人教版高二上学期期末数学试卷(理)

x黑龙江省庆高二（上期末数学试（理科）x一、选题（本大题小题每小5分，共分）1分）向量

，若，则x的值为（）A﹣3．1C．﹣1D．2分）已知函数（x）=x+，则f′（1）的值为（）A1．2C．﹣1D．﹣3分）某学校高一、高二、高三共有学3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按

的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A8．11．16D．4分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份

1月份

2月份

3月份

4月份

5月份

6月份收入x12.3支出Y5.63

14.55.75

15.05.82

17.05.89

19.86.11

20.66.18根据统计资料，则（）A月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A

B．

．

D．6分）点集{（x，y）0x≤，0≤y≤}A={（x，）|y≥e，）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A

B．

．

．7分）下列说法错误的是（）

0022111111222200022A“函数fx）的奇函数“f（=0”的充分不必要条件．0022111111222200022B．已知A，B，不共线，若

=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x∈，sinx≥1”的否定是：“∀x∈，sinx＜1D．命题“若

，则cos”的逆否命题是：“cos

，则

”．8分）过双曲线

的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A

B．

．

或

D．

或9分）若双曲线x+my=m（m）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A

B．

C．

．10分）已知正三棱柱ABC﹣BC的侧棱长与底面边长相等，则AB与侧面ACCA所成角的正弦值等于（）A

B．

．

D．11分）设函（x）x﹣9lnx在区间[a﹣1，+1上单调递减，则实数的取值范围是（）A2]B．4+∞）﹣∞，2]D3]12分）设函数f（）=

sin

，若存在f（x）的极值点x满足+[f（）]＜，则m的取值范围是（）A∞，﹣6）∪（6，∞）B∞，﹣4∪（4+∞）C∞，2∪2+∞）D∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填题（本大题4个小，每小题5分，共分）13分）已知命题“x∈R，x﹣+1＜0”为假命题，则实数的取值范围是．14分）由动点P向圆+y=1引两条切线、PB，切点分别为A、，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．

xx221221xx2212212216分）已知函数（x）=e﹣e+（e为自然对数的底数（2x﹣）（4﹣x）＞则实数x的取值范围为．三、解题（本大题6个小，17题分，余各题分，70分）17分）已知过抛物线=8x的焦点，斜率为

的直线交抛物线于x，y（x，y＜x）两点．（1）求线AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求值．18分）已知关于的二次函数fx）=ax﹣4bx+（Ⅰ）设集合A={﹣12}和{﹣2，﹣1，}分别从集合，B中随机取一个数作为a和b，求函y=f）在区间[1+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（，b是区域

内的随机点，求函数fx）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19分）已知四棱锥﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠，E为的中点，⊥平面ABCD，且（1）在PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面D﹣A的余弦值．

x21121x2112120分）已知函数fx）=e（ax+﹣x﹣4x，曲线y=fx）在点（0，f（切线方程为y=4x+4（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求）的极大值．21分）已知椭圆

的两个焦点分别为，，点M（0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点10）的直线l与椭圆相交于AB两点，设点（32直线，BN的斜率分别为k，k，求证：+k为定值．22分）设函数（1）当∈（0+∞

恒成立，求实数a的取值范围．（2）设（x）=fx）﹣在[1，e]上有两个极值点，x．（A求实数a的取值范围；（B）求证：．

大庆高二上）期末数试卷（理科参考答案试题解析一、选题（本大题小题每小5分，共分）1分）向量A﹣3．1C．﹣1D．【解答】解：∵向量

，若，则x的值为（），，∴

=﹣44x﹣8=0，解得x=3故选：D2分）已知函数（x）=x+，则f′（1）的值为（）A1．2C．﹣1D．﹣【解答】解：∵f（）=x+lnx，∴f′）=1∴f′1）=1+=2故选B3分）某学校高一、高二、高三共有学3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按

的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A8．11．16D．【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按

的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为故选A．

=8

xx4分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份

1月份

2月份

3月份

4月份

5月份

6月份收入x12.3支出Y5.63

14.55.75

15.05.82

17.05.89

19.86.11

20.66.18根据统计资料，则（）A月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是

=16，收入增加，支出增加，故x与有正线性相关关系，故选：C．5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A

B．

．

D．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为，bc，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为，，Ba，，，Ca，，Cc，根据题设其中Ab，，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6分）点集{（x，y）0x≤，0≤y≤}A={（x，）|y≥e，）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）

0000A0000

B．

．

．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：

，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：

，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：故选：B．

．7分）下列说法错误的是（）A“函数fx）的奇函数“f（=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，不共线，若

=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x∈，sinx≥1”的否定是：“∀x∈，sinx＜1D．命题“若

，则cos”的逆否命题是：“cos

，则

”．【解答】解：对于A，函数fx）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“数fx）为奇函数是“f0=0”的非充分非必要条件，故错误；对于B，已知A，B，不共线，若

=，可得+

==2

为AB的中点即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于，命题∃x∈sinx≥1”否定是：“x∈R，＜1”由命题的否定形式，可得C正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命若α=

，cosα=”的逆否命题为若cos≠，α

222422222≠222422222

故D正确．故选：A．8分）过双曲线

的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A

B．

．

或

D．

或【解答】解：设双曲线

的右焦点F（c，0令x=﹣c，可得y=±，可得Ac，﹣（c，又设D（b△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°即b=

或∠BDA=90°，即

=0，解：b=

可得a=b，

，所以e==

；由

=0可得，，﹣）=0可得c+b﹣

=0可得e﹣4e+2=0，e＞1可得e=

，综上，e=

或．故选：D9分）若双曲线x+my=m（m）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A

B．

C．

．【解答】解：根据题意，双曲线x+my=mm∈R）的焦距4可得

=2c=4，解可得m=3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±

x；

1111111111111111111111111111111111111111111111112220002210分）已知正三棱柱ABC﹣BC的侧棱长与底面边长相等，则AB与侧面ACCA所成角的正弦值等于（）A

B．

．

D．【解答】解：取AC的中点，连接BD，AD，在正三棱柱ABC﹣BC中，D⊥面ACCA，则∠BAD是AB与侧面A所成的角，∵正三棱柱ABC﹣BC的侧棱长与底面边长相等，∴

，故选A．11分）设函（x）x﹣9lnx在区间[a﹣1，+1上单调递减，则实数的取值范围是（）A2]B．4+∞）﹣∞，2]D3]【解答】解：∵f（）=x﹣9lnx，∴函数f（）的定义域是（，+∞f′）=x﹣，∵x＞0，∴由f′x）﹣＜0得0＜＜3．∵函数f（）=x﹣9lnx在区间a﹣1a+1上单调递减，∴故选A．

，解得1a≤212分）设函数f（）=

sin

，若存在f（x）的极值点x满足

2

+[f（x）]

＜，则m的取值范围是（）A∞，﹣6）∪（6，∞）B∞，﹣4∪（4+∞）C∞，2∪2+∞）D∞，﹣1）∪（1，+∞）

00222222000002222222222【解答】解：由题意可得，x）=±，即00222222000002222222222

=kπ，k∈即x=m．再由x+[fx）]＜，即+3m，可得当m最小时，|x|最小，而|x|最小为|m|，∴m＞m+3，∴m＞求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填题（本大题4个小，每小题5分，共分）13分）已知命题x∈R，﹣+1＜0”为假命题，则实a的取值范围是[﹣2，]．【解答】解：∵命题“在实数x，使x﹣ax+1＜0”否定是任意实数，使x﹣ax+1≥0命题否定是真命题，∴△=﹣a）

2

﹣4≤0∴﹣2≤a≤实数a的取值范围是：[﹣22]．故答案为：[﹣22]．14分）由动点P向圆+y=1引两条切线、PB，切点分别为A、，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x+=

．【解答】解：连接OP，，OA，，∵，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，⊥，OB⊥，∴∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=

，∴P点轨迹为以O为圆心，以∴P点轨迹方程为x+y=．故答案为：x+y=．

为半径的圆，

xx﹣2xxxxxxxxxx﹣2xxxxxxxx15分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答拟程序的运行得程序框图的功能是计算并输出的值，由于sin，k∈的取值周期为，且2017=336×+1，

+sin

+…sin所以S=sin

+sin

+…sin=336×（sin

+sin

+…+sin

）+sin=

．故答案为：

．16分）已知函数（x）=e﹣e

+（e为自然对数的底数（2x﹣）（4﹣x）＞则实数x的取值范围为（﹣，3）．【解答】解：根据题意，令（）=f（）﹣1=e﹣e，有g（﹣x）=f﹣x）﹣﹣e=﹣g（xg（x）为奇函数，对于g（x）=e

﹣e

﹣

，其导数g′（x）=e

+e

﹣

＞0，则g（x）为增函数，

022222212212221212212323222且g（0=e﹣e022222212212221212212323222（2x1）（﹣x

）＞（2x﹣1）1﹣（4﹣）1⇒（﹣1）＞[（﹣x

）﹣⇒（2x﹣1）＞g（2

﹣4又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1x﹣4，即x﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1x＜即实数x的取值范围为（﹣1，3故答案为﹣13三、解题（本大题6个小，17题分，余各题分，70分）17分）已知过抛物线=8x的焦点，斜率为y＜x）两点．（1）求线AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若

的直线交抛物线于x，y（x，，求λ的值．【解答】解）直线的方程是y=2由根与系数的关系得x+x=5由抛物线定义得|AB|=x+x+p=9，

（x﹣与y=8x联立，消去得x﹣5x+4=0，（2）由x

﹣5x+4=0，x=1x=4，从而（1，﹣2

（44

设

=（x，y）=1﹣2

）+λ（4

）=（λ+14

λ2

又y=8x，即[2

（2λ﹣1）]=8（λ+1即（2λ﹣1λ+1，解得λ=0或λ=2．18分）已知关于的二次函数fx）=ax

﹣4bx+（Ⅰ）设集合A={﹣12}和{﹣2，﹣1，}分别从集合，B中随机取一个数作为a和b，求函y=f）在区间[1+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（，b是区域数的概率．

内的随机点，求函数fx）在区间[1，+∞）上是增函【解答】解：要使函数y=f（）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且

，即a＞0

且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣121共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域

的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19分）已知四棱锥﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠，E为的中点，⊥平面ABCD，且（1）在PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面D﹣A的余弦值．【解答】解）以BD为x轴，为y轴，与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．（010设，则=（

（0，10，

，

（012设平面PEC的法向量为=x，，z

，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1

x2∵AF平面，x2∴

=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0

=（，﹣，0设平面PEA的法向量=（x，y，z则，取x=

，得平面PEA的法向量=（，﹣3，设平面PED的法向量=（x，y，z则，取x=

，得=（＜＞===﹣，由二面角DPEA为锐二面角，因此，二面角D﹣﹣的余弦值为．20分）已知函数fx）=e（ax+﹣x﹣4x，曲线y=fx）在点（0，f（切线方程为y=4x+4（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（）的单调性，并求）的极大值．

x2xx2xx1122【解答】解）∵fx）=e（axb﹣x﹣4x，x2xx2xx1122∴f′）=e

（ax+a+b﹣﹣4，∵曲线y=f（）在点（0f（切线方程为y=4x+4∴f（=4，′0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知）+1）x﹣4xf（x=4ex+2）2x﹣（x+2﹣令f′）=0得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣，+∞）时，（）＞0x∈（﹣﹣ln2）时，f′x）＜∴f（）的单调增区间是（﹣∞，﹣2，∞调减区间是（﹣﹣ln2）当x=﹣2时，函数f）取得极大值，极大值为f（﹣）=4（e

21分）已知椭圆

的两个焦点分别为，，点M（0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点10）的直线l与椭圆相交于AB两点，设点（32直线，BN的斜率分别为k，k，求证：+k为定值．【解答】解）依题意，，a﹣b=2∵点M（0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为

．…（4分）（II）①当直线的斜率不存