江苏省南京市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学 含解析

江苏省南京市2024-2025学年高二上学期11月期中学情调研测试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.下列四组数据中，方差最小的是（）A.5，5，5，5，5，5，5，5 B.4，4，4，5，5，5，6，6C.3，3，4，4，5，6，6，7 D.2，2，2，2，2，5，8，8【答案】A【解析】【分析】根据方差的定义和意义进行判断.【详解】设个数据，的平均数为，则方差为，方差反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.对于A，这组数据都相等，没有波动，故方差为；对于B，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于；对于C，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于；对于D，这组数据波动较大，故方差较大；故选：A.2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】,故选：D.3.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将一般式方程转化为点斜式方程求出斜率，即可求倾斜角.【详解】直线化为点斜式得，，所以直线的斜率为，所以倾斜角为，故选：B.4.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨设双曲线的焦点在轴，设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为，得到，再利用双曲线的离心率为．【详解】设双曲线的标准方程为，则渐近线的方程为，由两条渐近线互相垂直，即，即，又双曲线的离心率为，故选：B5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程的概念求解.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故选:C.6.底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题中的条件求出圆柱底面直径与高，再利用圆柱轴截面矩形的对角线为圆柱的外接球的直径，由此求出圆柱的外接球的半径，即可求得表面积.【详解】设圆柱的底面直径与高为，则圆柱的体积为，解得，则外接球的直径为，即圆柱的外接球的半径为，则圆柱的外接球的表面积为，故选：B.7.已知点，若圆上任意一点都满足，则实数（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用求出点的轨迹方程即可.【详解】设，因为，所以，则，整理得，，所以，故选:C.8.抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解.【详解】如图，抛物线的焦点为,根据抛物线的定义可知，点到的距离等于,所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和，由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，所以即为所求，故选:D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（）A. B.C.和是互斥事件 D.和是相互独立事件【答案】AD【解析】【分析】根据古典概率模型求解选项A,B,利用互斥事件的定义求解选项C，利用相互独立事件的定义求解选项D.【详解】由题，样本空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，{（正，正），（正，反）}，{（正，反），（反，反）}，所以，A正确；{（正，反）}，所以，则B错误，因为，所以和不是互斥事件，C错误，因为,所以，所以和是相互独立事件，D正确.故选:AD.10.在矩形ABCD中，.若，则（）A.B.C.以CE为直径的圆与直线BF相切D.直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用斜率与平行关系确定选项A，利用向量的数量积与垂直的关系确定选项B，利用直线与圆的位置关系确定选项C，利用两直线的交点坐标求解方法与两点间的距离公式确定选项D.【详解】如图，以为坐标原点，方向为轴，建立平面直角坐标系，则,对A，,所以不平行，A错误；对B，,,所以，B正确；对C，的中点为，因为，所以的直线方程为，化为一般式，则点到直线的距离为，又因为,所以,所以以CE为直径的圆与直线BF相切，C正确；对D，因为,所以的直线方程为，联立，解得，所以直线AE与BF的交点为，矩形ABCD的外接圆是以2,1为圆心，为半径的圆，因为点到2,1的距离为，所以直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上，D正确；故选:BCD.11.已知椭圆，直线与交于A，B两点，点为上异于A，B的动点，则（）A.当时， B.C.存在点，使得 D.【答案】ABCD【解析】【分析】设点，则,从而，根据在椭圆上，则有，则，再结合，可判断选项A；利用可判断选项B；根据可判断选项C，利用平面三角形的坐标面积公式即可判断选项D.【详解】设，则,所以，因为点在椭圆上，所以，所以，则，时，，代入，解得，此时，A正确；因为为的中点，所以,所以，因为点在椭圆上，所以，所以，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，B正确；因为，,所以,所以，所以当时，，因为点为上异于A，B的动点，所以存在点或时，使得，C正确；以下证明，若，则，,所以,所以，因为，所以，设，则，D正确；故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：本题选项B需使用极化恒等式：在中，是中点，则恒有；2.本题选项D需使用三角形面积的坐标表示：若，则.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.若直线与垂直，则实数______.【答案】【解析】【分析】根据两条直线垂直的充要条件进行求解即可.【详解】由直线与垂直，则，解得，故答案为：.13.已知，则______.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解.【详解】因为，所以，又因，所以，所以，故答案为：.14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______.【答案】9【解析】【分析】延长交于点，根据直线平分，则有，从而有，再根据为的中点，为的中点，则由中位线的性质可得，，进而利用双曲线的定义求解.【详解】延长交于点，因为直线平分，所以，所以，所以，由角平分线可知，为的中点，又因为为的中点，则由中位线的性质可得，，所以，所以.故答案为：9.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；（2）利用余弦定理和面积公式求解.【小问1详解】因为，边化角可得，，即，又因为，且，所以，因为，所以.【小问2详解】由余弦定理，，所以，即，所以，所以的面积为.16.已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为.（1）求的值和直线的方程；（2）记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线上的点即可求得，并根据点斜式求直线方程；（2）联立直线方程和抛物线方程求解得到，再设圆的一般方程为，待定系数法求解.【小问1详解】因为点在抛物线上，所以，解得，所以；因为直线在轴上的截距为，所以设，又因为直线经过点，所以，解得，所以直线的方程为.【小问2详解】设，联立，消去可得，，解得，，则，所以，设经过，，三点的圆的方程为，则有，解得，，所以圆方程为.17.在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点.（1）证明:平面；（2）若平面，四面体PABC的体积为2，且，求MN与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【小问1详解】在中，是的中点，所以,又因为平面,平面,所以平面.【小问2详解】因为，所以，因为平面，且四面体PABC的体积为2，所以，即，所以,所以,过点作的垂线，垂足为，连接，则有，因为平面平面，所以,又因为平面，所以平面，所以MN与平面PAC所成角，因为平面，所以，在中，由等面积法可知，，所以,则,,所以即为MN与平面PAC所成角的正弦值.18.已知圆，圆，过点作圆的切线，切线的长为2．（1）求圆的方程；（2）直线经过点，且与圆交于A，B两点，，①求的方程和的值；②若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值.【答案】（1）（2）①或；②动圆圆心到点距离的最小值为.【解析】【分析】（1）根据圆的切线长公式求解即可；（2）①利用直线被圆截得的弦长公式可求的方程，再根据向量的数量积公式结合余弦定理可求的值；②利用双曲线的定义，确定动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，再利用两点间的距离公式求解.【小问1详解】过点作圆的切线，设切点为,连接，因为,所以,所以圆.【小问2详解】显然,直线的斜率存在，设直线的方程为，设圆心到直线的距离为，所以，解得，又因为，整理得，，解得或，所以的方程为或；在中，,所以.设动圆的半径为，则由题意可得，,所以，所以动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支，则有，所以双曲线方程为，设动点，则有，所以，所以，由二次函数的性质可知，当时，有最小值，最小值为，所以，此时.19.已知椭圆的右顶点为，上顶点为，离心率为.（1）求的方程；（2）直线平行于直线AB，且与交于M，N两点，①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程；②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值.【答案】（1）（2）①或.②,证明见解析.【解析】【分析】（1）根据椭圆以及离心率之间的关系求解；（2）①