考点01 一元一次方程及其应用（解析版）

考点一一元一次方程及其应用知识点整合一、方程和方程的解的概念1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．2．方程含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．二、一元一次方程及其解法1．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．注意：x前面的系数不为0．2．一元一次方程的解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．一元一次方程的求解步骤变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．考向一解一次方程典例引领1．某书中有一方程，其中一个数字被污渍盖住了，书后该方程的解为，那么■处的数字应该是（

）A． B． C．1 D．5【答案】D【分析】此题考查了一元一次方程解的概念以及解一元一次方程，根据题意将代入原方程求解即可．【详解】解：设■的数字为a，则，把代入得：，解得：，故选：D．2．下列方程中，是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可．【详解】解：A、是一元二次方程，不符合题意；B、不是整式方程，故不是一元一次方程，不符合题意；C、展开括号为，是一元一次方程，符合题意；D、是二元一次方程，不符合题意；故选：C．3．如图，点、为线段上两点，，且，设，则关于的方程的解是．【答案】【分析】本题考查了线段之间的和差关系，解一元一次方程，根据，得出，进而得出，即可推出，把代入即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，则，∵，∴，解得：，把代入得：，解得：，故答案为：．4．若方程是关于的一元一次方程，则．【答案】【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，即可解答．【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，∴，解得：．故答案为：．5．已知关于的方程与有相同的解，则．【答案】/【分析】本题考查同解方程，分别解出两个方程的解，再利用两个方程的解相同，可列出关于的等式，即可求出的值．【详解】解：，即解得：，将代入，得，解得，故答案为：．6．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是．【答案】【分析】本题考查了流程图的计算，解一元一次方程，将代入中求出，再将代入中即可求解．【详解】解：当时，，解得，当时，，故答案为：．7．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次方程；（1）先移项，然后再合并同类项，最后未知数系数化为1即可；（2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可；解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算．【详解】（1）解：移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；（2）解：，去分母得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，系数化为1得：.8．解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查解一元一次方程．（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键．【详解】（1）解：去括号，得：，移项，得：，合并，得：，系数化1，得：；（2）去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并，得：，系数化1，得．9．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．(1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”，(2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值；【答案】(1)是，过程见解析(2)或【分析】本题主要考查了解一元一次方程；（1）根据“m差解方程”的定义解答即可；（2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解．【详解】（1）方程的解是；方程的解是．根据题意可得，所以这两个方程是“2差解方程”；（2）方程的解是；方程的解是．根据题意可得，整理，得，由m为正数，得或，解得或；10．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，．(1)计算的值；(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简；(3)若，求x的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用．（1）根据新定义的法则，进行计算即可；（2）根据点在数轴上的位置，判断的符号，再根据新定义的法则，进行计算即可；（3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可．理解新运算的法则，正确的列出算式和方程，是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）由图可知：，，∴∴；（3）∵，，∴转化为：，∴．变式拓展1．若是方程的解，则a的值为（

）A． B．4 C．12 D．2【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程中求出a的值即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，解得，故选B．2．小军在解关于x的方程去分母时，方程左边的没有乘10，由此求得方程的解为，则这个方程的正确解为．【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解法，由题意可知是方程的解，然后可求得m的值，然后将m的值代入原方程求解即可，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．【详解】解：将代入得：，解得：，∴方程去分母得，移项合并得：．故答案为：．3．若代数式与2的值互为倒数，则m的值是．【答案】【分析】本题考查解一元一次方程．根据倒数：“乘积为1的两个数”，得到，求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：．故答案为：．4．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为．【答案】3【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键．由题意知，方程的解为，计算求解即可．【详解】解：∵方程的解为，∴方程的解为，解得，，故答案为：3．5．若是方程的解，则代数式的值是．【答案】1【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，然后代入求解即可．【详解】解：由题意知，，整理得，，∴，故答案为：1．6．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1即可；（2）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．【详解】（1），，，，；（2），，，，，．7．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题主要考查了解一元一次方程．（1）先移项合并同类项，再将未知数系数化为1即可；（2）先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可．【详解】（1）解：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：；（2）解：，去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，未知数系数化为1得：．8．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）本题考查解一元一次方程，去括号、移项、合并同类项即可得到答案；（2）本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案；【详解】（1）解：去括号得，，移项得，，合并同类项得，；（2）解：去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，．9．已知，(1)当x为何值时，与的值相等？(2)当x为何值时，的值的2倍比的值大2？【答案】(1)(2)【分析】本题考查解一元一次方程．（1）根据，得到，求解即可；（2）根据题意，列出方程进行求解即可．根据题意，列出方程，是解题的关键．【详解】（1）解：当时，，解得：，即：当时，与的值相等；（2）由题意得：，解得：，当时，的值的2倍比的值大2．10．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值．【答案】【分析】先解方程得到，进而得到关于的方程的解为，把代入方程中求出k的值即可．本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【详解】解：去括号得：，移项得：，合并同类项得，，系数化为1得：，∵方程的解与关于的方程的解互为相反数，∴关于的方程的解为∴，解得．11．（1）已知有理数a、b、c在数轴上的位且如图所示，化简：．（2）已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．求的值．【答案】（1）0（2）【分析】（1）先根据数轴知道，再化简，即可作答；（2）先根据一元一次方程的定义得到的值，化简得，再根据两个方程的解相同，把代入，即可作答．【详解】解：（1）由数轴可知则，，，故；（2）∵关于x的方程为一元一次方程，∴，故∴化简得∵该方程的解与关于x的方程的解相同，∴即得解得即那么．【点睛】本题考查了利用数轴化简绝对值，有理数的乘方运算，一元一次方程的定义以及一元一次方程的解；正确掌握相关性质内容是解题的关键．考向二一次方程应用典例引领1．A、B两地相距480km在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地出发，匀速行驶，前往A地．(1)当两车相遇时，求轿车行驶的时间；(2)当两车相距120km时，求轿车行驶的时间．【答案】(1)两车相遇时，轿车行驶的时间为小时(2)当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km【分析】本题考查一元一次方程的应用．（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，根据相遇时的路程和等于A、B两地的距离，列出方程求解即可；（2）设两车相距时，轿车行驶的时间x小时，分相遇前和相遇后，两种情况进行讨论求解．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．【详解】（1）解：设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得，解得．答：两车相遇时，轿车行驶的时间为小时．（2）设两车相距时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况．①相遇前两车相距时，有，解得②相遇后两车相距时，有，解得．答：当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km．2．列方程解应用题：用边长为的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？【答案】(1)侧面个，底面个(2)能做30个盒子【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，（1）由x张用A方法，就有张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数；（2）由侧面个数和底面个数比为3：2，建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论．【详解】（1）∵裁剪时x张用A方法，∴裁剪时张用B方法．∴侧面的个数为：（个），底面的个数为：（个）；即：侧面个，底面个；（2）由题意，得，解得：，∴盒子的个数为：（个），答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子．3．某粮库用于存储小麦的粮囤是等底等高的圆柱和圆锥的组合体，如图，圆柱底面的半径是8米，高是3米，圆锥的高是3米．如果每立方米小麦约重750千克．(1)该粮库收购1440吨小麦，要将这些小麦全部存储在这样的粮囤里，该粮库至少需要多少个这样的粮囤存储这些小麦（取3）?(2)由于粮囤使用多年，需要对所有粮囤进行翻新维修，粮库将此工程承包给甲乙两个队，甲工程队单独修需要8天，甲工程队单独完成需要的时间比乙工程队单独完成时间少，现在两队同时进行维修几天后，乙队因有其他任务调走，余下的工程量甲工程队需要3天时间完成，乙工程队维修了几天？(3)若在（2）的条件下，已知每天甲工程队的费用是900元，每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，维修所有粮囤后，请你计算出甲乙两队的总费用．【答案】(1)10个(2)乙工程从维修了3天(3)7200元【分析】该题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，工程问题以及比例的应用，解答的关键是掌握圆柱和圆锥的体积计算公式，以及由题意得出等量关系式；（1）先算出圆柱半径，根据半径算出粮囤体积，得出一个粮囤存储小麦数量，再用1440吨除以一个粮囤存储小麦数量即可求出；（2）先算出乙工程队单队完成时间，甲乙各自的工作效率，设乙工程队维修了x天，列出方程求解即可；（3）设乙工程队的费用为元，根据每天甲工程队的费用与每天乙工程队的费用之比是，列出比例式求解即可解答；【详解】（1）圆柱半径：粮囤体积为：，一个粮囤存储小麦数量为：，个；（2）乙工程队单队完成时间为：天，甲工作效率为：，乙工作效率为：设乙工程队维修了x天，由题意得，，解得：，答：乙工程从维修了3天；（3）设乙工程队的费用为元，解得：，由（2）知甲工程队维修了天，乙维修了3天，甲乙总费用：元；4．为了打赢蓝天保卫战，某市环保局对一段长的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天完成，乙工程队每天完成．(1)若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，则整治这段河道需要多少天？(2)若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时天，求甲、乙工程队分别整治了多长的河道．【答案】(1)甲、乙两个工程队合作完成，整治这段河道任务用了天(2)甲工程队整治的河道长米，则乙工程队整治的河道长米【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键；（1）整治这段河道任务用了天，根据“甲的工作量乙的工作量”列出方程并解答；（2）设甲工程队整治的河道长米，则乙工程队整治的河道长米，根据“根据工作时间总工作量工作效率结合两队共用时天”列出方程并解答．【详解】（1）解：整治这段河道任务用了天，根据题意得：，解得．答：甲、乙两个工程队合作完成，整治这段河道任务用了天．（2）设甲工程队整治的河道长米，则乙工程队整治的河道长米，根据题意得解得，因此米答：甲工程队整治的河道长米，乙工程队整治的河道长米．5．中秋节期间，哈尔滨顶丰食品有限公司推出甲乙两种不同的月饼礼盒．在甲、乙两种月饼礼盒中，每种礼盒中均有豆沙馅，五仁馅和蛋黄馅三种口味不同的月饼．其中甲礼盒有月饼20块，甲礼盒中豆沙馅月饼的数量占甲礼盒月饼数量的，乙礼盒月饼的数量比甲礼盒月饼的数量多，且乙礼盒月饼中五仁馅月饼占．(1)求乙礼盒中五仁馅月饼有多少块？(2)当两种礼盒月饼混合在一起，蛋黄馅月饼的数量占，并且混合前甲礼盒中蛋黄馅月饼的数量所占的百分比是乙盒中蛋黄馅月饼的数量所占百分比的6倍，若每块豆沙馅月饼售价3元，其售价是每块五仁馅月饼，每块豆沙馅月饼的售价是蛋黄馅月饼售价的，甲乙两种礼盒的售价分别多少元？(3)在（2）的条件下，某单位欲采购甲乙两种礼盒各30盒，恰逢商品促销活动，优惠如下：A商店：购买甲礼盒每满100元减15元，其余原价出售；B商店：购买乙礼盒超过2000元的部分六折，其余原价山售；C商店：①购物不超过2000元不优惠；②购物超过2000元，但不超过3000元，超过部分打九五折；③购物超过3000元，超过部分打八折．试问去哪家商店购买更省钱？并说明理由．【答案】(1)乙礼盒中五仁馅中有15块(2)甲礼盒的售价元，乙礼盒的售价元(3)去C商店购买更省钱，理由见详解【分析】该题主要考查了百分数和分数的应用以及一元一次方程的应用，解答的关键是找到题目中的等量关系；（1）由乙礼盒月饼的数量比甲礼盒月饼的数量多，且乙礼盒月饼中五仁馅月饼占求解即可；（2）先求出乙礼盒中月饼个数，设乙礼盒中有蛋黄月饼x块，则乙礼盒中有豆沙月饼块，甲礼盒中有豆沙馅月饼块，甲礼盒中有蛋黄月饼块，甲礼盒中五仁月饼块，再根据当两种礼盒月饼混合在一起，蛋黄馅月饼的数量占，列方程求解出x，得出乙礼盒中有豆沙月饼，甲礼盒中有蛋黄月饼，五仁月饼个数，根据题意得出五仁馅月饼的售价和蛋黄馅月饼的售价，即可求解甲礼盒的售价和乙礼盒的售价；（3）分别计算：A商店购买付款钱数，B商店购买付款钱数，C商店购买付款钱数比较即可解答；【详解】（1）解：根据题意得：乙礼盒中五仁馅月饼有：(块)，答：乙礼盒中五仁馅中有15块；（2）乙礼盒中有月饼：块，设乙礼盒中有蛋黄月饼x块，则乙礼盒中有豆沙月饼块，甲礼盒中有豆沙馅月饼块，甲礼盒中有蛋黄月饼块，甲礼盒中五仁月饼块，解得，乙礼盒中有蛋黄月饼块，乙礼盒中有豆沙月饼块，甲礼盒中有蛋黄月饼块，甲礼盒中五仁月饼块，五仁馅月饼的售价：(元)，蛋黄馅月饼的售价：(元)，甲礼盒的售价：(元)，乙礼盒的售价：(元)；（3）去C商店购买更省钱，理由：A商店购买付款：元；B商店购买付款：元；C商店购买付款：元；，去C商店购买更省钱．6．某社区超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的一半多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940求该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？【答案】1950元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲种商品买了x件，则乙种商品买了件，，根据单价×数量＝总价，即可得出关于x的一元一次方程；然后再根据总利润＝单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论．【详解】解：设甲种商品买了x件，则乙种商品买了件，解得，乙种商品的件数：（件）；（元），答：该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元的利润．7．如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为；(2)图中点A所表示的数是，点B所表示的数是；(3)受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小何去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”分别求爷爷和小何现在的年龄．【答案】(1)11(2)18，29(3)小河的年龄为13岁，爷爷的年龄为66岁【分析】本题考查了数形结合，列方程解决问题：（1）木棒移动3次，最左端和最右端的距离是木棒长的3倍，设木棒长度为xcm，列方程，求值．（2）根据数轴，A点在7的右侧11个单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧11个单位长度，也可以求出B点的数值．（3）设年龄差为x岁，仿照（1）)列方程，求解，得出年龄．【详解】（1）解：设木棒长度为，由题意可得，，解得．答：木棒长11．故答案为：11．（2）解：点A所表示的数是，点B所表示的数是．故答案为：18，29．（3）解：依题意得：小何年龄和岁的差，爷爷年龄和小何年龄的差，以及岁和爷爷年龄的差相等，设这年龄差为x岁，，解得：．小何年龄为．爷爷年龄为．答：小何的年龄为13岁，爷爷的年龄为66岁．8．在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A与慢车头C之间的距离为6个单位长度且到原点的距离相等．设运动的时间为t秒（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度）．

(1)A在数轴上表示的数为________，D在数轴上表示的数为________；(2)从此时刻开始，若快车以2个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以1个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，当t为何值时，两列火车的车头A、C相距3个单位长度；(3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，若将和较近的两个端点之间的距离叫做两车之间的最小距离，将和较远的两个端点之间的距离叫做两车之间的最大距离．例如图中两车之间的最小距离即A，C之间的距离，最大距离即B，D之间的距离．当这两车的最大距离是最小距离的两倍时，请直接写出t的值．【答案】(1)，5(2)或3(3)的值为1秒或秒或4秒或秒．【分析】（1）根据快车头A与慢车头C之间的距离为6个单位长度且到原点的距离相等，得出，进而得出点A表示的数为，点C表示的数为3，即可求解；（2）根据题意进行分类讨论：①两列火车相遇前，②两列火车相遇前后；（3）表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，当时，；当时，，解方程可得答案．【详解】（1）解：∵快车头A与慢车头C之间的距离为6个单位长度且到原点的距离相等，∴，∴点A表示的数为，点C表示的数为3，∵，∴点D表示的数为，故答案为∶，5；（2）解：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，①两列火车相遇前，车头A、C相距3个单位长度时：，解得：，②两列火车相遇前后，车头A、C相距3个单位长度时：，解得：，综上：或3；（3）表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，当时，，解得或；当时，，解得或；综上所述，当这两车的最大距离是最小距离的两倍时，的值为1秒或秒或4秒或秒．【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，正确画出图形，列出方程求解．9．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为、两种包装，该工厂共有1000名工人．(1)若该工厂生产盲盒的人数比生产盲盒的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒的工人人数；(2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒和3个盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒或10个盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒，多少名工人生产盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？【答案】(1)生产盲盒的工人人数为600人(2)该工厂应该安排250名工人生产，750名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．（1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，根据该工厂共有1000名工人，列出一元一次方程，解方程即可；（2）设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，根据盲盒大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．列出一元一次方程，解方程即可．【详解】（1）设生产的人数为人，则生产的人数为人，于是解得：（人）答：生产盲盒的工人人数为600人．（2）设安排人生产，则安排人生产于是解得：（人）答：该工厂应该安排250名工人生产，750名工人生产才能使每天生产的盲盒正好配套．10．小王看到两个商场的促销信息如图所示．(1)当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？(2)当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？(3)小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？【答案】(1)甲超市付款180元，乙超市付款190元(2)240元(3)18.1元【分析】本题考查一元一次方程的应用．（1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额；（2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可；（3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可．解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．【详解】（1）解：由题意可得，当一次性购物标价总额是200元时，在甲超市需付款：（元），在乙超市需付款：（元），答：当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元；（2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等，设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样，由题意可得：，解得，答：当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样；（3）由题意可得，小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时，需要付款：（元），小王一次性到乙超市购物标价元的商品，需要付款：（元），（元），答：可以节省18.1元．11．某公园有以下A，B，C三种购票方式：种类购票方式A一次性使用门票，每张8元B年票每张80元，持票者每次进入公园无需再购买门票C年票每张40元，持票者进入公园时需再购买每次4元的门票(1)某游客一年中进入该公园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用（用含a的代数式表示）；(2)某游客一年中进入该公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请说明理由；(3)已知甲，乙，丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该公园的次数相同．一年中，若甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，请直接写出甲一年中进入该公园的次数．【答案】(1)购票方式A的费用为：8a元；购票方式B的费用为：80元；购票方式C的费用为：元(2)选择B购买方式比较优惠，理由见解析(3)15次【分析】（1）根据题意，分别列代数式求得三种购票方式一年的费用；（2）根据（1）所求代入，求出三种购票方式的费用，再比较即可得到答案；（3）设甲一年中进入该公园的次数为x次，根据甲所花的费用比乙和丙两人所花费用之和少60元，列出方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，购票方式A的费用为：8a元；购票方式B的费用为：80元；购票方式C的费用为：元；（2）解：购票方式A的费用为：元；购票方式B的费用为：80元；购票方式C的费用为：元；∵，∴选择B购买方式比较优惠；（3）解：设甲一年中进入该公园的次数为x次，则乙，丙两人进入该公园的次数也分别为x次，根据题意有：，解得：．故甲一年中进入该公园的次数为15次．【点睛】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的实际应用．正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键．12．如图，在数轴上，点表示数，点表示数满足．(1)点表示的数为，点表示的数为；(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示数为；(3)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以每秒3个单位长度的速度向右运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球乙从点处以每秒2个单位长度的速度也向右运动．若运动的时间为秒，试求：当为何值时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度．【答案】(1)，3(2)15或(3)当t为2或时，甲、乙两小球之间的距离为10个单位长度【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴上两点间的距离、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用分类讨论的方法解答．（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值；（2）设C点表示的数为x，根据列出方程，解方程即可．（3）分小球从B到点O之前和从点O碰撞返回两种情况列出方程求解即可．【详解】（1）∵，∴，∴．故答案为：，3；（2）设点C表示的数为m，当点C在A，B之间时，，∵∴，∴；当点C在点B的左边时，，∴，∴，综上所述C点在数轴上表示的数为15或．故答案为：15或；（3）当小球从点B到达点O之前时，，解得；当小球从点O碰撞之后返回时，，解得；由上可得，t的值是2或．13．某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的这三种车辆的数量之比是，共收费4800元，问这天通过收费站的三种车各是多少辆？【答案】这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆．【分析】设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆，根据“大客车20元，大货车10元，轿车5元，共收费4800元”列出方程并解答．【详解】解：设这天通过收费站的大客车辆，大货车辆，轿车辆，依题意得：，解得，则（辆），（辆），（辆）．答：这天通过收费站的大客车120辆，大货车168辆，轿车144辆．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找到题中的等量关系列出方程．14．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”用数学的眼光来看，这是应用了比例知识中的______关系．（填“正比例”或“反比例”）希望小学开展了测量旗杆有多高的实践活动．同学们进行了如下操作：某天下午5时，先测出旗杆的影子长度，接着在同一时间、同一地点，测得两棵树的高度和它们影子的长度，如下图所示旗杆的高度是多少米？请用所学数学知识解释说明．

【答案】（1）正比例；（2）旗杆的高度是15米．【分析】（1）因为：影长÷杆长=每米杆子的影长（一定），所以影长和杆长成正比例．（2）物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可．【详解】解：（1）“竿立而影现，喻收效迅速．”用数学的眼光来看，这是应用了比例知识中的正比例关系．（2）设旗杆的高度是x米，则，，解得：，答：旗杆的高度是15米．【点睛】本题考查的是比例的含义，解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．15．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处植树的总人数之比为．设支援后在甲处植树的总人数有人．(1)根据信息填表：甲处乙处丙处支援后的总人数支援的人数(2)已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、丙三处各有多少人？【答案】(1)见解析(2)支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确根据题意表示出甲、乙、丙三处支援的人数，进而建立方程求解是解题的关键．（1）根据甲、乙、丙三处植树的总人数之比为得到支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人，再用支援后的人数减去支援前的人数，即可求出支援三处的人数；（2）根据（1）所求结合支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍建立方程求解即可．【详解】（1）解：设支援后在甲处植树的总人数有人，则支援后乙处和丙处指数的总人数分别有人，人，∴乙处支援的人数为人，丙处支援的人数人，填表如下：甲处乙处丙处支援后的总人数支援的人数（2）解：由题意得，，解得，∴，∴支援甲、乙、丙三处各有6人，8人，16人．16．在2023年11月7日的清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力480人参加三条街路的清冰雪劳动．其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路清冰雪人数的．(1)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动共有多少人？(2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？(3)B街路清冰雪进展较慢，A街路和C街路的武警官兵各出一部分赞助B街路，B街路后来的人数与原来的人数比为5：2，A街路剩余的人数比C街路剩余的人数少．求A街路和C街路分别赞助B街路的武警官兵各有多少人？【答案】(1)288人(2)B：64人

C：224人(3)A赞助64人

C赞助32人【分析】本题主要考查了整式乘法的应用、一元一次方程的应用等知识点：（1）已知某驻哈武警部队出动兵力480人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，进而求得参加B街路和C街路的清冰雪劳动的兵力占总兵力的百分百，最后用乘法计算即可；（2）设参加C街路清冰雪人数为x，则由参加B街路清冰雪的人数，参然后列一元二次方程求解即可；（3）先列式求得A街路和C街路的武警官兵各出一部分赞助B街路的总人数，设C赞助B街路的人数为y，再根据题意列一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：参加B街路和C街路的清冰雪劳动共有：人．答：参加B街路和C街路的清冰雪劳动共有288人．（2）解：设参加C街路清冰雪人数为x，则由参加B街路清冰雪的人数，则有：，解得：，∴，答：参加B街路和C街路的清冰雪劳动劳动人数分别为64人和224人．（3）解：人，人，人，设C赞助B街路的人数为y，由题意可得：，解得：，所以C赞助B街路的人数为64人，A赞助B街路的人数为人，答：C赞助B街路的人数为64人，A赞助B街路的人数为人．变式拓展1．如图A在数轴上所对应的数为．(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；(2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当，当点A运动到所在的点处时，求A、B之间的距离(3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B两点相距4个单位长度．（直接写出答案）【答案】(1)4(2)12个(3)4秒或8秒【分析】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键．（1）根据左减右加可求点B所对应的数；（2）先根据时间路程速度，求出运动时间，再根据路程速度时间求解即可；（3）分两种情况：运动后的B点在A点右边4个单位长度；运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可．【详解】（1）解：．∴点B所对应的数为2；（2）解：秒，∴运动时间为2秒，∴，∴A，B两点间距离是12个单位长度．（3）解：设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，依题意有，∴或解得或；∴经过4秒或8秒，A，B两点相距4个单位长度．2．一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再利用一套仪器由两个A部件和三个B部件构成建立方程求解即可．【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据题意得，，解得，，套．答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套．3．一个道路工程，甲队单独施工8天完成，乙队单独施工12天完成．为了加快进度，甲乙两队共同施工，一段时间后由于甲队另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，最终共用6天完成了此工程，问甲队工作了多少天？【答案】甲队工作了4天．【分析】设甲队工作了x天，由各部分的工作量之和等于1再建立方程求解即可，确定相等关系是解本题的关键．【详解】解：设甲队工作了x天，由题意得：，解得：．答：甲队工作了4天．4．“双”期间，某个体商户在网上进购某品牌两款羽绒服来销售，若购进件和件需支付元，若购进件和件，则需支付元．(1)求两款羽绒服在网上的售价每件分别是多少元(2)若个体商户把网上购买的两款羽绒服各件，均按每件元进行销售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服按折销售完，若总获利为元，求个体商户打折销售的羽绒服是多少件【答案】(1)款售价每件元，款售价每件元；(2)打折件．【分析】（）设款售价每件元，款售价每件为元，根据题意列出方程即可求解；（）设让利的羽绒服有件，由总获利为3800元，列出方程即可求解；本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．【详解】（1）设款售价每件元，则款售价每件为元，依题意可得，，解得，∴，答：款售价每件元，款售价每件元．（2）设让利的羽绒服有件，依题意可得，，解得，答：打折销售的羽绒服有件．5．下表中有两种移动电话计费方式：月使用费/元主叫限定时间主叫超时费/（元）方式一141200.08方式二304000.1其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费．(1)如果每月主叫时间不超过，当主叫时间为多少时，两种方式收费相同？(2)如果每月主叫时间超过，选择哪种方式更省钱？【答案】(1)(2)当时，选方式二省钱；当时，两种方式费用相同，当时，选方式一省钱【分析】（1）设每月主叫时间分钟，收费相同，根据计费方式列出方程，解方程即可得到答案；（2）设每月主叫时间分钟，每月主叫时间超过，收费相同，列出方程求出的值，即可根据的取值范围判断出哪种方式省钱．【详解】（1）解：设每月主叫时间分钟，收费相同，当时，方式一收费14元，方式二收费30元，故两种收费不同，不符合题意；当时，根据题意得：，解得：，每月主叫收费相同；（2）解：设每月主叫时间分钟，根据题意得：由，解得：，∴当时，选方式二省钱；当时，两种方式费用相同，当时，选方式一省钱．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．6．某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于人，票价每张元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打折；方案二：若打折，有人可以免票．(1)若二班有名学生，则他该选择哪个方案？(2)一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？【答案】(1)方案二(2)人【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的等量关系是解答本题的关键．（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小得到答案．（2）设一班有人，根据已知条件得到两种方案费用一样，进而列出方程求出答案．【详解】（1）解：由题意可得，方案一的花费为：（元），方案二的花费为：（元），，若二班有名学生，则他该选择方案二；（2）设一班有人，根据题意，得，解得．答：一班有人．7．已知数轴上三点对应的数分别为、0、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．(1)的长为______；(2)当点到点、点的距离相等时，求的值；(3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是8？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(4)如果点以每秒1个单位长度的速度从点沿数轴向左运动，同时点和点分别从点和点出发以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度也沿数轴向左运动．设运动时间为秒，当点到点、点的距离相等时，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)x的值是或5(4)t的值为或4【分析】（1）MN的长为，即可解答；（2）根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；（3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算；（4）分别根据①当点A和点B在点P同侧时；②当点A和点B在点P异侧时，进行解答即可；【详解】（1）解：的长为；（2）根据题意得：，解得：，∴对应的数为；（3）①当点P在点M的左侧时，根据题意得：解得：②P在点M和点N之间时，则，方程无解，即点P不可能在点M和点N之间，③点P在点N的右侧时，解得：，∴x的值是或5；（4）设运动t秒时，点P到点A，点B的距离相等，即，点P对应的数是，点A对应的数是，点B对应的数是①当点A和点B在点P同侧时，点A和点B重合，所以，解得，符合题意，②当点A和点B在点P异侧时，点A位于点P的左侧，点B位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点A在点P左侧，且点A运动的速度大于点P的速度，所以点A永远位于点P的左侧），故，所以，解得，符合题意，综上所述，t的值为或4；【点睛】此题主要考查了数轴上的两点之间的距离，绝对值方程的应用，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据A，B位置的不同进行分类讨论得出是解题关键，8．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可以理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试回答下列问题：(1)，则它的意义是_______________．此时__________．(2)同样道理，的意义是数轴上表示有理数x的点到表示和1005的点的距离相等，则_______________．(3)类似的，的意义是数轴上表示有理数x的点到表示和2的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，整数x为__________．(4)猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．【答案】(1)在数轴上表示有理数x的点到表示的点的距离为3；1或(2)(3)(4)有最小值3【分析】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键．（1）根据两点间的距离的意义即可解答，根据绝对值的意义即可求出x的值；（2）有理数x所对点在和1005所对的两点之间，化简绝对值，求解；（3）该点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，整数x可为；（4）当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为．【详解】（1）解：，则它的意义是x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于3．∵，∴，∴或．故答案为：x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于3；1或；（2）解：由题知，，得；（3）解：式子理解为：在数轴上，某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为；（4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和，当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为．9．为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值．【答案】【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x），解得：a，则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为．【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程．10．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点表示10，点表示20，我们称点A和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到终点时停止运动：点出发同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点A时停止运动．设运动的时间为秒，问：(1)秒时，点在“折线数轴”上所对应的数是______；点到点的距离是______个单位长度：(2)动点从点运动至A点需要______秒；(3)当为______时，两点在数轴上相距的长度为3个单位？(4)如果动点两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等，直接写出求出的值______．【答案】(1)；23；(2)27；(3)11或13秒；(4)2秒或8秒或14秒或17秒或25秒．【分析】本题考查数轴上的动点问题，可对比路程问题中的相遇问题的方法求解.（1）秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数，然后求出距离；（2）分别计算出段的运动时间求和即可；（3）因为P从A到O需要6秒，Q从C到B需要10秒，10秒时P点在段，那么可知相遇点M在上，设，根据相遇时运动时间相等列方程求出相遇时间，再分两种情况①相遇前相距3个单位②相遇后相距3个单位分别求出即可；（4）分情况讨论，①动点Q在上，动点P在上，②动点Q在上，动点P在上，③动点Q在上，动点P在上，④动点Q在上，动点P在上，⑤动点Q在上，动点P在上到达终点C时，分别列方程并解方程即可解决.【详解】（1）解：秒时，，则P点对应的数为，Q点对应的数为，两相距为；故答案为：；23；（2）解：动点从点运动至A点时，所需时间：（秒)，故答案为：27；（3）解：由题可知，设P、Q两点相遇在线段上于M处，设，则，解得，此时M所对应的数为，当两点相距3个单位时，两点均在上，①相遇前两点相距3个单位时，，解得：；②相遇后两点相距3个单位时，解得：；故答案为：11或13秒；（4）解：P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能：①动点Q在上，动点P在上，则：，解得：；②动点Q在上，动点P在上，则：，解得：；③动点Q在上，动点P在上，则：，解得：；④动点Q在上，动点P在上，则：，解得：；⑤动点Q在上，动点P在上到达终点C时，则：，解得：；综上所述：t的值为2秒或8秒或14秒或17秒或25秒，故答案为：2秒或8秒或14秒或17秒或25秒．11．机械厂加工车间有名工人，平均每人每天加工小齿轮个或大齿轮个，个大齿轮和个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？(1)解：设有x个人加工小齿轮，填出下列空格：人数每人每天加工的齿轮数齿轮总数小齿轮x①②大齿轮③10④(2)根据（1）题表格数据，解决题目的问题．【答案】(1)①