高考数学总复习 第十章 第十节二项分布、超几何分布、正态分布课件 理.ppt

第十节二项分布 超几何分布 正态分布 第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 考纲要求 1 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 2 理解n次独立重复试验的模型及二项分布 并能解决一些简单的实际问题 3 利用实际问题的直方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 课前自修 知识梳理 一 独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 二 二项分布 标准正态曲线 当 0 1时 正态总体称为标准正态总体 其相应的函数表示式是f x x 其相应的曲线称为标准正态曲线 六 正态分布如果对于任何实数a b 随机变量x满足p a x b 则称x的分布为正态分布 参数 表示随机变量x的均值 参数 表示随机变量x的标准差 记作x n 2 其中n 0 1 称为标准正态分布 正态分布n 2 是由均值 和标准差 唯一决定的分布 标准正态总体n 0 1 在正态总体的研究中占有重要的地位 七 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 简称三个基本概率值 p x 0 6826 p 2 x 2 0 9544 p 3 x 3 0 9974 八 3 原则在实际应用中 通常认为服从于正态分布n 2 的随机变量x只取 3 3 之间的值 并简称之为3 原则 正态总体几乎总取值于区间 3 3 之内 而在此区间以外取值的概率只有0 0026 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 这是统计中常用的假设检验方法的基本思想 九 几个重要分布的期望和方差1 若x服从两点分布 则ex p dx p 1 p 2 若x b n p 则ex np dx np 1 p 基础自测 2 正态总体n 0 1 在区间 2 1 和 1 2 上取值的概率为p1 p2 则 a p1 p2b p1 p2c p1 p2d 不确定 解析 根据正态曲线的特点知 关于x 0对称 即在区间 2 1 和 1 2 上取值的概率相等 故选c 答案 c 3 在含有5件次品的100件产品中 任取3件 则取到的次品数x的分布列为 4 若随机变量x n 2 则p x 答案 考点探究 考点一 超几何分布 例1 2011 佛山市一模 某班同学利用国庆节进行社会实践 对 25 55 岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查 若生活习惯符合低碳观念的称为 低碳族 否则称为 非低碳族 得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图 1 补全频率分布直方图 并求n a p的值 2 从 40 50 岁年龄段的 低碳族 中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动 其中选取3人作为领队 记选取的3名领队中年龄在 40 45 岁的人数为x 求x的分布列和期望ex 解析 1 第二组的频率为1 0 04 0 04 0 03 0 02 0 01 5 0 3 所以高为 0 06 频率直方图如下 第一组的人数为 200 频率为0 04 5 0 2 所以n 1000 由题可知 第二组的频率为0 3 所以第二组的人数为1000 0 3 300 所以p 0 65 第四组的频率为0 03 5 0 15 所以第四组的人数为1000 0 15 150 所以a 150 0 4 60 2 因为 40 45 岁年龄段的 低碳族 与 45 50 岁年龄段的 低碳族 的比值为6030 21 所以采用分层抽样法抽取18人 40 45 岁中有12人 45 50 岁中有6人 依题意知 随机变量x服从超几何分布 则 变式探究 1 2012 韶关调研 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关 对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 1 请将上面的列联表补充完整 不用写计算过程 2 能否在犯错误的概率不超过0 005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关 说明你的理由 3 现从女生中抽取2人进一步调查 设其中喜爱打篮球的女生人数为 求 的分布列与数学期望 下面的临界值表供参考 解析 1 列联表补充如下 考点二 二项分布 例2 2012 广东六校联考 甲 乙两人各射击一次 击中目标的概率分别是和 假设两人射击是否击中目标 相互之间没有影响 每人各次射击是否击中目标 相互之间也没有影响 1 求甲射击3次 至少1次未击中目标的概率 2 假设某人连续2次未击中目标 则停止射击 问 乙恰好射击4次后 被中止射击的概率是多少 3 设甲连续射击3次 用 表示甲击中目标时射击的次数 求 的数学期望e 结果可以用分数表示 点评 判断一个随机变量是否服从二项分布 要看两点 1 是否为n次独立重复试验 2 随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数 变式探究 2 2012 皖南八校联考 今年夏季酷暑难熬 某品牌饮料抓住这一时机举行夏季促销活动 若瓶盖中印有 中奖2元 字样 则可以兑换2元现金 如果这种饮料每瓶成本为2元 投入市场按每瓶3元销售 中奖2元 综合中奖率为10 1 求甲购买饮料3瓶 至少有2瓶中奖的概率 2 若该厂生产这种饮料20万瓶 假设全部售出 则盈利的期望值是多少 考点三 正态分布 例3 2012 佛山一模 佛山某学校的场室统一使用 佛山照明 的一种灯管 已知这种灯管使用寿命 单位 月 服从正态分布n 2 且使用寿命不少于12个月的概率为0 8 使用寿命不少于24个月的概率为0 2 1 求这种灯管的平均使用寿命 2 假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管 使用12个月时进行一次检查 将已经损坏的灯管换下 中途不更换 求至少两支灯管需要更换的概率 解析 1 n 2 p 12 0 8 p 24 0 2 p 12 0 2 显然p 12 p 24 由正态分布密度函数的对称性可知 18 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月 2 每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1 0 8 0 2 假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为 支 则 b 4 0 2 故至少两支灯管需要更换的概率为 p 1 p 0 p 1 1 0 84 0 83 0 21 写成 0 18也可以 点评 解答这类正态分布问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间 2 2 3 3 上的概率值以及正态分布曲线的对称性 同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个 变式探究 3 2012 沧州七校联考 2011年中国汽车销售量达到1700万辆 汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响 各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量 某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况 共抽查了1200名车主 据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8 0升 并且汽车的耗油量 服从正态分布n 8 2 已知耗油量 7 9 的概率为0 7 那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆 解析 由题意可知 n 8 2 故正态分布曲线以 8为对称轴 又因为p 7 9 0 7 故p 7 9 2p 8 9 0 7 所以p 8 9 0 35 而p 8 0 5 所以p 9 0 15 故耗油量大于9升的汽车大约有1200 0 15 180辆 答案 180 1 判断一个随机变量是否服从二项分布 要看两点 1 是否为n次独立重复试验 2 随机变量是在这n次独立重复试验中某事件发生的次数 2 二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布 也是重要的离散型随机变量的概率模型 在解题时要注意判断一个实际问题是否属于二项分布 成功概率是多少 找出其他随机变量与二项分布的随机变量间的关系式 利用二项分布的均值与方差的计算公式求解 3 注意不同背景下的超几何分布模型 用超几何模型的概率公式计算 4 n次独立重复试验中某事件a发生k次的概率p k cpk 1 p n k正好是二项式 1 p p n展开式的第k 1项 5 对正态分布的问题关键是抓住两个参数 和 理解两个参数的实际意义 再利用三个基本概率值就能解决有关的计算问题 6 小概率事件 和假设检验的基本思想 小概率事件 通常指发生的概率小于5 的事件 认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的 这种认识便是进行推断的出发点 关于这一点我们要有以下两个方面的认识 一是这里的 几乎不可能发生 是针对 一次试验 来说的 因为试验次数多了 该事件当然是很可能发生的 二是当我们运用 小概率事件几乎不可能发生的原理 进行推断时 我们也有5 的犯错误的可能 进行假设检验一般分三步 第一步 提出统计假设 如课本例子里的统计假设是工人制造的零件尺寸服从正态分布n 2 第二步 确定一次试验中的取值a是否落入范围 3 3 第三步 做出推断 如果a 3 3 接受统计假设 如果a 3 3 由于这是小概率事件 就拒绝统计假设 判断某批产品是否合格 主要运用统计中假设检验的基本思想 要记住三种区间内取值的概率 简称3 原则 它对我们的解题可以带来很大的帮助 感悟高考 品味高考 1 2012 新课标全国卷 某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成 元件1或元件2正常工作 且元件3正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布n 1000 502 且各个元件能否正常工作相互独立 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 2 2012 天津卷 现有4个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏 掷出点数为1或2的人去参加甲游戏 掷出点数大于2的人去参加乙游戏 1 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 2 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 3 用x y分别表示这4个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 x y 求随机变量 的分布列与数学期望e 3 的所有可能取值为0 2 4 由于a1与a3互斥 a0与a4互斥 故p 0 p a2 p 2 p a1 p a3 p 4 p a0 p a4 所以 的分布列是 高考预测 1 2012 衡水调研 若 b n p 且e 6 d 3 则p 1 的值为 a 3 2 2b 3 2 10c 2 4d 2 8 解析 因 服从二项分布 所以e np 6