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文档简介
二次函数【十大题型】【题型1辨别二次函数】.........................................................................................................................................1【题型2由二次函数的定义求字母的值】..............................................................................................................3【题型3由二次函数的定义求字母的取值范围】..................................................................................................4【题型4二次函数的一般形式】.............................................................................................................................6【题型5求二次函数的值】.....................................................................................................................................7【题型6判断函数关系】.........................................................................................................................................9【题型7列二次函数关系式(几何图形】.............................................................................................................11【题型8列二次函数关系式(增长率)】.................................................................................................................14【题型9列二次函数关系式(循环】.....................................................................................................................15【题型10列二次函数关系式(销售】.....................................................................................................................16知识点1:二次函数的定义一般地,形如ax2+bx+c、bc是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y=ax2+bx+c(ab、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.【题型1辨别二次函数】【例】(23-24九年级上江西南昌阶段练习)下列函数解析式中,ꢀ一定是ꢁ的二次函数的是()1Aꢀ=2ꢂꢁ2【答案】CBꢀ=2ꢁ+ꢂ2Cꢀ=2ꢁ2−1Dꢀ=ꢁ2+ꢃ【分析】本题考查二次函数的识别,形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ≠的函数是二次函数,根据定义逐一判断即可得到答案.【详解】解:Aꢂ=时,ꢀ=2ꢂꢁ2=,不是二次函数,不合题意;Bꢀ=2ꢁ+ꢂ2ꢀ是ꢁ的一次函数,不合题意;Cꢀ=2ꢁ2−1ꢀ一定是ꢁ的二次函数,符合题意;1Dꢀ=ꢁ2+中含有分式,不是二次函数,不合题意;ꢃ故选C.【变式1-1】(23-24九年级上·安徽安庆阶段练习)下列函数是二次函数的是()1Aꢀ=2ꢁ−1【答案】CBꢀ=√ꢁ2−1Cꢀ=ꢁ2−1Dꢀ=2ꢃꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ、bc为常数,ꢂ≠)的函数叫二次函数.根据二次函数的定义逐个判断即可.【详解】解:A、函数ꢀ=2ꢁ−1是一次函数,不是二次函数,故本选项不符合题意;B、函数ꢀ=√ꢁ2−1根号内含有x,不是二次函数,故本选项不符合题意;C、函数ꢀ=ꢁ2−是二次函数,故本选项符合题意;1D、函数ꢀ=分母中含有,不是二次函数,故本选项不符合题意.2ꢃ故选:.【变式1-2】(23-24九年级下·江苏专题练习)下列函数关系式中,二次函数的个数有()1(1ꢀ=3(ꢁ−1)2+12ꢀ=(6ꢀ=ꢈꢁ2+.3ꢆ=3−2ꢇ24ꢀ=ꢁ4+2ꢁ2−15ꢀ=3ꢁ(2−ꢁ)+3ꢁ2;ꢃ2ꢃA1个B.2个C.3个D4个【答案】Bꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ,ꢄ,ꢅꢂ≠0)的函数叫做二次函数.判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项后,能写成ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ,ꢄ,ꢅꢂ≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是.【详解】解:(ꢀ=3(ꢁ−1)2+1是二次函数,故符合题意;1(2ꢀ=,不是二次函数,故不符合题意;ꢃ2−ꢃ(3ꢆ=3−2ꢇ2是二次函数,故符合题意;(4ꢀ=ꢁ4+2ꢁ2−不是二次函数,故不符合题意;(5ꢀ=3ꢁ(2−ꢁ)+3ꢁ2=6ꢁ不是二次函数,故不符合题意;(6ꢀ=ꢈꢁ2+,不确定m是否为,不一定是二次函数,故不符合题意;综上所述,二次函数有2个.故选:.【变式1-3】(23-24九年级上·湖南长沙期末)下列函数①ꢀ=5ꢁ−5;②ꢀ=3ꢁ2−;③ꢀ=4ꢁ3−3ꢁ2;1④ꢀ=2ꢁ2−2ꢁ+1;⑤ꢀ=.其中是二次函数的是.ꢃ2【答案】②④④②【分析】根据二次函数的定义,函数式为整式且自变量的最高次数为2,二次项系数不为0,逐一判断.【详解】解:①ꢀ=5ꢁ−5为一次函数;②ꢀ=3ꢁ2−1为二次函数;③ꢀ=4ꢁ3−3ꢁ3自变量次数为3,不是二次函数;④ꢀ=2ꢁ2−2ꢁ+1为二次函数;1⑤ꢀ=函数式为分式,不是二次函数.ꢃ2故答案为②④.【题型2由二次函数的定义求字母的值】【例】(23-24九年级下广东东莞·期中)已知函数ꢀ=(ꢈ−1)ꢁꢉ2+1是二次函数,则ꢈ=【答案】−1.【分析】根据定义得:形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ、ꢄ、ꢅ是常数,且ꢂ≠0)的函数是二次函数,列方程可求得答案.【详解】解:依题意得:ꢈ2+1=2ꢈ−1≠,解得ꢈ=−.故答案为:−.【点睛】本题考查了二次函数的定义.注意:二次函数ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅꢂ是常数,本题关键点为ꢂ≠0.【变式2-1】(23-24九年级上·江苏扬州阶段练习)如果ꢀ=2ꢁ|ꢉ|+3ꢁ−1是关于ꢁ的二次函数,则ꢈ=.【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义,直接利用二次函数的定义得出答案.【详解】解:∵ꢀ=2ꢁ||+3ꢁ−1是关于x的二次函数,∴|ꢈ|=2,解得:ꢈ=±2.故答案为:±2.【变式2-2】(23-24九年级上·湖北周测)如果函数ꢀ=(ꢊ−1)ꢁꢋ2−ꢋ+2+ꢊꢁ−是关于x的二次函数,则ꢊ=.【答案】0根据二次函数的定义得到ꢊ−1≠ꢊ2−ꢊ+2=和方程即可得到k的值.【详解】解:根据题意,得ꢊ−1≠且ꢊ2−ꢊ+2=2,解得ꢊ=.故答案为:0.【变式2-3】(23-24九年级下·广东广州期末)如果ꢀ=(ꢊ−3)ꢁ�ꢋ1�+ꢁ−3是二次函数,佳佳求出k为3,敏敏求出k的值为-1,她们俩中求得结果正确的是.【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义,由定义得|ꢊ−1|=ꢊ−3≠0,即可求解;理解定义:一般地,形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(a、cꢂ≠)的函数叫做二次函数.”是解题的关键.【详解】解:∵ꢀ=(ꢊ−3)ꢁ�ꢋ1�+ꢁ−是二次函数,∴|ꢊ−1|=2,解得ꢊ=3,ꢊ=−,12又∵ꢊ−3≠0,即ꢊ≠3,∴ꢊ=−,故敏敏正确.【题型3由二次函数的定义求字母的取值范围】【例323-24九年级上上海嘉定·ꢀ=(ꢊ−1)ꢁ2+ꢊꢁ−(ꢊꢊ的取值范围是.【答案】ꢊ≠1【分析】根据:形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ≠0),这样的函数叫做二次函数,得到ꢊ−1≠,即可.【详解】解:由题意,得:ꢊ−1≠,∴ꢊ≠1;故答案为:ꢊ≠1.【变式3-123-24九年级上·浙江嘉兴ꢀ=(ꢈ2−ꢈꢁ2+(ꢈ−1)ꢁ−m(1)若这个函数是关于x的一次函数,求m的值.(2)若这个函数是关于x的二次函数,求m的取值范围.【答案】ꢈ=;(2)ꢈ≠且ꢈ≠.【分析】()根据一次函数的定义即可解决问题;(2)根据二次函数的定义即可解决问题.【详解】()解:依题意ꢈ2−ꢈ=0且ꢈ−1≠,所以ꢈ=;(2)解:依题意ꢈ2−ꢈ≠0,所以ꢈ≠且ꢈ≠.【变式3-223-24九年级上·广东江门阶段练习)已知关于ꢁ的二次函数ꢀ=(ꢂ2−1)ꢁ2+ꢁ−2ꢂ值范围是(Aꢂ≠1)Bꢂ≠−1Cꢂ≠±1D.为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得ꢂ2−1≠,解出答案即可.【详解】因为关于ꢁ的二次函数ꢀ=(ꢂ2−1)ꢁ2+ꢁ−2,∴ꢂ2−1≠,解得:ꢂ≠±1.故选:.【点睛】本题考查的是二次函数ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ≠概念,熟练掌握二次函数定义是解题关键.【变式3-323-24九年级下·四川遂宁ꢀ=(ꢈ2-2)ꢁ2+(+2)求ꢈ的取值范围【答案】ꢈ≠√且ꢈ≠-√2【分析】根据二次函数的定义,即可得不等式ꢈ2-2,解不等式即可求得.【详解】解:∵函数ꢀ=(ꢈ2-2)ꢁ2ꢈ2)ꢁ是二次函数,∴ꢈ2-2,解得ꢈ≠±√,故答案为:ꢈ≠√ꢈ≠-√.【点睛】本题考查了二次函数的定义,熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键.【题型4二次函数的一般形式】【例】(23-24九年级上四川南充·阶段练习)二次函数ꢀ=ꢁ2−3ꢁ+5的二次项是,一次项系数是,常数项是.【答案】ꢁ2−35【分析】根据二次函数的定义判断即可。【详解】解:二次函数ꢀ=ꢁ2−3ꢁ+的二次项是ꢁ2,一次项系数是−,常数项是,故答案为:①ꢁ2,②−,③,ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂꢄꢅ是常数,ꢂ≠0)ꢁꢀꢂꢄꢅꢂꢄꢅ是常数项.【变式4-123-24九年级上·全国y=−4(1+2x)(x−3)化为一般形式为:【答案】y=−8x2+20x+12.【分析】先利用整式的乘法得到(x-3+2x2-6x),然后去括号合并即可得到二次函数的一般式.【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x−6x)=−8x2+20x+12,故答案为y=−8x+20x+12.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式,解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.【变式4-2】(23-24九年级上·安徽六安阶段练习)二次函数ꢀ=(ꢁ−2)(5−2ꢁ的二次项系数是【答案】−2.【分析】先进行多项式的乘法运算,再合并同类项化成一般式即可.【详解】解:ꢀ=(ꢁ−2)(5−2ꢁ)=5ꢁ−2ꢁ2+10+4ꢁ,=−ꢁ2++9ꢁ+10,∴二次项系数是−,故答案为:−.【点睛】此题考查了二次函数的一般形式,解题的关键是掌握化成一般形式,确定二次项系数,一次项系数和常数项.【变式4-3】(23-24九年级上·广东汕尾阶段练习)把y=(3x-2)(x3)化成一般形式后,一次项系数与常数项的和为.【答案】1【分析】先将其化为一般式,即可求出一次项系数和常数项,从而求出结论.【详解】解:y=(3x-2)(x3)=3x+7x-6∴一次项系数为7,常数项为-6∴一次项系数与常数项的和为+(=1故答案为:1.【点睛】此题考查的是二次函数的一般式,掌握二次函数的一般形式是解题关键.【知识点2列二次函数关系式】(1)理解题意:找出实际问题中的已知量和変量(自变量,因变量),将文字或图形语言转化为数学语言;(2)分析关系:找到已知量和变量之间的关系,列出等量关系式;(3)列函数表达式:设出表示变量的字母,把等量关系式用含字母的式子替换,将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型5求二次函数的值】【例523-24九年级下·四川达州·ꢌ(cm3与温度ꢇ(°C)之间1的关系满足二次函数ꢌ=ꢇ2+104(ꢇ>0),则当温度为4°C时,水的体积为cm3.8【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用,细心计算是解题的关键.将t=4代入解析式求值即可.1【详解】解:∵ꢌ=ꢇ2+104(ꢇ>0),81当t=4°C时,ꢌ=×42+104=106(cm3,8∴水的体积为106cm3.故答案为:106【变式5-123-24九年级上·江苏盐城ꢀ(m)与开始刹车时的速度ꢁ(m/s)之间满1足二次函数ꢀ=ꢁ2ꢁ>0),若该车某次的刹车距离为4m,则开始刹车时的速度为m/s.16【答案】8【分析】将ꢀ=4代入即可求解.1【详解】解:令ꢀ=4,则4=ꢁ2,16解得:ꢁ=8(负值舍去)故答案为:8【点睛】本题考查了二次函数的应用,将ꢀ=代入是解题的关键.【变式5-223-24全国·20m/sh(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2,当h=20m时,物体的运动时间为【答案】2s.【分析】分析知,高h=20m有两种情况,一是在上升过程某一时刻高为,或者是下降时高为h代入关系式即可分别得到时间.【详解】根据题意,把=20代入关系式得:20−52−20=0,即(2)2=0,解得=2,∴物体运动时间为2;故答案为2.【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征与物理运动问题的结合,进行准确的运算即可.【变式5-3】(23-24九年级上·安徽安庆阶段练习)如图,在期末体育测试中,小朱掷出的实心球的飞行高138度(米)与水平距离(米)之间的关系大致满足二次函数ꢀ=-ꢁ2+ꢁ+,则小朱本次投掷实心球的成1055绩为()A7m【答案】C【分析】根据实心球落地时,高度y=0,把实际问题可理解为当y时,求x的值即可.B.mC.mD8.5m138【详解】解:在ꢀ=-ꢁ2+ꢁ+中,令=0得:1055138ꢁ+ꢁ+=0,2-1055解得=-2(舍去)或x,∴小朱本次投掷实心球的成绩为8故选:.【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义,需要结合题意,取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键.【题型6判断函数关系】【例】(23-24九年级上北京朝阳·期末)如图,矩形绿地的长和宽分别为30m和20m.若将该绿地的长、宽各增加ꢁꢀm2y与x之间的函数关系是次函数关系”或二次函数关系)“正比例函数关系”“一【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案.【详解】解:由题意得ꢀ=(30+ꢁ)(20+ꢁ)=ꢁ2+50ꢁ+600,∴y与x之间的函数关系是二次函数关系,故答案为;二次函数关系.y与x之间的函数关系式是解题的关键.【变式6-1】(23-24九年级上·浙江嘉兴开学考试)下列函数关系中,可以用二次函数描述的是(A.圆的周长与圆的半径之间的关系)B.三角形的高一定时,面积与底边长的关系C.在一定距离内,汽车行驶速度与行驶时间的关系D.正方体的表面积与棱长的关系【答案】D【分析】根据二次函数,反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可.【详解】解:A.圆的周长c与圆的半径r之间的关系是:ꢅ=2πꢍ,故他们之间的关系是正比例函数关系;1B.三角形的高hꢆ=ꢎℎ,故他们之间的关系是正比例函数关系;2C.在一定距离s内,故他们之间的关系是反比例函数关系;D.正方体的表面积Sa的关系:ꢆ=6ꢂ2,S和a是二次函数关系,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查反比例函数的应用,二次函数的应用,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.【变式6-223-24九年级上·浙江杭州y﹣yy与xy与2y与x1212的函数关系是(A.正比例函数C.二次函数【答案】C)B.一次函数D.以上均不正确【分析】设y=k,ykx2,根据yy﹣y=kxkx2,由此得到答案.11221212【详解】解:设y=k,y=kx2,1122则ykx﹣kx,12所以y是关于x的二次函数,故选:.【点睛】此题考查列函数关系式,正确理解正比例函数的定义是解题的关键.【变式6-3】(23-24九年级下·福建福州期末)如图,正方形ꢏꢐꢑꢒ⊙ꢓ的周长之和为ꢂ(ꢂ为常数)cm,设圆的半径为ꢁcmꢀcmꢆcm2ꢁ在一定范围内变化时,ꢀ和ꢆ都随ꢁ的变化而变化,则ꢀ与,Sꢁ满足的函数关系分别是()A.二次函数关系,二次函数关系C.一次函数关系,一次函数关系B.二次函数关系,一次函数关系D.一次函数关系,二次函数关系【答案】D11【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到ꢀ=−ꢔꢁ+ꢂꢆ=ꢆ正方形−ꢆ圆ꢆ=阴影24111ꢀ−ꢔꢁ=�ꢔ−ꢔ�ꢁ−ꢔꢂꢁ+ꢂ2,由此即可得到答案.22224416【详解】解:∵正方形ꢏꢐꢑꢒ和⊙ꢓ的周长之和为ꢂcm,圆的半径为ꢁcm,正方形的边长为ꢀcm,∴4ꢀ+2ꢔꢁ=ꢂ,11∴ꢀ=−ꢔꢁ+ꢂ,24∵ꢆ=ꢆ正方形−ꢆ圆,211111∴ꢆ=ꢀ2−ꢔꢁ2=�−ꢔꢁ+ꢂ�−ꢔꢁ2=�ꢔ2−ꢔ�ꢁ2−ꢔꢂꢁ+ꢂ2,244416∴y与xS与x满足的函数关系分别是一次函数关系,二次函数关系,故选:D.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式,理清题中的数量关系,熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键.【题型7列二次函数关系式(几何图形】【例23-24九年级上全国·∠ꢏ=90°ꢏꢐ=ꢏꢑꢐꢑ=ꢕꢖꢗꢘ△ꢏꢐꢑ的内接矩形,如果ꢕꢖ的长为ꢁ,矩形ꢕꢖꢗꢘ的面积为ꢀ,则ꢀ与ꢁ的函数关系式为.1【答案】ꢀ=−ꢁ2+10ꢁ2【分析】根据题意可得△ꢐꢕꢘ,△ꢑꢖꢗ是等腰直角三角形,得出ꢐꢘ=ꢕꢘ=ꢑꢗ=ꢗꢖ,进而根据矩形的面积即可求解.【详解】∵∠ꢏ=,ꢏꢐ=ꢏꢑ,∴∠ꢐ=∠ꢑ=45°.∵四边形ꢕꢖꢗꢘ是△ꢏꢐꢑ的内接矩形,∴∠ꢕꢘꢐ=∠ꢖꢗꢑ=90°,ꢕꢘ=ꢖꢗꢕꢖ=ꢘꢗ,∴∠ꢐꢕꢘ=∠ꢑꢖꢗ=,∴ꢐꢘ=ꢕꢘ=ꢑꢗ=ꢗꢖ.∵ꢐꢑ=20,ꢕꢖ=ꢁ,∴ꢐꢑ−ꢘꢗ=ꢐꢑ−ꢕꢖ=20−ꢁ,11∴ꢐꢘ=ꢕꢘ=ꢑꢗ=ꢗꢖ=(ꢐꢑ−ꢘꢗ)=10−ꢁ,22112.∴ꢀ=ꢁ�10−ꢁ�=−ꢁ+10ꢁ221故答案为:ꢀ=−ꢁ2+10ꢁ.2【点睛】本题考查了列二次函数关系式,熟练掌握矩形的性质是解题的关键.【变式7-1】(23-24九年级下·辽宁本溪期中)已知一正方体的棱长是3cm,设棱长增加ꢁcm时,正方体的表面积增加ꢀcm2y与x之间的函数关系式是()Aꢀ=6ꢁ2−36ꢁCꢀ=ꢁ2+36ꢁBꢀ=−6ꢁ2+36ꢁDꢀ=6ꢁ2+36ꢁ【答案】D【分析】本题考查了列二次函数关系式,根据题意直接列式即可作答.【详解】根据题意有:ꢀ=6(ꢁ+3)2−6×32=6ꢁ2+36ꢁ,故选:D.【变式7-223-24九年级上·山西太原26cm,宽22cm,相框边的宽为ꢁꢙcm,相框内的面积是ꢀꢙcm2y与x之间的函数关系式为.【答案】ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572(0<ꢁ<11)【分析】本题主要考查二次函数的实际应用,根据题意列出函数整理并求出ꢁ的取值范围即可.【详解】解:根据题意,得ꢀ=(26−2ꢁ)(22−2ꢁ)展开得:ꢀ=572−52ꢁ−44ꢁ+4ꢁ2整理得:ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572根据题意,得ꢁ>0�26−2ꢁ>0;22−2ꢁ>0解得:0<ꢁ<11.∴y与x之间的函数关系式为ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572(0<ꢁ<11),故答案为:ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572(0<ꢁ<11)【变式7-323-24九年级上·广东东莞ꢚꢇ△ꢏꢐꢓꢏꢐ⊥ꢓꢐꢏꢐ=ꢓꢐ=3,设直线ꢁ=ꢇ截此三角形所得的阴影部分的面积为ꢆ,则ꢆ与ꢇ之间的函数关系式为()11Aꢆ=ꢇ【答案】BBꢆ=ꢇ2Cꢆ=ꢇ2Dꢆ=ꢇ2−122【分析】ꢚꢇ△ꢏꢐꢓ中,ꢏꢐ⊥ꢓꢐꢏꢐ=ꢓꢐ=3∠ꢏꢓꢐ=∠ꢏ=45°∠ꢓꢑꢒ=∠ꢏ=45°,即∠ꢑꢓꢒ=∠ꢓꢑꢒ=45°,进而证明ꢑꢒ=ꢓꢒ=ꢇ,最后根据三角形的面积公式,求出ꢆꢇ之间的函数关系式.【详解】解:如图所示,∵ꢚꢇ△ꢏꢐꢓ中,ꢏꢐ⊥ꢓꢐ,且ꢏꢐ=ꢓꢐ=3,∴∠ꢏꢓꢐ=∠ꢏ=45°,∵ꢑꢒ⊥ꢓꢐ,∴ꢑꢒ∥ꢏꢐ,∴∠ꢓꢑꢒ=∠ꢏ=45°,∴∠ꢑꢓꢒ=∠ꢓꢑꢒ=45°,∴ꢑꢒ=ꢓꢒ=ꢇ,1∴△ꢛꢜꢝ=ꢓꢒ×ꢑꢒ212(0<ꢇ≤3),=ꢇ21即:ꢆ=ꢇ2<ꢇ≤.2故选:.【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法,考查了等腰直角三角形的性质,平行线的判定和性质,等腰三角形的判定,三角形的面积等知识点.解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系.【题型8列二次函数关系式(增长率)】【例】(23-24九年级上四川自贡·期末)一部售价为4000元的手机,一年内连续两次降价,如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的价格(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是()Aꢀ=4000(1−ꢁ)Cꢀ=8000(1−ꢁ)Bꢀ=4000(1−ꢁ2Dꢀ=8000(1−ꢁ)2【答案】B【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以(1每次降价的百分率)2,列出函数关系式,即可求解.【详解】解:∵每次降价的百分率都是x,∴两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是ꢀ=4000(1−ꢁ)2.故选:B【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.【变式8-123-24九年级上·安徽合肥2023年第一季度ꢗꢒꢞ总值约为2.6千亿元人民币,若我市第三季度ꢗꢒꢞ总值为y千亿元人民币,平均每个季度GDP增长的百分率为xyx的函数表达式是(Aꢀ=2.6(1+2ꢁ)Cꢀ=2.6(1+ꢁ)2)Bꢀ=2.6(1−ꢁ2Dꢀ=2.6+2.6(1+ꢁ)+2.6(1+ꢁ)2【答案】C【分析】第二季度ꢗꢒꢞ总值为2.6(1+ꢁ,第三季度为2.6(1+ꢁ)2,得解;【详解】解:第三季度ꢗꢒꢞ总值为ꢀ=2.6(1+ꢁ)(1+ꢁ)=2.6(1+ꢁ)2;故选:C【点睛】本题考查增长率问题,理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键.【变式8-2】(23-24九年级上·安徽蚌埠阶段练习)为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每盒零售价由16元降为ꢀ元,设平均每次降价的百分率是ꢁ,则ꢀ关于ꢁ的函数表达式为.【答案】ꢀ=16ꢁ2−32ꢁ+16【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可.16元降为ꢀꢁꢀ关于ꢁ的函数表达式为:ꢀ=16(1−ꢁ)2=16ꢁ2−32ꢁ+16,即ꢀ=16ꢁ2−32ꢁ+16.故答案为:ꢀ=16ꢁ2−32ꢁ+16.【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.【变式8-3】(23-24九年级上·全国阶段练习)某学校去年对实验器材投资为2万元,预计今明两年的投资总额为y万元,年平均增长率为xy与x的函数解析式【答案】ꢀ=2ꢁ2+6ꢁ+4.【分析】由已知可得今年投资是(+1)万元,明年投资是21+)2万元;故y=2(+1)+2(1+)2.【详解】解:依题意可得=2x+1+21+)22ꢁ2+6ꢁ+4故答案为2ꢁ2+6ꢁ+.【点睛】本题考核知识点:列二次函数,解题关键点:理解题意列出函数关系式.【题型9列二次函数关系式(循环】【例】(23-24九年级上辽宁大连·期中)已知有n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,比赛的场次数为mmn的函数解析式为.11【答案】ꢈ=ꢟ2−ꢟ22【分析】根据n个球队都要与除自己之外的(ꢟ−球队个打一场,因此要打ꢟ(ꢟ−1)场,然而有重复一半的场次,即可求出函数关系式.ꢠ(ꢠ−1)11【详解】解:根据题意,得ꢈ==ꢟ2−ꢟ,22211故答案为:m=n2−n.22【点睛】本题考查了函数关系式,理解题意是解题的关键.【变式9-1】(23-24九年级上·全国单元测试)寒假九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿,约定每两名同学之间互发一次信息,那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为()111Am=n(n+1)Bm=n(n−1)Cm=n2Dm=n(n−1)222【答案】Dnn-1信息,进而得出总次即可.【详解】∵九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿,约定每两名同学之间互发一次信息,∴互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为:m=n(n−1).故答案选:D.【点睛】本题考查了二次函数关系式,解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式.【变式9-2】(23-24九年级上·山东德州阶段练习)有一个人患流感,经过两轮传染后共有y人患了流感,每轮传染中,平均一个人传染了xy与x之间的函数关系式为【答案】y=x2+2x+1.【详解】试题解析:第一轮流感后的人数为1+ꢁ,第二轮流感后的人数为1+ꢁ+ꢁ(ꢁ+1)=ꢁ2+2ꢁ+1.∴ꢀ=ꢁ2+2ꢁ+1.ꢀ与ꢁ之间的函数关系式为ꢀ=ꢁ2+2ꢁ+1.故答案为ꢀ=ꢁ2+2ꢁ+1.【变式9-3】(23-24九年级上·甘肃定西阶段练习)篮球联赛中,每两个球队之间进行两场比赛,设有x个球队参赛计划共打yy与x之间的函数关系为【答案】ꢀ=ꢁ2−ꢁ.【分析】根据题意找到比赛场数与球队数量的关系即可.【详解】解:每个球队和剩下的(ꢁ−1)个球队比赛,每两个球队之间进行两场比赛,∴ꢀ=ꢁ(ꢁ−1)=ꢁ2−ꢁ.故答案为:ꢀ=ꢁ2−ꢁ.【点睛】本题考查了二次函数的应用,理解题意,正确得出二次函数的解析式是求解本题的关键.【题型10列二次函数关系式(销售】【例】(23-24九年级上广东广州·期末)某商店购进某种商品的价格是7.5元件,在一段时间里,单价是1
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