2021届人教a版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.在AABC中，已知|福|=4,|3@=1,SMBC=6，则丽的值为()

A.-2B.2C.±4D.±2

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

由|AB|=4,|而|=1,SMBC=G=|AB||AC|5ZM,

61

/.sinA=——，二cosA=±—,

22

故福•AT=|通，码•cosA

=4xlx[±g)=±2,故选D.

考点：向量数量积的运算

2,若向量帚=(a-l,2),«=(4,b),且加J.Z，a>0,b>0,则logia+log,有

()

,1,1

A.最大值logyB.最小值log?2C.最大值一log、D.最小值0

5232

【答案】B

【解析】

由mJ_〃，即得4（。-1）+2/?=°，2a+/?=2,222y12ab，

:.ab<-（当且仅当a=Z?时，等号成立），而

2

log,a+loga：=log|a+log|b=log|a^^log,-=log,2,即log|“+log3：有最

5b333323b

小值Iog32,故选B.

3.如图，在AABC中，点。是边BC的中点，而=23力，则用向量通，配表示而

为（）

A

Dc

一2一1一一1——2——

A.BG=——AB+-ACB.BG;=——AB+-AC

3333

__2__1_____2—1—

C.BG=-AB——ACD.BG;=-AB+-AC

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据题意，得到AO=5（AB+AC）,AG^-AD,再由向量的加减运算，即可得

出结果.

【详解】

因为点。是边8C的中点，所以4方=；（4月+衣》

uum2uu®

又而=2⑶，所以AG=§A。，

因此而=而一而=4而一通通+/)一通=一衣一一AB.

33、,33

故选：A.

【点睛】

本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.

4.如图所示，若向量1、%是一组单位正交向量，则向量2〃+5在平面直角坐标系

中的坐标为()

A.(3,4)B.(2,4)

C.(3,4)或(4,3)D.(4,2)或(2,4)

【答案】A

【解析】

【分析】

以向量［、1公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系.可得向量2汗=(2,1)且5=

(1,3),结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2。+5在平面直角坐标系中的

坐标.

【详解】

以向量I、1公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系

'：et=(1,0),ez=(0,1)

：.2a=(2,1),得♦；5=(1，3),

：.2a+b=(2，1)+(1,3)=(3,4)

即2d+5在平面直角坐标系中的坐标为（3,4）

故选A.

【点睛】

本题给出垂直的单位向量，求第三个向量在这组向量作为基底下的坐标，着重考查了平

面向量的正交分解及坐标表示的知识，属于基础题.

5.已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点，且|血|=1,则丽•应等于（）

C.D

2-4

【答案】B

【解析】

解：AB-04=1AB1-104lcosl20°=

6.已知£出为单位向量，其夹角为60°,则（21万州=（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

【答案】B

【解析】

试题分析：（2a—B）/=2a-2|«|^|cos60°-b=2x1x1x；-=0,故选B.

考点：向量的数量积.

7.已知平面向量。区0满足：=—2,同=2,c=a+Ab,则实数2的值

为（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】B

【解析】

试题分析：根据题意有a-c=a+Aa-b=0,c=a+2Aa-b+A2b'=4,

b-c=b-（a+Ab）=b-a+Ab'=-2,整理得4（—2）=4,解得2=—2,故选B.

考点：向量的数量积.

8.已知向量£,行满足|£|=3,历|=2,|2£+石|=2日，则£与B的夹角为（）

n兀2万n

A.-B.-C.----D.一

6433

【答案】D

【解析】

【分析】

转化|2。+加=2万,为（2£+杨2=4（£）2+471+而,可得1.6=3,由

cos<H>=』2即得解.

⑷网

【详解】

•.■②+昨2713(2a+b)2=4(a)2+4a-b+(b)2=52

又0）2=|a|2=9,（b）2=|&|2=4

:.a-b=3

-ra*b1

cos<a,b>=~——=—

\a\\b\2

-T71

「.<tz,b>=—

3

故选：D

【点睛】

本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运

算的能力，属于中档题.

22

已知双曲线。>力的左、右焦点分别为《、。为双曲

9.C:£=1（0>0）F2,

线c上的一点，若线段PK与y轴的交点M恰好是线段PE的中点，丽丽二b2,

其中，。为坐标原点，则双曲线c的渐近线的方程是（）

A.y=±3xB.y=±2xC.y=±xD.y=±-x

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面向量的数量积可知|OM|=b,根据中点坐标公式得出尸点坐标，代入双曲线

方程得出“、》的关系，即可得出渐近线方程.

【详解】

•.•"是P6的中点，。是£鸟的中点，••・「心〃。加，|「周=2|Q0|,PFQFE，

丽・加=|阿H而可cos/OMf；=|砺『=从，被卜b,故点p的坐标为

(c,2Z?),

r2c2n24.h2h

将点P的坐标代入双曲线C的方程得二一4=1,得二=5,即生?-=5,...一=2.

a~a~a~a

因此，双曲线C的渐近线方程为丁=±2%.

故选：8.

【点睛】

本题考查了双曲线渐近线方程的求解，考查了平面向量数量积定义的应用，解答的关键

就是得出。、b.c,的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

10.已知a=(l,2),5=(3,4),(2+25)_L(AJ—5),则％=()

616111

A.---B.—C.一一D.-

272722

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知向量垂直得到数量积为0,从而求出2的值.

【详解】

Va=（1,2）,5=（3,4）,

A5+2^=（7,10）,痛=3,2/1-4）

又（M+2B）J_（；l万一b）

.•.（石+2b）.（；LM—5）=0,即7（4—3）+10（22—4）=0

d”

27

故选B

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量数量积运算法则是解本题的关键，

属于基础题.

H.已知。，万是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量3满足5-为＜5-1）=0,

则同的最大值是（）

A.1B.2C.JoD.匹

2

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：由于a力垂直，不妨设a=（1,0）»b=（0J），c=（x^y）f则a—c=（x-Ly），

^-c}^-c）=x2+/-x-y=0-口=序"表示（NM到原点（°，。）的距离，

/十^2一工一^=0表示圆心（;,;），点为半径的圆，因此H的最大值及，故答

案为c.

考点：平面向量数量积的运算.

12.已知抛物线C:：/=4x的焦点为产，准线为/,P是/上一点，。是直线PE与C

的一个交点，若丽=25,贝!IIQF|=（）

A.8B.4C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

设点尸（―1"）、Q（x,y）,由丽=2万,可计算出点。的横坐标》的值，再利用抛物

线的定义可求出|。成

【详解】

设点尸（一11）、Q（x,y），易知点尸（1,0）,丽=（一2,。，QF=（\-x,-y）,

.-.2（l-x）=-2,

解得x=2,因此，|Qq=x+l=3,故选D.

【点睛】

本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能

力，属于中等题.

二、填空题

13.已知向量”（cose,sin。），向量加=（后1）,则忸一司的最大值与最小值的和

为.

【答案】4

【解析】

试题分析：因为向量不=（cosasin。），向量在=（百,1）,所以

\2a-h\i=4a2+h2-4a-b

=4+4—4（Gcose+sin。）=8-8sin（6+。）,其最大值为16,所以忸一目的最大值为

4.

考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量模的计算，向量的数量积，三角函数的

性质.

点评：小综合题，综合考查平面向量的坐标运算，向量模的计算，向量的数量积，三角

函数的性质.涉及模的计算问题，一般要“化模为方

14.已知向量@=（2,-3）与向量5=（%-6）共线，则％=.

【答案】4

【解析】

【分析】

由向量共线的条件求解.

【详解】

：共线，，2x（—6）—（―3x）=（）,x=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查向量共线的条件，属于基础题.

15.已知向量万=（1,3x）,6=4,半，且鼠（5-勾＜0,则x的取值范围为,

（写成区间形式）

3

【答案】（-8,7）U（K+«>）

2

【解析】

【分析】

将必®-@<0展开，代入展5和邪的表达式，进而解不等式.

【详解】

因为—G）<0,所以少.日_万2<0,即（4+X）—（1+2/）<0,所以2犬_%_3>0,

所以x〉|或x<-l.故x的取值范围为（-8,T）U（|,+8）.故填

【点睛】

考查向量的模，向量的数量积坐标形式的运算，基础题.

16.如图直角梯形A5CD中，AB=BC=2,CD=1,ABI/CD,ADLA8.点P

是直角梯形区域内任意一点，PAPBW0.点P所在区域的面积是.

【答案】工+走

34

【解析】

【分析】

首先确定梯形的几何特征，然后结合数量积的几何意义确定点P的范围，最后求解其面

积即可.

【详解】

如图所示，AABE中，AB=2,NAB£=60°，NB4E=90°，C,。分别为边AE,BE

的中点，则梯形ABCD即为满足题意的图形，

以A8为直径的圆G及其内部的点满足用.而＜0,则图中的阴影部分为满足题意的

点尸所在区域.

其中ABFG为边长为1的等边三角形，其面积$='xlxlxsin60=走，

124

扇形AGF是半径为1,圆心角为120。的扇形，其面积为S2=；X(%X12)=(,

综上可得：点P所在区域的面积是，+工=工+走.

34

E

D

A

【点睛】

本题主要考查平面几何知识，三角形面积公式，扇形面积公式等知识，意在考查学生的

转化能力和计算求解能力.

三、解答题

17.已知已B、C的坐标分别为/(4,0),B(0,4),C(3cosa,3sina)

（1）若ae（-乃,0）且国=国，求角夕的值；

/八丑人42sin2a+2sinacosa1告

（2）若AC8C=0,求-------------------的值.

1+tana

347

【答案】（1）a=-—,（2）—-

416

【解析】

试题分析：（1）利用点的坐标求出向量的坐标，根据向量模的平方等于向量的平方得到

三角函数的关系，据角的范围求出角；（2）利用向量垂直的充要条件列出方程利用三角

函数的二倍角公式、切化弦公式化简三角函数，利用三角函数的平方关系求出值.

试题解析：AC=（3cos<z-4,3sin<z）,8C=（3cosa,3sina-4）,

⑴由|狗=网，22

AC=BC,

即（3cosa-4y+9sin2a=9cos2a+（3sina-4『・sina=cosa,aw（一肛0）,

,3万

•••oc------.

4

⑵由衣.前=0,得3cosa（3cosa—4）+3sina（3sina—4）=（）,

37

解得sina+cosa=—,两边平方得2sinacos。=----,

416

2sin2a+sin2a2sin2a4-sin2a3.7

.-------------------=----------；---------=2sinacosa=-----

・・1+tana】〔sma16-

cosa

18.在AO.45中，已知点尸为线段Z5上的一点，且画=2牌>

（1）试用m7、■表示0A；

（2）若|匹卜3,|砺卜2,且=求心.万的

B

P

值.

一1一2—4

【答案】（1）OP=-OA+-OB（2）—

333

【解析】

（1）因为点尸在且3上，且卜尸卜2„,所以刀=2而，

—————————1—2——

即。尸-。4=2（。3-。？），所以0P=〈QW+§03.

(2)OPAB={-OA+-Of)(OB-0A)

33

=-g凉+g南-；场方=-阿词.网cos40

33333

考点：平面向量在几何中的应用.

19.如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G,两绳受到的拉力分别

为Fi、F2,夹角为e.

（1）求其中一根绳子受的拉力IFil与G的关系式，用数学观点分析|F||的大小与夹角0

的关系；

(2)求网的最小值;

(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|,求0的取值范围.

【答案】（1）略（2）0（3）0£［0°,120°］

2

【解析】

(1)由力的平衡得FI+F2+G=0,设Fl,F2的合力为F,则F=-G,由FI+F2=F

G-LF||G|

且|F]|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得cos-=2、1=宗]

2百f2昌|

冏

•,•同=0,0ero°,180°],

2cos—

2

由于函数y=cos。在。任［0。，180。］上为减函数,

冏

逐渐增大时,cos-逐渐减小，即-―0逐渐增大.

22cos-

2

二8增大时，|Fi|也增大.

(2)由(1)可知，当。=0。时，附|有最小值为国.

2

CS）由题意知，H<|FI|<|G|,0<1,即Lwcos，Wl.

222cos-22

由于y=cos。在［0。，180。］上为减函数,

0

.*.0°<-<60°,/.ee[0°,120°J.

考点：向量在力的合成与分解中的应用.

20.已知向量M=(3,0)石=且1=应+-则/=

【答案】—§

【解析】

6

-5

由M=f5+乙得：小5=步n-6=5f=，=一(

点睛：平面向量有关运算

(1)向量平行：a!1b=>x^y2=x2yl,M//5,5HOn三4eR,G=,

—•—.—1—.2—.

区4=/LAC=O4=——OB+——OC

1+21+2

(2)向量垂直：M日=0。％%2+y%=0,

⑶向量加减乘:a+b={xx±尤2，,士%)，"=1R2，1石=|司•间cos(万,5)

21.已知办，b，|«|=|^|=1,且,+妙卜一序］,其中％)0.

(1)若£与五的夹角为60。，求A的值；

⑵记/(%)=小5,是否存在实数上使得./•(女)21一伙对任意的，4―1,1］恒成立?若

存在，求出实数A的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)k=l;(2)Q<k<^~2.

3

【解析】

【分析