§2.1导数的概念.ppt

1、2.1 导数的概念,在许多实际问题中, 需要从数量上研究变量的变化速度. 如物体的运动速度, 电流强度, 线密度, 比热, 化学反应速度, 生物繁殖率, 边际效益及边际成本等, 所有这些问题在数学上都可归结为函数的变化率问题, 即导数的概念.,本章将通过对实际问题的分析, 引出微分学中两个最重要的基本概念导数与微分, 然后再建立求导数与微分的运算公式和法则, 从而解决有关变化率的计算问题.,一、问题的提出,1. 变速直线运动的瞬时速度问题,求自由落体运动在t0时刻的瞬时速度.,当t t0时的极限即为t0时刻的瞬时速度:,取邻近于t0的某时刻t, 运动时间为t,在t时间段内的位移为s, 其平均速

2、度为:,2.1 导数的概念,上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用. 设物体作变速直线运动, 其位移函数为s = s(t)，则物体在时刻 t0 的瞬时速度定义为,速度反映了路程对时间变化的快慢程度.,2.切线问题,割线的极限位置切线,设M为曲线C上的一点, 再在曲线C上任取一点N, 当N沿曲线C趋向于M时, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT, 则直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,设曲线C的方程为 y=f(x), 且M(x0, y0), N(x, y). 则割线MN的斜率为,由切线的定义知: 切线MT的斜率为:,如果令x=xx0, 则上式为:,二、导数的定义,定义: 设函数

3、 y=f(x)在点x0的某邻域内有定义, 当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时, 相应地函数取得增量 y = f(x0+x) f(x0); 如果当x0时, y与x之比的极限存在, 则称函数 y=f(x)在点x0处可导, 此极限值称为函数 y=f(x)在点x0处的导数, 并记为f (x0), 即,也可记作:,导数的其它定义形式:, 如果函数 y=f(x)在开区间 I 内的每一点处都可导, 就称函数 y=f(x)在开区间 I 内可导. 如果对任一xI, 都对应着f(x)的一个确定的导数值 f (x), 如此形成的函数 f (x)称为函数 f(x)的导函数. 记作,在以上两式中虽

4、然x可以取区间 I 内的任意数值,但在极限过程中, x是常数, 而x和h是变量.,导函数f (x)简称为导数, 而f (x0)称为函数 f(x)在点x0处的导数或导数f (x)在点x0处的值., 单侧导数,1. 左导数:,2. 右导数:, 函数y=f (x)在点x0处可导左导数f(x0)和右导数f+(x0)都存在且相等., 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内可导, 且f+(a)和 f(b)都存在, 就说函数 f(x)在闭区间a, b上可导., 设函数,讨论f(x)在点x0处的可导性.,且f(x0)= f+(x0)=a, 则f(x)在点x0处的可导, 且f (x0)=a .,三、用定义

5、求导数(三步法),步骤:,例1: 求函数 f(x) = C (C为常数)的导数.,解:,即,解:,例2: 求函数 y = sin x 的导数和,类似可得:,即,例3: 求函数 y = xn 的导数 (n为正整数).,解:,即,更一般地,解:,特别地,例4: 求函数 y = a x 的导数( a0, a1).,例如,即,例5: 求函数 y = loga x 的导数( a0, a1).,解:,特别地,即,例6: 讨论函数 f(x) =| x |在 x = 0 处的可导性.,解:,四、导数的几何意义与物理意义,1. 几何意义,f (x0)表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0)处的切线的斜率,

6、 即 f (x0)=tan (为倾角),当f (x0)0且有限时, 过点M(x0, f(x0)处的切线方程为:,法线方程为,y y0 = f (x0)(x x0).,切线方程为: y = f(x0) 法线方程为: x = x0,当 f (x0) = 0时,当 f (x0) = 时 切线方程为: x = x0 法线方程为: y = f(x0),解: 由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为:,法线方程为:,即 4x+y4=0.,即 2x8y+15=0.,2. 物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动: 路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,非均匀的物体: 质量对长度(面积, 体积

7、)的导数为物体的线(面, 体)密度.,交流电路: 电量对时间的导数为电流强度.,五、可导与连续的关系,证: 函数 f(x)在点x0处可导, 则必有:,定理: 若函数 f(x)在点x0处可导, 则 f(x)在点x0处连续.,即,其中,故,所以,从而, 函数f(x)在点x0处连续.,注意: 该定理的逆命题不成立.,连续函数不存在导数举例,例如,1. 若函数 f(x)在点x0处连续, 且f(x0)和 f+(x0)均存在, 但 f(x0) f+(x0), 则称点x0为f(x)的角点.,由于, f(0)=0, f+(0)=1. 故f(x)在点x=0处不可导, x=0为f(x)的角点.,例如,2. 若函数

8、 f(x)在点x0处连续, 但f (x0)=(不可导), 则称f(x)在点x0处有无穷导数.,即 f(x)在x=0处有无穷导数.,3. 若函数 f(x)在点x0处连续, 但f (x0)=(不可导), 且两个单侧导数符号相反, 则称点x0为函数f(x)的尖点.,即x=1处为函数 f(x)和g(x)的尖点.,4. 若函数 f (x)在点x0处连续, 但f (x0)不存在(不可导), 也不为无穷大, 如摆动不定情况.,解: 因为,六、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续, 但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数;,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,2. f (x0) = a f(x0) = f+(x0) = a.,思考题,由导数的定义知, f (x0)是一个具体的数值, f (x)是由于在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一个新函数, 即xI