2023-2024学年人教版八年级下学期期末数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）

22

A.Va+1B.Va-lC.yja-iD.yja+2

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.（VS）3=V3B.&+夷=2c.V5-V3=V2D.xV3=3

3

3.（3分）2021年5月22日，杂交水稻之父袁隆平院士因病去世,他的团队培育的第三代杂交水稻双季

亩产突破3000斤.为了考察/、2两块试验田中稻穗生长情况,从两块试验田分别抽取了200株稻穗

进行单株称重.若要选出稻穗生长更均衡的实验田，需要关注以下哪个数据（）

A.平均数B.中位数C.方差D.众数

4.（3分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高度随时间》

变化的大致图象是（）

5.（3分）在四边形/8CD中，对角线NC,8。相交于点O,下列说法正确的是（）

A.如果AB=CO,AD//BC,那么四边形N2CD是平行四边形

B.如果NC=3。，AC±BD,那么四边形/BCD是矩形

C.如果ACLBD,那么四边形/BCD是菱形

D.如果/O=CO,BO=DO,BC=CD,ZABC=90a,那么四边形/BCD是正方形

6.（3分）一次函数y=-2023x+2024的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点，，B,C都在格点上，为△/3C的高，则

4D的长为（）

14V10C7再

D.噜

10,20

8.（3分）如图，将平行四边形/3CD沿对角线/C折叠，使点3落在点方处，若N1=N2=36°,ZB

为（）

A

A.36°B.144°C.108°D.126°

9.（3分）如图，正方形N8CD的对角线NC,BD交于点、O,M是边/。上一点，连接OM,过点。作ON

±OM,交CD于点N.若四边形MCWD的面积是1,则N8的长为（）

A.1B.V2C.2D.272

10.（3分）已知直线八：y=kx+b与直线Z2：y=~—x+m都经过C（一旦，旦），直线lx交y轴于点B（

255

0,4）,交X轴于点力,直线，2交y轴于点。，尸为y轴上任意一点，连接p/、PC,有以下说法：

，y=kx+bY=------

5

①方程组,_1的解为

8’

Y=_yx+m

y)

②S4L8Q=6；

③当尸N+PC的值最小时，点尸的坐标为（0,1）.

其中正确的说法是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（每小题3分，共21分）

11.（3分）若代数式J前有意义，则实数x的取值范围是.

12.（3分）点（-1,%）、（2,刃）是直线y=2x+6上的两点，贝5______V2（填“〉”或“=”或“<

13.（3分）如图是气象台预报我区4月10日至4月19日每天的最高气温折线图，由图中信息可知我区

这10天最高气温的中位数为℃.

14.（3分）如图，在口4BCZ）两对角线4,8。相交于点O,且ZC+5Z）=36,48=11,则△COD的周长

是.

15.（3分）最简二次根式“3a+l与&是同类二次根式,则。的取值为.

16.（3分）如图，一次函数y=x+4与坐标轴分别交于/,2两点，点尸，C分别是线段48,上的点,

且/。PC=45°，PC=PO,则点P的坐标为.

17.（3分）如图，在△48C,ZA=90°,AB=AC.在△48C内作正方形为小。。],使点4，历分别

在两直角边48,NC上，点Ci，5在斜边8C上，用同样的方法，在△CiSC内作正方形/2台2。2。2；

在△（782c2作正方形/3?3。3。3…，若48=1,则正方形/202152021。2021。2021边长为,

18.（5分）计算：d^[^-2X2、（-3产

19.（7分）如果，2。是Rt44BC斜边上的中线，延长2。到点。，使。。=8。，连接ND,CD.四边

形/BCD是矩形吗？请说明理由.

20.（8分）为提高学生的爱国意识，陶冶爱国情操，某中学举行了以“厉害了，我的国”为主题的书法

绘画大赛，该校九年级共有三个班都参加了这次活动，三个班根据初赛成绩分别选出了10名同学

参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示：

收集数据：

决赛成绩（单位：分）

九80868880889980749189

年

级

1

班

九85858797857688778788

年

级

2

班

九82807878819697879284

年

级

3

班

数据分析：

(1)请填写下表:

平均数(分)众数(分)中位数(分)

九年级1班85.587

九年级2班85.585

九年级3班7883

得出结论：

(2)如果在每个班级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个班级的实力更强一些？

请简要说明理由.

21.(9分)如图，在中，ZACB=90°,D、E分别是边NC、N8的中点，连接CE、DE,过。

点作DF//CE交BC的延长线于F点.

(1)证明：四边形。ECF是平行四边形；

(2)若48=13cro,AC^5cm,求四边形DECF的周长.

22.(10分)某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院.初二某班的同学们准

备制作/、3两款挂件来进行销售.已知制作3个/款挂件、5个2款挂件所需成本为46元，制作5

个4款挂件、10个3款挂件所需成本为85元.已知/、8两款挂件的售价如下表：

手工制品/款挂件3款挂件

售价(元/个)128

(1)求制作一个4款挂件、一个8款挂件所需的成本分别为多少元？

(2)若该班级共有40名学生.计划每位同学制作2个/款挂件或3个2款挂件，制作的总成本不超

过590元，且制作8款挂件的数量不少于N款挂件的2倍.设安排%人制作/款挂件，销售的总利润

为w元.请写出w(元)与加(人)之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使

得总利润最大，最大利润是多少？

23.(10分)已知在菱形/BCD中，点尸在8上，连接“P

(1)在8c上取点。，使得/P4Q=NB,

①如图1,当4PLCD于点尸时，线段4P与NQ之间的数量关系是.

②如图2,当/尸与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，

则需说明理由.

(2)点P、0分别在CD和8c的延长线上，当/尸时，C0和DP会不会相等？如能相等请

图1图2图3

24.(12分)在平面直角坐标系中，BC//OA,BC=3,OA=6,AB=3娓.

(1)直接写出点2的坐标；

(2)已知。、E(2,4)分别为线段OC、上的点，OD=5,直线DE交x轴于点尸，求直线的

解析式；

(3)在(2)的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N,使以0、O、M、N

为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）

22

A.Va+1B.Va-1C.yja-iD.yja+2

【分析】根据形如4QN0）的式子叫做二次根式判断即可.

【解答】解：A,当。+1<0时，心亘不是二次根式，故此选项不符合题意；

B、当时，五五不是二次根式，故此选项不符合题意；

C、当。=0时，a2-1=-KO,J国二不是二次根式，故此选项不符合题意；

D.Va2^0,：.a2+2>0,是二次根式，故此选项符合题意；

故选：D.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.（如）3=aB.C.75^3=72D.V3xV3=3

□

【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别化简，进而

得出答案.

【解答】解：A.（3/3）3=3,故此选项不合题意；

B.a小次=逅，故此选项不合题意；

3

C.遥-正无法合并，故此选项不合题意；

D.近X愿=3,故此选项符合题意；

故选：D.

3.（3分）2021年5月22日，杂交水稻之父袁隆平院士因病去世，他的团队培育的第三代杂交水稻双季

亩产突破3000斤.为了考察4、8两块试验田中稻穗生长情况，从两块试验田分别抽取了200株稻穗

进行单株称重.若要选出稻穗生长更均衡的实验田，需要关注以下哪个数据（）

A.平均数B.中位数C.方差D.众数

【分析】根据方差的意义求解即可.

【解答】解：二.要选出稻穗生长更均衡的实验田，

需要关注数据的方差,

故选：C.

4.（3分）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满.在注水过程中，容器内水面高度人随时间,

变化的大致图象是（

h

B.0

【分析】根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小.故注水过程的水的高度是先快后慢

再快.

【解答】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小,

所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项C正确.

故选：C.

5.（3分）在四边形N8CD中,对角线NC,50相交于点O,下列说法正确的是（）

A.如果A8=CD,AD//BC,那么四边形/BCD是平行四边形

B.如果ACLBD,那么四边形/BCD是矩形

C.如果AC±BD,那么四边形是菱形

D.如果/O=CO,BO=DO,BC=CD,ZABC=90a,那么四边形N8CD是正方形

【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，并对错误的举出反例即可.

【解答】解：如果AD//BC,那么四边形/BCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选

项/不符合题意;

如果ACLBD,那么四边形/BCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直,

故选项2不符合题意;

如果ACLBD,那么四边形/BCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意;

如果NO=CO,BO=DO,BC=CD,ZABC=90°,那么四边形/BCD是正方形，故选项。符合题意

故选：D.

6.（3分）一次函数>=-2023%+2024的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行解答即可.

【解答】解：：在一次函数y=-2023x+2024中，k=-2023<0,Z?=2024>0,

一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限.

故选：C.

7.如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4,B,C都在格点上，4D为△N2C的高，则

AD的长为（）

A14瓦B14715c7向D7板

,30'10-20-10

【分析】根据题意利用割补法求得△/2C的面积，利用勾股定理算出2c的长，再利用等面积法即可求

得4D的长.

【解答】解：由题可得：

1117

SAABC=3X3-lX3Xy-2X3Xy-iX2Xy^

BcWF+32=技，

ADxVlO

解得：QJ标,

10

故选：D.

8.（3分）如图，将平行四边形N8CD沿对角线/C折叠，使点3落在点夕处，若/1=/2=36°,ZB

为（）

A

A.36°B.144°C.108°D.126°

【分析】根据翻折可得/夕/C=/A4C,根据平行四边形可得DC〃/瓦所以NA4C=NDC4,从而

可得/l=2/8/C,进而求解.

【解答】解：根据翻折可知：/"AC=ZBAC,

V四边形/BCD是平行四边形，

J.DC//AB,

：.NBAC=NDCA,

:./BAC=/DCA=/B'AC,

'：Z1=ZB'AC+ZDCA,

4c=36°,

AZBAC^18°,

：.ZS=180°-ABAC-Z2=180°-18°-36°=126°,

故选：D.

9.（3分）如图，正方形/BCD的对角线/C,BD交于点O,"是边4D上一点，连接。加，过点。作ON

±OM,交CO于点N.若四边形MOM）的面积是1,则N3的长为（）

A.1B.V2C.2D.2&

【分析】根据正方形的性质，可以得到以△CON,然后即可发现四边形MOND的面积等于△

OOC的面积，从而可以求得正方形/BCD的面积，从而可以求得N8的长.

【解答】解：：四边形N2CD是正方形，

:.NMDO=/NCO=A5°,OD=OC,ZDOC=90°,

:./DON+NCON=90°,

'JONLOM,

/.ZMON=90°，

：.ZDON+ZDOM^90°,

：.ZDOM=ZCON,

在△0（W和△口?四中，

'NDOM=NCON

•OD=OC，

LZMDO=ZNCO

:.ADOM经ACON（ASA）,

,四边形MOND的面积是1,四边形MOND的面积=的面积+△DON的面积，

/.四边形MOND的面积=ZkCON的面积+△DON的面积=4Z）OC的面积，

...△DOC的面积是1,

，正方形ABCD的面积是4,

：.AB2^4,

.•.48=2,

故选：C.

10.（3分）已知直线/i：y^kx+b与直线/2：y=-1.x+m都经过C（一旦，旦），直线h交V轴于点B（

255

0,4）,交X轴于点/,直线/2交＞轴于点。，尸为y轴上任意一点，连接尸/、PC,有以下说法：

,（6

y=kx+bx=^7-

①方程组,_1的解为＜；

y=-5-x+m

I*ly5

②SZ\4BD=6；

③当尸N+PC的值最小时，点尸的坐标为（0,1）.

其中正确的说法是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求得8。和/O的

长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短,

即可得到当加+尸。的值最小时，点尸的坐标为（0,1）.

【解答】解：①.直线/i：y^kx+b与直线/2：y=-都经过C（-旦，区），

55

zU

y=kx+bx=-z-

・・・方程组_1的解为I，故①正确，符合题意;

②把c（一且当）代入直线6：y=-L+加，可得加=i,

552

y=-L+l中，令x=0,贝

2

：.D（0,1）,

；・BD=4-1=3,

在直线/1：y=2x+4中，令歹=0,贝！Jx=-2,

：.A（-2,0）,

：.AO=2,

X3X2=3J

S^ABD=4-故②错误，不符合题意；

③点力关于歹轴对称的点为H（2,0）,

由点C、A'的坐标得，直线的表达式为：y=-Lx+1,

令x=0,贝!|y=l,

当尸N+PC的值最小时，点尸的坐标为（0,1）,故③正确，符合题意;

故选:B.

二、填空题（每小题3分，共21分）

11.（3分）若代数式/荔有意义，则实数x的取值范围是x》-5.

【分析】根据被开方数为非负数进行解题即可.

【解答】解：：代数式J前有意义，

，x+520,

解得：x2-5,

故答案为：龙2-5.

12.（3分）点（7,为）、（2,及）是直线y=2x+b上的两点，则为（填“〉”或“=”或“<

【分析】利用一次函数的增减性判断即可.

【解答】解：在一次函数y=2x+6中，

•：k=2>0,

随x的增大而增大，

：-1<2,

,为〈丝，

故答案为：<.

13.（3分）如图是气象台预报我区4月10日至4月19日每天的最高气温折线图，由图中信息可知我区

这10天最高气温的中位数为16.5℃.

【解答】解：把这10天最高气温从小到大排列，排在中间的两个数分别为16,17,故中位数为空1L

2

=16.5（℃）,

故答案为：16.5.

14.（3分）如图，在口4BCD两对角线/,3。相交于点O,且NC+3D=36,48=11,则△COD的周长

是29.

AR-----------7IB

0

DC

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出。。+。。=!（AC+BD）,再由平行四边形的对边相

2

等可得N8=CD=11,继而代入可求出△OCD的周长.

【解答】解：：四边形N2CD是平行四边形，

：.AB=CD=\\,

：.OC+OD=k（AC+BD）=18,

2

:.△OCD的周长=OC+OD+CZ）=18+11=29.

故答案为：29.

15.（3分）最简二次根式圾豆与我是同类二次根式，则。的取值为1.

【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解.

【解答】解：•••最简二次根式怎7?与&是同类二次根式，

；.3a+l=2,解得：a——.

3

16.（3分）如图，一次函数y=x+4与坐标轴分别交于1,8两点，点尸，C分别是线段A8,上的点,

且NOPC=45°,PC=PO,则点尸的坐标为（-2亚，4-2亚）_.

【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点/和点8的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三

角形的判定和性质，即可得到点尸的坐标.

【解答】解：：一次函数y=x+4与坐标轴交于/、8两点，

y=x+4中，令x=0,则>=4；令》=0,则x=-4,

：.AO=BO=4,

：.AAOB是等腰直角三角形，

ZABO=45°,

过尸作尸于。，则尸是等腰直角三角形，

VZPBC=ZCPO=ZOAP=45°,

：・NPCB+/BPC=135°=ZOPA+ZBPC,

・•・NPCB=/OPA,

在△尸C2和△0R4中，

，ZPBC=ZOAP

'ZPCB=ZOPA-

kOP=PC

:APCB咨LOPA(AAS),

：.AO=BP=4,

・・・RtZ\5Z)P中，BD=PD=隼=2五,

V2

：.OD=OB-BD=4-2V2，

,:PD=BD=2版,

：.P(-2&,4-2V2),

,AB=AC.在△45。内作正方形小使点小，当分别

在两直角边48,NC上，点G，5在斜边2C上，用同样的方法，在△C/iC内作正方形/2当。2。2；

在△C&C2作正方形/3为。3。3…，若N8=l,则正方形，202/2021。2021。2021边长为_（匹）2021

3

利用规律即可解决问题;

【解答】解：.••正方形小21cl）的边长为亚，

3

正方形小心GD的边长为工x2=2=（e_）2

3393

3933

正方形/202182021。202。2021的边长为（、上）2021.

3

故答案为：（匹）2021.

3

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

18.（5分）计算：-22+71^-2X24（-3产

【分析】先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可.

【解答】解：-22-IV16-2X27（-3）2

=-4+4-2X6

=-4+4-12

=-12.

19.（7分）如果，50是Rt4/BC斜边上的中线，延长8。到点。，使。。=8。，连接ND,CD.四边

形/BCD是矩形吗？请说明理由.

【分析】由2。是Rt4/BC斜边上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得04=0。

=OB,又由。0=8。，即可证得四边形/BCD是平行四边形，AC=BD,则可证得四边形/BCD是矩

形.

【解答】解：四边形/BCD是矩形.

理由：•.•5。是RtZ\48C斜边上的中线，

：.OA=OC=OB,

,:D0=B0,

四边形/BCD是平行四边形，且

二四边形48C。是矩形.

20.（8分）为提高学生的爱国意识，陶冶爱国情操，某中学举行了以“厉害了，我的国”为主题的书法

绘画大赛，该校九年级共有三个班都参加了这次活动，三个班根据初赛成绩分别选出了10名同学

参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分100分）如下表所示：

收集数据：

决赛成绩（单位：分）

九80868880889980749189

年

级

1

班

九85858797857688778788

年

级

2

班

九82807878819697879284

年

级

3

班

数据分析：

（1）请填写下表:

平均数（分）众数（分）中位数（分）

九年级1班85.587

80

九年级2班85.58586

九年级3班7883

85.5

得出结论：

（2）如果在每个班级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个班级的实力更强一些?

请简要说明理由.

【分析】（1）分别根据众数、中位数以及算术平均数的定义与计算方法解答即可；

（2）根据平均数和中位数的意义解答即可（答案不唯一）.

【解答】解：（1）在九年级1班10名同学的决赛成绩中80分出现的次数最多，故众数为80分；

把九年级2班10名同学的决赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是85分，87分，故中位数

为85+E7=86（分）；

2

九年级3班的平均数为：（82+80+78+78+81+96+97+87+92+84）4-10=85.5（分）；

故答案为：80,86,85.5；

（2）我认为九年级1班的实力更强一些，理由如下：

因为三个班的平均数相同，但九年级1班的中位数比其他两个班高，所以九年级1班的实力更强一些.

（答案不唯一）.

21.（9分）如图，在RtZk/BC中，ZACB^90°,D、£分别是边NC、48的中点，连接CE、DE,过。

点作DF//CE交BC的延长线于F点.

（1）证明：四边形DEC尸是平行四边形；

（2）若AC=5cm,求四边形。ECF的周长.

【分析】（1）证DE是△/BC的中位线，得DE〃BC,由平行四边形的判定即可得出结论；

（2）先由勾股定理得8C=12,再由三角形中位线定理得。£=工8。=6,然后由平行四边形的性质得

2

DE=CF=6,DF=CE,再由勾股定理得里，即可得出答案.

2

【解答】（1）证明：£分别是边/C、的中点，

是△/BC的中位线，

.,.DE//BC,

J.DE//CF,

'JDF//CE,

.••四边形DECF是平行四边形;

22

(2)解：在Rta/BC中，由勾股定理得：BC^7AB-AC=7132-52=12-

是△N8C的中位线，

:.DE=LBC=LX12=6,

22

:四边形DECF是平行四边形，

；.DE=CF=6,DF=CE,

•.•。是边/C的中点，

.•.CZ)=LC=LX5=A,

222

VZylCS=90°,C尸是2c的延长线，

AZDCF=90°,

22

在RtZkDC尸中，由勾股定理得：DF=7CD<F=J(y)2+62=

，四边形DECF的周长=2(DE+DF)=2X(6+0)=25.

2

22.（10分）某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院.初二某班的同学们准

备制作/、B两款挂件来进行销售.已知制作3个N款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5

个/款挂件、10个8款挂件所需成本为85元.已知/、2两款挂件的售价如下表：

手工制品/款挂件B款挂件

售价（元/个）128

（1）求制作一个N款挂件、一个8款挂件所需的成本分别为多少元?

（2）若该班级共有40名学生.计划每位同学制作2个/款挂件或3个2款挂件，制作的总成本不超

过590元，且制作8款挂件的数量不少于/款挂件的2倍.设安排小人制作N款挂件，销售的总利润

为w元.请写出取（元）与加（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使

得总利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）根据制作3个/款挂件、5个3款挂件所需成本为46元，制作5个/款挂件、10个2

款挂件所需成本为85元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；

（2）根据表格中的数据和（1）中的结果，可以写出w（元）与加（人）之间的函数表达式，再根据制

作的总成本不超过590元，且制作8款挂件的数量不少于/款挂件的2倍，可以列出相应的不等式组,

从而可以求出自变量的取值范围，再根据一次函数的性质，可以求得w的最大值.

【解答】解：（1）设制作一个/款挂件的成本为x元，制作一个8款挂件的成本为y元，

由题意可得：俨+5y=46,

(5x+10y=85

解得Jx=7，

ly=5

答：制作一个/款挂件的成本为7元，制作一个8款挂件的成本为5元；

(2)设安排机人制作/款挂件，则安排(40-加)人制作3款挂件，

由题意可得：w=(12-7)X2m+(8-5)X3(40-=%+360,

随加的增大而增大，

•••制作的总成本不超过590元，且制作8款挂件的数量不少于4款挂件的2倍，

...[7X2m+5X3(40-m)4590,

,[3(40-m)>2X2m

解得10W%W17上，

7

:m为整数,

10W〃?W17且m为正整数，

当加=17时，w取得最大值，此时w=377,40-加=23,

答：w(元)与加(人)之间的函数表达式是w=m+360(10W〃?W17且加为正整数)，当安排17人制

作N款挂件，23人制作3款挂件时，总利润最大，最大利润为377元.

23.(10分)己知在菱形48CD中，点?在8上，连接NP.

(1)在8c上取点。，使得NP4Q=NB,

①如图1,当4PLCO于点尸时，线段/P与/。之间的数量关系是AP=AO.

②如图2,当/尸与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，

则需说明理由.

(2)点P、0分别在CD和的延长线上，当/尸/。=/8时，CQ和DP会不会相等？如能相等请

图1图2图3

【分析】(1)①由菱形的性质得出8C=CD,AB//CD,证明/QL5C,由菱形的面积公式可得出答

案；

②过点/作于M,/N_LCD于证明△NM0g△NA?(44S),由全等三角形的性质可得

出答案；

(2)过点4作4M_L5C于M,AN工CD于N,连接4C,可证△4M0也△47VP(AAS),可得〃2=猫

,又证△4MC四△4ND,可知4。=/。，即可得出答案.

【解答】解：(1)①4尸=4。，

・・•四边形/BCD是菱形，

：.BC=CD,AB//CD,

：.ZB+ZQCD=1SO°,

/PAQ=NB,

：.ZPAQ+ZQCD=1SO°,

AZAPC+ZAQC=1SO°,

'：AP±CD,

：.ZAPC=90°,

AZAQC=90°,

C.AQLBC,

vs菱形ABCD=BC・AQ=CD・AP,

：・AP=AQ,

故答案为：AP=AQ；

②①中的结论仍然立，

证明：如图2中，过点作4"，5c于M,ANLCD于N,

图2

•・•四边形/5CZ）是菱形，AMLBC,ANLCD,

S菱形ABCD=BC*AM=CD*AN,

・.・BC=CD,

：.AM=AN,

VAB//CD,

：.Z5+ZC=180°,

/PAQ=/B,

/.ZPAQ+ZC=180a,

：.ZAQC+ZAPC^