考点25 视图与投影、尺规作图、命题（精讲）（原卷版）

考点25.视图与投影、尺规作图、命题（精讲）【命题趋势】本专题以考查几何体的三视图和正方体的展开图、尺规作图和真假命题为主，年年都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，视图与投影和命题在选填题出现的可能性较大，一般只考查基础应用，所以考生在复习时要多注重该考点的概念以及应用.而尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力。【知识清单】1：图形的投影（☆☆）1）投影：在光线的照射下，空间中的物体落在平面内的影子能够反映出该物体的形状和大小，这种现象叫做投影现象.影子所在的平面称为投影面。2）平行投影、中心投影、正投影（1）中心投影：在点光源下形成的物体的投影叫做中心投影，点光源叫做投影中心。（2）平行投影：投射线相互平行的投影称为平行投影。（3）正投影：投射线与投影面垂直时的平行投影，叫做正投影。2：几何体的三视图（☆☆☆）1）视图：由于可以用视线代替投影线，所以物体的正投影通常也称为物体的视图。2）三视图：（1）主视图：从正面看得到的视图叫做主视图；（2）左视图：从左面看得到的视图叫做左视图；（3）俯视图：从上面看得到的视图叫做俯视图。3）三视图的画法（1）画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”。（2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线。4）常见几何体的展开图几何体立体图形表面展开图侧面展开图圆柱圆锥三棱柱5）正方体的展开图正方体有11种展开图，分为四类：第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11。3：尺规作图（☆☆☆）1）尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图。2）五种基本作图（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）作一条线段的垂直平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。3）根据基本作图作三角形（1）已知三角形的三边，求作三角形；（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形。4）与圆有关的尺规作图（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。5）作图题的一般步骤（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论。其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹。6）尺规作图的关键：（1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；（2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题。7）根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角。4：定义、命题、定理（☆☆）1）定义:一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义。2）命题：判断一件事情的语句叫做命题。3）命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。4）命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。5）真命题：正确的命题叫做真命题。反之，则为假命题。注意：（1）要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）；（2）要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可。6）逆命题：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题；每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。7）公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。8）定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理。注意：公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据。9）推论：由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论。10）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理；任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理。11）反证法定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。12）反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确。【核心考点】核心考点1.图形的投影例1：（2023·河南周口·校联考三模）“光沿直线传播”产生了影子，下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（）A．

B．

C．

D．

变式1.（2023·广西柳州·统考二模）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（）A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形变式2．（2023·贵州义·统考三模）把一个正五棱柱如图摆放，光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是（

）A． B． C． D．变式3.（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（

）A． B． C． D．例2：（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（

）A．B．C．D．变式1．（2023·广东汕头·校考一模）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是（填写“平行投影”或“中心投影”）变式2.（2023·北京·一模）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（

）A． B． C． D．变式3.（2023·河北邯郸·校考三模）如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影子的大小变化是（）

A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定例3：（2023·福建厦门·统考三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．变式1.（2023·浙江·九年级期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（

）A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度变式2.（2023·河北唐山·九年级统考期末）如图，从点观测建筑物的视角是（

）A． B． C． D．例4：（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（

）

A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米变式1.（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为（

）

A． B． C．5 D．6变式2.（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（

）A． B． C． D．例5：（2023·陕西西安·校考模拟预测）数学活动课上，小宇、小辉一起测量学校升旗台上旗杆的高度，如图，旗杆立在水平的升旗台上，小宇测得旗杆底端到升旗台边沿的距离为，升旗台的台阶所在的斜坡长为，坡角为，小辉测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面上的部分的长为，同一时刻，小宇测得直立于水平地面上长的标杆的影长为，请你帮他们求出旗杆的高度.（结果保留一位小数，参考数据：）

变式1.（2023·四川成都·统考一模）如图，和是直立在地面上的两根立柱，米，某一时刻在阳光下的投影米，在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为．变式2.（2023·陕西·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度．

核心考点2.几何体的三视图例6：（2023年浙江省衢州市中考数学真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（

）

A．

B．

C．

D．

变式1．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（

）

A．

B．

C．

D．

变式2．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（

）A． B． C． D．变式3．（2023年山东省青岛市中考数学真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（）

A．

B．

C．

D．

例7：（2023年四川省成都市数学中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个．

变式1．（四川省雅安市2020年中考数学试题）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（

）A．4 B．5 C．6 D．7变式2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校考一模）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有个，最多有个，（

）

A．2 B．3 C．4 D．5变式3．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数可能为（

）A．5个 B．6个 C．5个或6个 D．6个或7个例8：（2023年山东省济宁市中考数学真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（

）A． B． C． D．变式1.（2023·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．125 B．100 C．75 D．30变式2.（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是．

(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？（取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油漆．）例9：（2023年山东省青岛市中考数学真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（）

A．31 B．32 C．33 D．34变式1．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（

）．

A．文 B．明 C．典 D．范变式2．（2023年山东省威海市中考数学真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点核心考点3.尺规作图例10：（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，，在边上分别截取，使，分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，作射线交边于点F．若，则点F到的距离为．变式1．（2023·四川达州·统考二模）如图，．分别以点A、B为圆心，长为半径画圆弧−两圆弧交于点C，再以点C为圆心，以长为半径画圆弧交的延长线于点D，连接，则的长为．变式2．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，判断以下结论正确的是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·山东青岛·统考二模）已知：线段a，．求作：，，斜边．

核心考点4.定义、命题、定理例11：（2023·江苏泰州·统考一模）下列个命题中，真命题是（

）A．正五边形是中心对称图形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．同位角相等D．函数中，随的增大而减小变式1．（2023·江苏扬州·统考一模）请写出命题“如果，那么”的逆命题是．变式2．（2023·广东广州·统考二模）下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等变式3．（2023·山东潍坊·统考一模）（多选题）下列命题中，原命题为真命题而逆命题为假命题的是（

）A．若，则B．对顶角相等C．若a为无理数，则为无理数D．等弧所对的圆周角相等例12：（2023·河北·校联考一模）已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾；②因此假设不成立．∴；③假设在中，；④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②变式1.（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（

）A． B． C．与相交 D．与相交变式2．（2023·杭州·校联考二模）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是．变式3.（2023·福建莆田·统考二模）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．是2的倍数，____________________，可设（为正整数），则，_____________，即，__________________，，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．因此假设不成立，即不是有理数．将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是．（填上序号）①；

②；

③是2的倍数；

④是2的倍数．例13：（2023·湖南长沙·校考三模）在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．甲说：“红桃A在我手上”；

乙说：“红桃A不在我手上”；丙说：“红桃A肯定不在甲手上”．三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（

）的手上．A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断变式1．（2023·湖南·校联考模拟预测）某校开展数学兴趣活动，甲、乙、丙、丁、戊五位同学进入决赛角逐前五名，发奖前，为活跃气氛，老师请他们猜一猜各人名次排列情况．甲说：“乙第三名，丙第五名．”乙说：“戊第四名，丁第五名．”丙说：“甲第一名，戊第四名．”丁说：“丙第一名，乙第二名．”戊说：“甲第三名，丁第四名．”结果，每个名次都有人猜对，则第一至第五名的同学顺序是（

）A．甲乙丙丁戊 B．丙乙甲戊丁 C．丁戊甲乙丙 D．丁甲乙戊丙变式2．（2023·湖南长沙·统考一模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行的比赛局数为（

）A．15 B．16 C．17 D．18例14：（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．以下是小明探究过程，请补充完整：(1)在四边形中，对角线与相交