以继续进行夜自习，稍晚再休息.有关人员分别对这两所高中的

高三年级学习总成绩前50名学生的学习效率进行问卷调查，其中衡

水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取

1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4,贝U()

Mad-b*

(a+b)(a+c)(b+d)(c-\~d)，

a0.0500.0100.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

A彳断水某高中的前50名学生中有60%的学生学习效率高

B.另一所同类高中的前50名学生中有40%的学生学习效率高

C.有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充

足有关”

D.认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足有关”的犯错

概率超过0.05

答案：AC解析：设这100名学生中学习效率高的人数有〃人,

n

由题意有y^=0.4,得〃=40.

因为某高中的50名学生中有30名学生的学习效率高，

所以另一所同类高中的50名学生中有10名学生的学习效率高，

30

所以某高中的前50名学生中有石=60%的学生学习效率高，故

选项A正确，

另一所同类高中的前50名学生中有肝=20%的学生学习效率高，

故选项B不正确.

根据以上数据得到所下的列联表：

学习效率学习效率

总计

高人数不高人数

某高中302050

另一所同类

104050

高中

总计4060100

,100X(30X40-20X10)2

z-=40X60X50X50%16,667>10,828'

所以选项C正确，选项D不正确.

故选AC.

5.(2021・四川内江高二期末)有人发现，多看手机容易使人近视,

下表是调查机构对此现象的调查数据：

近视不近视总计

少看手机154560

多看手机15520

总计305080

则在犯错误的概率不超过________的前提下认为近视与多看手

机有关系.

附表：

a0.150.100.050.0100.0250.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：/=讲布丽而谢’其中〃=a+b+c+d.

答案：0.001解析：根据列联表计算/J。.装不：二2；；5)2

入DU入ZU/XOU

=16>10.828,

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为近视与多看手

机有关系.

故答案为0.001.

课堂篇•重点难点要突破

研习1用2X2列联表分析两变量间的关系

［典例1］在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，

其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有

43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人

中有21人的饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上

数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用七与七判断二者是否

a-rbc-vd

有关系.

对变量进求出分类变量作出2X2

思路点拨:

行分类的不同取值列联表

、、出a.c

计算T丁点与二PZ

的值并作出判断

解：饮食习惯与年龄2义2列联表如下:

年龄在六十年龄在六十

合计

岁以上岁以下

饮食以蔬

432164

菜为主

饮食以肉

273360

类为主

合计7054124

将表中数据代入公式得

号二江。67,南磊=0.45.

显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为

饮食习惯与年龄有关系.

［巧归纳］

1.作2X2列联表时，注意应该是4行4歹U,计算时要做到准确

无误.

2.作2义2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.

［练习1］某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的

情况进行了调查，统计数据如表所示：

每年体检每年未体检合计

老年人a7C

年轻人6bd

合计ef50

已知抽取的老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错

误的是（）

A.a=18B.。=19

C.c+d=50D.e-f=2

答案：D解析：由题意得，a+7=c=25,6+b=d=25,a+6

=e,7+Z?=/,e+/=50,

所以。=18,b=l9,c+d=50,e=24,/=26,则e-/=-2.

故选D.

研习2由x2进行独立性检验

［典例2］为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关,

某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴

趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无

兴趣的有52人.能否在犯错误的概率不大于0.1的前提下，认为“学

生选报文、理科与对外语的兴趣有关联”？

解：设Ho：对外语的兴趣与文、理科独立，即学生选报文、理

科与对外语的兴趣无关联.

根据题目所给的数据得到如下列联表:

理科文科合计

对外语有兴趣13873211

对外语无兴趣9852150

介计236125361

根据列联表中数据由公式计算得

。361X(138X52-73X98)2,

y2=-------------------------------^1871Xio-4

X211X150X236X125

；1.871X1(F4<2.7O6=%O」.

，没有充分证据可以推断出“0不成立，因此可以认为“0成立，

即认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关联，即不能在犯错误的

概率不大于0.1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣

有关联”.

［巧归纳］

利用好进行独立性检验的步骤

⑴列表：列出2X2列联表.

(2)求值：求出/的值.

(3)判断：与临界值比较，得出事件有关的可能性大小并作出判

断.

［练习2］(2021・湖南永州高三三模)(多选题)某校对“学生性别

和喜欢锻炼是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相

同，男生喜欢锻炼的人数占男生总人数的会女生喜欢锻炼的人数占

3

女生总人数的1若至少有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有

关”，则被调查学生中男生的人数可能为()

n(ad-be?

附：/=(a+b)(c+6/)(a+c)3+田•(〃=a+)+c+d)

a0.0500.010

Xa3.8416.635

A.35B.40

C.45D.50

答案：CD解析：由题意知，被调查的男女生人数相同，设男

生的人数为：5H,由题意可列出2义2列联表：

男生女生合计

喜欢锻炼4〃3nIn

不喜欢锻炼n2n3n

合计5n5n10rt

n(ad—be?

1OnX(4nX2n_3nX/i)210〃

=5HX5/?X7HX3H二不

由于有95%的把握认为“学生性别和喜欢锻炼有关”，

所以3.841W*<6.635,

解得8.0661W〃<13.9335,

则〃的可能取值为9,10,11,12,13.

则选项中被调查学生中男生的人数可能45或50.

故选CD.

研习3独立性检验的综合应用

［典例3］某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该

种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得

到如下数据：

未感染病毒感染病毒总计

未注射疫苗a60m

注射疫苗b30n

总计11090200

从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白

鼠的概率为§2

(1)能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？

(2)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽

取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫

苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率.

,________Z?c)2____________

X(a+Z?)(c+6Z)(a+c)("+J)，

a0.050.0250.0100.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴根据条件祟=|，得加=100,

从而。=40,b=70,n—100,

〜、200X(40X30—70X60)2

由y2=-----------------------------—18182,

100X100X110X90

因为18.182>10.828,所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效.

(2)在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为2：

1,

所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为a,b,c,d；

从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为e,/

从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，

即有(。，b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(h,

e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f).

记事件A为“至少有1只注射过疫苗”，则A包含9个基本事

93

件，从而尸(4)=正=§，

故至少有1只为注射过疫苗的概率为1.

［巧归纳］

检验两个变量是否相互独立，主要依据是计算X2的值，再利用

该值与分位数人进行比较作出判断.

［练习3］(2021•辽宁沈阳二中高三模拟)马拉松(Marathon)长跑

是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合

为42.195千米(也有说法为42.193千米).分全程马拉松(Full

Marathon)>半程马拉松(HalfMarathon)和四分马拉松(Quarter

Marathon)三种.以全程马拉松比赛最为普及，一般提及马拉松，即

指全程马拉松.2021年沈阳国际马拉松于9月19日在辽宁沈阳举行，

本次“沈马”获评“2021世界田联标牌”赛事.为了调查学生喜欢

跑步是否与性别有关，某高中选取了200名学生进行了问卷调查，得

到如下的2X2列联表：

喜欢跑步不喜欢跑步合计

男生80

女生20

合计

已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6.

(1)判断是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？

(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，

再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人

数，求X的分布列及数学期望.

参考公式及数据：-=1小/，啜八，其中n=a+b

A+b)(c-i-a)(a+c)(b+a)

+c+d.

a0.500.400.250.150.10

工"0.4550.7081.3232.0722.706

a0.050.0250.010.0050.001

3.8415.0246.6357.87910.828

解：(l)：200名学生随机抽取1人是喜欢跑步的概率为06

，喜欢跑步的人数为200X0.6=120,可得列联表如下：

喜欢跑步不喜欢跑步合计

男生8060140

女生402060

合计12080200

,200X(80X20-60X40)2

‘-=一120X80X140X60—七L587<2.706,

没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关.

(2)由分层抽样抽取8名学生，则男生6人，女生2人，再从8

人中抽取3人，用X表示其中女生的人数，则'={0』,2}.

CSC?5

.•.P(X=O)=

14,

CJQ15

尸(X=l)=

3

P(X=2)=

28,

分布列如下：

X012

5153

P

142828

,5is33

故期望七(X)=OXm+lx森+2X*

14ZoZo4

课后篇•基础达标延伸阅读

1.（2021•河北石家庄第六中学高二月考）为了解某大学的学生是

否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，

得到如下2义2列联表：

男女总计

爱好ab73

不爱好C25

总计74

则a—h—c等于()

A.7B.8

C.9D.10

答案：C解析：根据题意，可得

c=120-73-25=22,

(7=74-22=52,

8=73—52=21,

即2义2列联表为

男女总计

爱好522173

不爱好222547

总计7446120

：.a-b-c=52~2l-22=9.

故选C.

2.（2021•陕西西安高二期末）在研究肥胖与高血压的关系时，通

过收集数据、整理分析数据得到“高血压与肥胖有关”的结论，并且

在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.下列

说法中正确的是（）

A.在100个高血压患者中一定有肥胖的人

B.在100个肥胖的人中至少有99人患有高血压

C.在100个高血压患者中可能没有肥胖的人

D.肥胖的人至少有99%的概率患有高血压

答案：C解析：因为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为

这个结论是成立的，所以得有99%的把握认为“高血压与肥胖有

关”，只是结论成立的可能性与有多少个人患高血压无关，更谈不上

概率，A,B,D不正确，C正确.

故选C.

3.（2021・四川雅安高二期末）为了调查高中学生参加课外兴趣活

动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如

下2X2列联表:

篮球舞if臼合计

男13720

女2810

合计151530

根据表中的数据，及观测值

____n(ad—be?、

Z2其中/=参考数据:

(a+Z?)(c+<i)(a+c)(b+

a0.050.0250.010

Xa3.8415.0246.635

则在犯错误的概率不超过________前提下，认为选择舞蹈与性别

有关.

答案：0.025解析：由列联表中的数据可得，

,30X(13X8-2X7)227

2=-------------------------------------=—=54>5024

zy15X15X20X105''Ui

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为选择舞蹈与性

别有关.

故答案为0.025.

4.(2021•全国高考甲卷数学(理))甲、乙两台机床