2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x−1≤x≤2,B=xxA.0,1 B.x−1≤x<1 C.0,1,2 D.2.已知a=3−2,b=tanA.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.f(x)=x3 B.f(x)=lg|x| C.4.在1x−x2A.−20 B.−15 C.15 D.305.已知函数f(x)=e|x|−e−|x|A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减

C.是奇函数，且在(0,+∞)6.阅读下段文字：“已知2为无理数，若(2)2为有理数，则存在无理数a=b=2，使得ab为有理数；若(A.(2)2是有理数 B.(2)2是无理数

C.存在无理数a，b，使得a7.若点Msin5π6,cos5π6A.33 B.−33 8.已知函数fx=lnx+ax，则“a<0”是“函数A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3Q100成正比.当v=1m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2m/s时，其耗氧量的单位数为(

)A.1800 B.2700 C.7290 D.810010.已知各项均为整数的数列an满足a1=1,aA.a5>20 B.a10<100 C.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.复数1+ii的虚部为

．12.函数fx=x2−a的定义域为R，请写出满足题意的一个实数13.已知数列{an}的通项公式为an=2n−1，{ bn}的通项公式为bn=1−2n.记数列{an+14.已知函数fx=xex,x<a−x,x≥a,fx的零点为

，若存在实数m15.已知函数fx=①当k=0时，fx恰有2②存在正数k，使得fx恰有1③存在负数k，使得fx恰有2④对任意k<0,fx其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.点A的纵坐标是45，点B的横坐标是−(1)求cos2α(2)求sinβ−α的值．17.(本小题12分)某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A,B,C三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示．题目ABC做对的概率411获得的奖金/元204080规则如下：按照A,B,C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.](1)求甲没有获得奖金的概率；(2)求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？(不需要具体计算过程，只需给出判断)18.(本小题12分)已知fx(1)当a=0时，求曲线y=fx在点0,f(2)若函数fx在区间−π2,19.(本小题12分)现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为Vc(1)求出x与y的关系式；(2)求该铁皮盒体积V的最大值．20.(本小题12分)已知函数f(x)=e(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)当x2>x1>1时，判断21.(本小题12分)已知项数为mm∈N∗,m≥2的数列an满足如下条件：①an∈N∗n=1,2,⋯,m；②(I)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；(II)若bn为an的“伴随数列”，证明：(III)已知数列an存在“伴随数列”bn,且a1=1,参考答案1.C

2.D

3.C

4.C

5.A

6.C

7.C

8.C

9.D

10.C

11.−1

12.−1(答案不唯一)

13.−1−2

14.0−1,

15.②④

16.(1)由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点；点A的纵坐标是45，点B的横坐标是−所以sinα=即可得cos2α=1−2si(2)由于sin2α+cos2同理由于β∈π所以sinβ−α

17.(1)甲没有获得奖金，则题目A没有做对，设甲没有获得奖金为事件M，则PM(2)分别用A,B,C表示做对题目A,B,C的事件，则A,B,C相互独立．由题意，X的可能取值为0,20,60,140．P(X=0)=P(P(X=60)=P(ABC所以甲最终获得的奖金X的分布列为X02060140P1231EX=0×1(3)不同，按照A,B,C的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由(2)知，按照A,B,C的顺序获得奖金的期望为40元，若按照A,C,B的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,20,100,140．P(X=0)=1−P(X=100)=4故期望值为0×1若按照B,A,C的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,40,60,140．P(X=0)=1−P(X=60)=1故期望值为0×1若按照B,C,A的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,40,120,140．P(X=0)=1−P(X=120)=1故期望值为0×1若按照C,A,B的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,80,100,140．P(X=0)=1−P(X=100)=1故期望值为0×3若按照C,B,A的顺序做题，则奖金X的可能取值为0,80,120,140．P(X=0)=1−P(X=100)=1故期望值为0×3显然按照A,B,C的顺序获得奖金的期望最大．

18.(1)当a=0时，fx易知f′可得f′0所以切线方程为y=2．(2)易知f′由函数fx在区间−π2,π即a≥sinx−xcos令g法一：令g′x=xsing′xx−00,g′+0+g↗↗所以gx为−π2,π即a的取值范围是1,+∞．法二：当−π2<x<0当0≤x<π2时，综上，当−π2<x<π2时，g′x≥0,g即a的取值范围是1,+∞．

19.(1)因为材料利用率为100%，所以x2+4xy=40×30，即因为长方形铁皮ABCD长为40cm，宽为30cm，故0<x≤30，综上，y=1200−x2(2)铁皮盒体积VxV′x=14V′xx0,202020,30V+0−V′↗↘Vx在0,20上为增函数，在20,30则当x=20时，Vx最大值为14

20.【详解】(1)函数f(x)=e1−xx，求导得f′(x)=(−x−1)e所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=−2(x−1)，即2x+y−3=0．(2)函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f′(x)=(−x−1)当x<−1时，f′(x)>0，当−1<x<0或x>0时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，单调递减区间为(−1,0)和(0,+∞)．(3)当x2>x令g(x)=f(x)−2x,x>1令ℎ(x)=(−x−1)e1−x+2,x>1函数ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，则ℎ(x)>ℎ(1)=0，即g′(x)>