专题08第十二章全等三角形热考题型汇总(经典题型)

1、专题08第12章 全等三角形热考题型汇总（经典题型）知识网络找夹角35,已知两边（找直角HLII膜三边5s5|i若边为角的对边，找任意角AA5Y（登三角影（考生涯）户已知r我已知角的另H3SASe边为角的邻边找已知边的对角A空!找夹已知边的另一角45A41已知两角专题08全等三角形（经典题型）找两角的夹边AGA 找任意一边AA三一 角平分河（考察题型）1图中有角平分线，向两边作垂线角平分线加垂线，三线合一试试看 角平分线平行线，等腰三角形耒添图形对折重难突破知识点一三角形全等土 题型一已知两边，找夹角SAS典例1 （2018春 南通市期中）如图，AABC中，AB=AC，点E, F在边BC上，B

2、E=CF ,点D在AF的延长线上，AD=AC ,（1）求证：MBE AACF ；（2）若/ BAE=30 ,贝叱 ADC=,D典例2 （2019四川中考模拟）如图，点 E、F在BC上，BE=CF , AB=DC , / B= / C, AF与DE交于点G,求证：GE=GF.典例3 （2018春赣州市期末）已知，点 P是等边三角形AABC中一点，线段 AP绕点A逆时针旋转60。到AQ ,连接 PQ、QC.(1)求证：PB=QC;(2)若 PA=3, PB=4, / APB = 150,求 PC 的长度.土 题型二已知两边，找直角HL典例1 （2017春孝南区期中）如图，BD=CF, FDBC 于

3、点 D, DEAB 于点 E, BE=CD ,若/ AFD=145则/ EDF的度数为（）A. 45 B, 55 C, 35 D, 65 典例 2 (2018 春 南昌市期末)如图，/ B=/D=90 , BC=CD , / 1=40,贝 U/ 2=5CDB. 50A. 40C. 60D, 75典例3 （2017春 西城区期中）如图，直线 l上有三个正方形 a, b, c,若a, c的面积分别为5和11,则的面积为（）A. 4B. 6C. 16D. 55工题型三已知两边，找第三边SSS典例1 （2019春 眉山市期末）如图，五边形ABCDE中有一正三角形 ACD，若AB=DE , BC=AE

4、, /E=115 ,则/ BAE的度数为何？（）A.115B.120C.125D.1301的正方形网格中标有 A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中典例2 （2018春小店区期末）在边长为A. AACFB. AACEC.AABDD. ACEF典例3 （2018春 杭州市期末）如图,OA = OB, OC=OD, AD = BC,则图中全等三角形的对数有 （A . 1对B. 2对C. 3对D. 4对典例4 （2018富顺县期中）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且 AB = AD,AC=AE,BC = DE若Z1 +Z2 +/3 =94，则/3的度数为（）A.49B.47C.45D.43工

5、题型四 已知一边一角(若边为角的对边，找任意角AAS)B、C),连接 AP,过 B、典例1如图，正方形 ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点(异于端点D两点作BE LAP于点E, DFXAP于点F.(1)求证：EF=DF-BE；(2)若AADF的周长为工，求EF的长.3DC典例2如图，已知在四边形 ABCD中，点E在AD上，/ BCE= / ACD=90 , / BAC=/D, BC=CE .(1)求证：AC=CD ;(2)若AC=AE ,求/ DEC的度数.典例3 (2017春南阳市期中)如图所示，在 AABC中，AB =AC , E为AB上一点，F为AC延长线上一点,且 BE=C

6、F , EF 交 BC 于 D,求证：DE=DF .4 题型五 已知一边一角 (边为角的邻边(找已知角的另一边SAS)典例1 （2017春 南京市期末）如图，线段 AD、BE相交与点C,且AABCZ DEC,点M、N分别为线段AC、CD的中点.求证:(1) ME=BN ；(2) ME / BN .典例2 （2019春 连云港市期末）已知：如图:ABC是等边三角形，点 D、E分别是边BC、CA上的点,且BD=CE , AD、BE相交于点O .的度数.(1)求证：AACD0BAE； (2)求/ AOB典例3 （2019春济南市期中）如图，点 E,F 在 AC 上，AD/CB , AD=CB , A

7、F=CE .求证：/ D=/B.CB工 题型六 已知一边一角 （边为角的邻边（找已知边的对角AAS）典例1 （2019春 白云区期末）如图所示，在 AABC中，AD LBC于D, CEXAB于E, AD与CE交于点F,且 AD=CD ,求证:AABD 9M CFD；（2）已知 BC=7 , AD=5 ,求 AF 的长。典例2 （2017江宁区月考）如图，在？ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.（1）求证：AB=CF ;（2）连接 DE,若 AD=2AB ,求证：DE AF .典例3 （2018春 宿迁市期末）如图，点 A、F、C、D在同一条直线上，已知 AF=DC

8、, /A=/D, BC/ EF, 求证：AB=DE .B/ 严 c 口土 题型七 已知一边一角 （边为角的邻边（找已知边的另一角 ASA）典例1 （2018春 保定市期中）如图，在 AABC和9DE中，AB=AD , / B=/D, / 1=72.求证：BC=DE .典例2 （2018春桑植县期末）已知：如下图，点A, F, E, C在同一直线上，AB/CD, AB=CD , / B=ZD,求证：/ABE CDF.典例3如图，/ A=/ B, AE = BE,点D在AC 边上，/ 1 求证：BECBED； B 二 ADC上题型八已知两角，找两角的夹边ASA典例1如图，点B、F、C、E在同一条直

9、线上，点 A、D在直 求证：AC = DF.AD典例2 （2018云南中考模拟）如图，在 ADAE和AABC中， /C.求证：AE=BC .B工题型九已知两角，找任意一边AAS典例1 （2018春西湖区期末）已知：如图，点E, F在BCAF与DE交十点O.求证：OA=OD.=/ 2, AE和BD相交十点 O.:线 BE 的两侧，AB / DE, AC / DF, BF= CE,D 是 AC 上一点,AD=AB , DE / AB , / E=:上，BE=CF, /A = /D, /BED=/AFC,DB E典例2 （2017重庆中考模拟）如图 AF/DE，点B、C在线段 AD上，连接FC、EB

10、 ,且/ E=Z F,延长EB交AF于点G.(1)求证：BE/CF(2)若 CF=BE ,求证：AB=CD典例3 （2019春锦州市期末）如图，已知A, F , E , C在同一直线上，AB/CD ,/ABE=/CDF ,DAF =CE .试说明：ABE 三 CDF知识点二角平分线的应用 题型一图中有角平分线，向两边作垂线典例1 （2019襄樊市月考）在 4BC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/EDF+/ EAF=180 ,求证 DE=DF .在9BC中，AD是/ BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且/EDF+/ EAF=180 ,求证 DE=DF .

11、B（1）中的条件改为如图，如果土 题型二角平分线加垂线，三线合一试试看典例1如图，已知 AEXFE,垂足为 E,且E是DC的中点.（1）如图，如果 FCXDC, AD DC ,垂足分别为 C, D,且AD = DC,判断 AE是/ FAD的角平分线吗?（不必说明理由）（2）如图，如果（1）中的条件“AD= DC去掉，其余条件不变，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由;“AD/ FC”，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由.4 题型三角平分线平行线，等腰三角形来填典例1 （2017春 赣州市期末）如图，在AABC中，/ ABC与/ ACB的平分线交于点 O,过点O作DE/BC ,分别交AB,AC于点

12、D,E,若AB=4, AC=3 ,则AADE的周长是。典例2 （2018江苏中考模拟）如图， AB / CD, CB平分/ ACD , / ABC=35 ,贝U/ BAE=度.典例1 （2017丹阳市月考）如图a是长方形纸带，/ DEF=25 ,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的/ CFE的度数是:图日图b 了图c典例2 (2019道外区期末)如图 a是长方形纸带(提示： AD / BC),将纸带沿EF折叠成图b,再沿GF 折叠成图c.图d(1)若/ DEF = 20,则图 b 中/ EGB=, / CFG =；(2)若/ DEF = 20,则图 c 中/ EFC=；(3)

13、若/ DEF= %把图c中/ EFC用a表示为;(4)若继续按EF折叠成图d,按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住/EFG,整个过程共折叠了 9次,问图a中/ DEF的度数是多少.知识点一三角形全等工题型一已知两边，找夹角SAS典例1 (2018春 南通市期中)如图，AABC中，AB=AC，点E, F在边BC上，BE=CF ,点D在AF的延长线上，AD=AC ,(1)求证：9BEACF;(2)若/ BAE=30 ,则/ ADC=.D【答案】（1）证明见解析；（2） 75.【详解】(1) AB=AC , ./ B= Z ACF ,在4ABE和AACF中,AB = AC! 一 一ZB =ZACF

14、, BE =CF.-.ABE ACF (SAS);(2) /A ABE AACF , / BAE=30 ,/ CAF= / BAE=30 , AD=AC ,，/ADC=180 一30故答案为：75.典例2 （2019 四川中考模拟）如图，点 E、F在BC上，BE=CF , AB=DC , / B= / C, AF与DE交于点G,求证：GE=GF.【答案】证明见解析【详解】BE=CF ,. BE+EF=CF+EF , . BF=CE ,在UBF和MCE中AB = DCI _0, / ADF 的周长为 7 , AD=1 , /. DF+AF=-,33即 a+b=-,由勾股定理得：DF2+AF 2=

15、AD 2,即 a2+b2=1,3-1 ( a- b) 2=2 (a2+b2) - ( a+b) 2=2 - - = ,a- b= -2 ,即 EF= 2 .9933典例2如图，已知在四边形 ABCD中，点E在AD上，/ BCE= / ACD=90 , / BAC=/D, BC=CE .(1)求证：AC=CD ；(2)若AC=AE ,求/ DEC的度数.【答案】(1)证明见解析；(2) 112.5 .【详解】(1河明：BC：/BCE=NACD =90 :23 = 34,. 2=/4,BACI在4ABC 和4DEC 中，/2 =/4BC -CE二 LABC旦 DEC(AAS AC=CD;(2) .

16、 / ACD =90, AC = CD ,Z 1 = / D = 45 ,AE = AC ,./ 3=/ 5=67.5。， ./ DEC = 180 / 5= 112.5 ,典例3 (2017春南阳市期中)如图所示，在 AABC中，AB =AC , E为AB上一点，F为AC延长线上一点,且 BE=CF , EF 交 BC 于 D,求证：DE=DF .【解析】试题分析：过点E作EG / AF交BC于点G,用AAS证明ZXDEGA DFC即可得到DE=DF.试题解析：证明：过点 E作EG / AF交BC于点G , . / DEG= / F, / BGE= / BCA.AB=AC , . / B=

17、/ BCA , ./ B=Z BGE , BE=GE , BE=CF , .1. GE=CF.在ADEG和ADFC中，(ZDEG = ZE IzEDG = ZFDC,( GE = CF. . DEGA DFC, DE=DF.% 题型五 已知一边一角 （边为角的邻边（找已知角的另一边SAS）典例1 （2017春 南京市期末）如图，线段AD、BE相交与点C,且AABCZ DEC,点M、N分别为线段AC、CD的中点.求证:/D(1) ME=BN ；(2) ME / BN .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1) /A ABC ADEC, . AC=DC,BC=CE. 点M、N分别

18、为线段 AC、CD的中点，CM=CN.在4BCN和4ECM中 AC=DC, / BCN= / ECM,BC=CEBCNA ECM (SAS) . ME=BN.(2) . BCN 叁、ECM , ./ CBN= Z CEM,ME / BN.典例2 （2019春 连云港市期末）已知：如图：AABC是等边三角形，点 D、E分别是边BC、CA上的点,且BD=CE , AD、BE相交于点O .(1)求证：ZCDBAE ； (2)求/ AOB 的度数.B【答案】（1）证明见解析（2） 120【解析】(1) ABC是等边三角形，. / BAC= / C=60 , BC=AC ,BD=CE ,BC-BD=AC

19、-CE , . AE=CD ,在CD和ABAE中1AE=CDZBAE=ZC=60AB=ACACDA BAE (SAS);(2) ACD BAE , . / CAD= / ABE , . / AOE= / BAD+ / ABE= / BAD+ / CAD= / BAC=60 ,，/AOB=180 -60 =120.典例3 (2019春 济南市期中)如图，点 E, F在AC上，AD/CB , AD=CB , AF=CE .求证：/ D=/B.【答案】详见解析【详解】证明：.AF=CE . AF+EF=EF+CEAE=CF：AD/BCA-jCV AD =CB二在AADE和ACBF中AD=CBA= C

20、AE=CF,.AADE =iCBF (SAS),工 题型六 已知一边一角 (边为角的邻边(找已知边的对角 AAS)典例1 (2019春 白云区期末)如图所示，在 那BC中，AD，BC于D, CE AB于E, AD与CE交于点F,且 AD=CD ,求证:AABD 9M CFD；(2)已知 BC=7 , AD=5 ,求 AF 的长。B DC【答案】(1)证明见解析；(2) 3.【详解】(1)证明：: ADXBC, CEXAB ,/ ADB= / CDF= / CEB=90 , / BAD+ / B= / FCD+ / B=90 , ./ BAD= /OCD,在UBD和CFD中，fZADb=ZCDF

21、, ZBAD=ZDCF,tAD=CDABD CFD (AAS),(2) ABD ACFD, . BD=DF ,BC=7 , AD=DC=5 ,BD=BC - CD=2 ,AF=AD DF=5 2=3 .F.典例2 (2017江宁区月考)如图，在？ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点(1)求证：AB=CF ;(2)连接 DE,若 AD=2AB ,求证：DE AF .【答案】详见解析.【解析】(1)二.四边形 ABCD是平行四边形,AB / DF , ./ BAE= / F, E是BC的中点， . BE=CE ,在AAEB和AFEC中，BAE=/F/AE B= / F EC

22、BE= ECAEBAFEC (AAS ), . AB=CF ；(2)二四边形 ABCD是平行四边形,AB=CD ,AB=CF , DF=DC+CF . DF=2CF ,DF=2AB ,AD=2AB ,AD=DF , AEB FEC, . AE=EF ,. EDXAF .典例3 （2018春 宿迁市期末）如图，点 A、F、C、D在同一条直线上，已知 AF=DC , /A=/D, BC / EF,求证：AB=DE .【答案】见解析【详解】 AF=CD , . AC=DF , BC / EF, . / ACB= / DFE,在AABC和ADEF中,A二 D AC=DFACB= DFEABCA DEF

23、 (ASA), AB=DE .4 题型七 已知一边一角 （边为角的邻边（找已知边的另一角 ASA）典例1 （2018春 保定市期中）如图，在 AABC和9DE中，AB=AD , / B=/D, / 1=72.求证：BC=DE .E【答案】证明见解析.【解析】(1)1=Z2,.Z DAC+ Z 1 = Z2+Z DACZ BAC= Z DAE ,在 BBC和&DE中，fZB=ZDI(AB=AD ,nbac = ndae/.A ADE ABC (ASA)BC=DECD, AB=CD , Z B=典例2 (2018春桑植县期末)已知：如下图，点 A, F, E, C在同一直线上，AB Z D.求证：

24、/ ABE 白/ CDF.【答案】详见解析.【详解】证明：.AB / DC, ./ A=Z C在/ ABE和力CDF中,A=/CAB =CD/B =/d/.A ABEA CDF (ASA )典例3如图，/ A=Z B, AE = BE,点D在AC 边上，/ 1 = Z2, AE和BD相交于点 O.求证：AAECABED ；【答案】见解析【详解】 . AE和BD相交于点O, ./ AOD= / BOE.在UOD和ABOE中，/ A= / B, BEO=/2.又,一/ 1 = /2,./ 1 = /BEO, . / AEC= / BED .在UEC和ABED中，A= . B AE=BE ! . 一

25、 AEC= BED .AECBED (ASA).工 题型八已知两角，找两角的夹边ASA典例1如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点 A、D在直线BE的两侧，AB / DE , AC / DF, BF= CE, 求证：AC = DF.【答案】详见解析【详解】 证明：AB / DE, AC / DF,/ ABC= / DEF, / ACB= / DFE . BF+FC=EC+CF , BF=CE ,即 BC=EF.在BBC和4EF中/ABC =/DEF ,1-BC = EF,t，ACB = DFE,.ABC DEF (ASA).AC=DF .典例2 (2018云南中考模拟)如图，在 ADAE和祥

26、BC中，D是AC上一点，AD=AB , DE / AB , / E= / C.【详解】证明：.DE / AB ,. / ADE= / BAC .在DE和ABAC中，E 二，C/ADE =/BAC , AD = ABADEA BAC (AAS), AE=BC .* 题型九已知两角，找任意一边AAS典例1 (2018春 西湖区期末)已知：如图，点E, F在BC上，BE=CF, /A = /D, / BED = / AFC ,AF与DE交于点O.求证：OA=OD.B E卜 C【答案】见解析【解析】解：. BE=CF, Z BED = Z AFC,BF = CE, / AFB = Z CED ,又:

27、/ A = Z D,ABFA DCE(AAS),.AF = DE,/ AFB = / CED , OE=OF,.AF-OF=DE-OE,即 OA=OD.典例2 (2017重庆中考模拟)如图 AF/DE，点B、C在线段 AD上，连接FC、EB ,且/ E=Z F,延长EB交AF于点G.(1)求证：BE/CF(2)若 CF=BE,求证：AB=CDu【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】(1) AF/DE. / AGB= / E又/ E=/F/ AGB= / F,BE/CF(2) . BE/CF . / DBE= / ACF . / E=/F, CF=BE, AACFZ ADBE, .A

28、C=BD , . AB=CD.典例3 (2019春锦州市期末)如图，已知A, F , E , C在同一直线上，AB/CD , 2 ABE=/CDF ,AF = CE .试说明：ABE = CDF .【答案】见解析；【详解】证明 AB /CD ,. BAC u/ACDAF =CE ,AF + EF =CE + EF ,即 AE = FC .在MBE和ACDF中，BAC = ACD/ABE =/CDF ,AE =CF.ABE 馆DF (AAS)知识点二角平分线的应用工 题型一图中有角平分线，向两边作垂线典例1 （2019襄樊市月考）在MBC中，AD是/BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，

29、且/ EDF+/ EAF=180 ,求证 DE=DF .【详解】过 D 作 DM LAB 于 M, DNAC 于 N,B D C即/ EMD= / FND=90 ,/AD 平分/ BAC , DM AB , DN AC,DM=DN （角平分线性质）， . / EAF+ / EDF=180 , ./ MED+ Z AFD=360 -180 =180 , . / AFD+ / NFD=180 , ./ MED= / NFD,EMD 和 4FND 中MED DFNI/DME =/DNF , DM = DNEMDA FND （AAS）,DE=DF .典例2 （2019襄樊市月考）在AABC中，AD是/

30、 BAC的平分线，E、F分别为 AB、AC上的点，且/ EDF+ / EAF=180 ,求证 DE=DF .BD C【答案】证明见解析.【详解】过 D 作 DM LAB 于 M, DNXAC 于 N,即/ EMD= / FND=90 ,. AD 平分/ BAC , DM AB , DN AC,DM=DN (角平分线性质)， . / EAF+ / EDF=180 , ./ MED+ Z AFD=360 -180 =180 , . / AFD+ / NFD=180 , ./ MED= / NFD,EMD 和 4FND 中MED -DFNI /DME =/DNF ,DM 二 DNEMDA FND (

31、AAS),. DE=DF .4 题型二角平分线加垂线，三线合一试试看典例1如图，已知 AEXFE,垂足为 E,且E是DC的中点.（1）如图，如果 FCXDC, AD DC ,垂足分别为 C, D,且AD = DC,判断 AE是/ FAD的角平分线吗?（不必说明理由）（2）如图，如果（1）中的条件“AD= DC去掉，其余条件不变，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由；如图，如果（1）中的条件改为“AD/ FC”，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由.【答案】（1） AE是/ FAD的角平分线（2）成立（3）成立【详解】（1） AE是/ FAD的角平分线；（2）成立，如图，延长 FE交AD于点B,E是

32、DC的中点，EC=ED , FCXDC, AD SC, ./ FCE=/ EDB=90 ,在 ACE和ABDE中，FEC DEB EC = ED , IFCE = EDB . FCEA BDE ,EF=EB ,AE FE,AF=AB ,.AE是/ FAD的角平分线;（3）成立，如图，延长 FE交AD于点B,E /D%.AD=DC , ./ FCE=/ EDB ,在FCE和ABDE中，FEC = DEBIEC = ED , FCE =/EDB . FCEA BDE ,EF=EB , .AEXFE, .AF=AB , .AE是/ FAD的角平分线工题型三角平分线平行线，等腰三角形来填典例1 （2017春 赣州市期末）如图，在AABC中，/ ABC与/ ACB的平分线交于点 O,过点O作DE/BC ,分别交AB,AC于点D,E,若AB=4, AC=3 ,则AADE的周长是。【答案】7