初中数学《二次函数》十大题型汇编含解析

二次函数【十大题型】【题型1辨别二次函数】.........................................................................................................................................1【题型2由二次函数的定义求字母的值】..............................................................................................................3【题型3由二次函数的定义求字母的取值范围】..................................................................................................4【题型4二次函数的一般形式】.............................................................................................................................6【题型5求二次函数的值】.....................................................................................................................................7【题型6判断函数关系】.........................................................................................................................................9【题型7列二次函数关系式(几何图形】.............................................................................................................11【题型8列二次函数关系式(增长率)】.................................................................................................................14【题型9列二次函数关系式(循环】.....................................................................................................................15【题型10列二次函数关系式(销售】.....................................................................................................................16知识点1：二次函数的定义一般地，形如ax2+bx+c、bc是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（ab、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【题型1辨别二次函数】【例】（23-24九年级上江西南昌阶段练习）下列函数解析式中，ꢀ一定是ꢁ的二次函数的是（）1Aꢀ=2ꢂꢁ2【答案】CBꢀ=2ꢁ+ꢂ2Cꢀ=2ꢁ2−1Dꢀ=ꢁ2+ꢃ【分析】本题考查二次函数的识别，形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ≠的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：Aꢂ=时，ꢀ=2ꢂꢁ2=，不是二次函数，不合题意；Bꢀ=2ꢁ+ꢂ2ꢀ是ꢁ的一次函数，不合题意；Cꢀ=2ꢁ2−1ꢀ一定是ꢁ的二次函数，符合题意；1Dꢀ=ꢁ2+中含有分式，不是二次函数，不合题意；ꢃ故选C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆阶段练习）下列函数是二次函数的是（）1Aꢀ=2ꢁ−1【答案】CBꢀ=√ꢁ2−1Cꢀ=ꢁ2−1Dꢀ=2ꢃꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ（ꢂ、bc为常数，ꢂ≠）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数ꢀ=2ꢁ−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数ꢀ=√ꢁ2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数ꢀ=ꢁ2−是二次函数，故本选项符合题意；1D、函数ꢀ=分母中含有，不是二次函数，故本选项不符合题意．2ꢃ故选：．【变式1-2】（23-24九年级下·江苏专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（）1（1ꢀ=3(ꢁ−1)2+12ꢀ=（6ꢀ=ꢈꢁ2+．3ꢆ=3−2ꢇ24ꢀ=ꢁ4+2ꢁ2−15ꢀ=3ꢁ(2−ꢁ)+3ꢁ2；ꢃ2ꢃA1个B．2个C．3个D4个【答案】Bꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ,ꢄ,ꢅꢂ≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项后，能写成ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ,ꢄ,ꢅꢂ≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：（ꢀ=3(ꢁ−1)2+1是二次函数，故符合题意；1（2ꢀ=，不是二次函数，故不符合题意；ꢃ2−ꢃ（3ꢆ=3−2ꢇ2是二次函数，故符合题意；（4ꢀ=ꢁ4+2ꢁ2−不是二次函数，故不符合题意；（5ꢀ=3ꢁ(2−ꢁ)+3ꢁ2=6ꢁ不是二次函数，故不符合题意；（6ꢀ=ꢈꢁ2+，不确定m是否为，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：．【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙期末）下列函数①ꢀ=5ꢁ−5；②ꢀ=3ꢁ2−；③ꢀ=4ꢁ3−3ꢁ2；1④ꢀ=2ꢁ2−2ꢁ+1；⑤ꢀ=．其中是二次函数的是．ꢃ2【答案】②④④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①ꢀ=5ꢁ−5为一次函数；②ꢀ=3ꢁ2−1为二次函数；③ꢀ=4ꢁ3−3ꢁ3自变量次数为3，不是二次函数；④ꢀ=2ꢁ2−2ꢁ+1为二次函数；1⑤ꢀ=函数式为分式，不是二次函数．ꢃ2故答案为②④．【题型2由二次函数的定义求字母的值】【例】（23-24九年级下广东东莞·期中）已知函数ꢀ=(ꢈ−1)ꢁꢉ2+1是二次函数，则ꢈ=【答案】−1．【分析】根据定义得：形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ、ꢄ、ꢅ是常数，且ꢂ≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．【详解】解：依题意得：ꢈ2+1=2ꢈ−1≠，解得ꢈ=−．故答案为：−．【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅꢂ是常数，本题关键点为ꢂ≠0．【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州阶段练习）如果ꢀ=2ꢁ|ꢉ|+3ꢁ−1是关于ꢁ的二次函数，则ꢈ=．【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．【详解】解：∵ꢀ=2ꢁ||+3ꢁ−1是关于x的二次函数，∴|ꢈ|=2，解得：ꢈ=±2．故答案为：±2．【变式2-2】（23-24九年级上·湖北周测）如果函数ꢀ=(ꢊ−1)ꢁꢋ2−ꢋ+2+ꢊꢁ−是关于x的二次函数，则ꢊ=．【答案】0根据二次函数的定义得到ꢊ−1≠ꢊ2−ꢊ+2=和方程即可得到k的值．【详解】解：根据题意，得ꢊ−1≠且ꢊ2−ꢊ+2=2，解得ꢊ=．故答案为：0．【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州期末）如果ꢀ=(ꢊ−3)ꢁ�ꢋ1�+ꢁ−3是二次函数，佳佳求出k为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是．【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|ꢊ−1|=ꢊ−3≠0，即可求解；理解定义：一般地，形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ（a、cꢂ≠）的函数叫做二次函数．”是解题的关键．【详解】解：∵ꢀ=(ꢊ−3)ꢁ�ꢋ1�+ꢁ−是二次函数，∴|ꢊ−1|=2，解得ꢊ=3，ꢊ=−，12又∵ꢊ−3≠0，即ꢊ≠3，∴ꢊ=−，故敏敏正确．【题型3由二次函数的定义求字母的取值范围】【例323-24九年级上上海嘉定·ꢀ=(ꢊ−1)ꢁ2+ꢊꢁ−（ꢊꢊ的取值范围是．【答案】ꢊ≠1【分析】根据：形如ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ≠0)，这样的函数叫做二次函数，得到ꢊ−1≠，即可．【详解】解：由题意，得：ꢊ−1≠，∴ꢊ≠1；故答案为：ꢊ≠1．【变式3-123-24九年级上·浙江嘉兴ꢀ=(ꢈ2−ꢈꢁ2+(ꢈ−1)ꢁ−m(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．【答案】ꢈ=；(2)ꢈ≠且ꢈ≠．【分析】（）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（）解：依题意ꢈ2−ꢈ=0且ꢈ−1≠，所以ꢈ=；（2）解：依题意ꢈ2−ꢈ≠0，所以ꢈ≠且ꢈ≠．【变式3-223-24九年级上·广东江门阶段练习）已知关于ꢁ的二次函数ꢀ=(ꢂ2−1)ꢁ2+ꢁ−2ꢂ值范围是（Aꢂ≠1）Bꢂ≠−1Cꢂ≠±1D．为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得ꢂ2−1≠，解出答案即可．【详解】因为关于ꢁ的二次函数ꢀ=(ꢂ2−1)ꢁ2+ꢁ−2，∴ꢂ2−1≠，解得：ꢂ≠±1．故选：．【点睛】本题考查的是二次函数ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂ≠概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．【变式3-323-24九年级下·四川遂宁ꢀ=(ꢈ2-2)ꢁ2+(+2)求ꢈ的取值范围【答案】ꢈ≠√且ꢈ≠-√2【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式ꢈ2-2，解不等式即可求得．【详解】解：∵函数ꢀ=(ꢈ2-2)ꢁ2ꢈ2)ꢁ是二次函数，∴ꢈ2-2，解得ꢈ≠±√，故答案为：ꢈ≠√ꢈ≠-√．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．【题型4二次函数的一般形式】【例】（23-24九年级上四川南充·阶段练习）二次函数ꢀ=ꢁ2−3ꢁ+5的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】ꢁ2−35【分析】根据二次函数的定义判断即可。【详解】解：二次函数ꢀ=ꢁ2−3ꢁ+的二次项是ꢁ2，一次项系数是−，常数项是，故答案为：①ꢁ2，②−，③，ꢀ=ꢂꢁ2+ꢄꢁ+ꢅ(ꢂꢄꢅ是常数，ꢂ≠0)ꢁꢀꢂꢄꢅꢂꢄꢅ是常数项．【变式4-123-24九年级上·全国y=−4(1+2x)(x−3)化为一般形式为：【答案】y=−8x2+20x+12．【分析】先利用整式的乘法得到（x-3+2x2-6x），然后去括号合并即可得到二次函数的一般式．【详解】y=−4(1+2x)(x−3)=−4(x−3+2x−6x)=−8x2+20x+12，故答案为y=−8x+20x+12.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式.【变式4-2】（23-24九年级上·安徽六安阶段练习）二次函数ꢀ=(ꢁ−2)(5−2ꢁ的二次项系数是【答案】−2．【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可．【详解】解：ꢀ=(ꢁ−2)(5−2ꢁ)=5ꢁ−2ꢁ2+10+4ꢁ，=−ꢁ2++9ꢁ+10，∴二次项系数是−，故答案为：−．【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项．【变式4-3】（23-24九年级上·广东汕尾阶段练习）把y＝(3x-2)(x3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为．【答案】1【分析】先将其化为一般式，即可求出一次项系数和常数项，从而求出结论．【详解】解：y＝(3x-2)(x3)=3x＋7x-6∴一次项系数为7，常数项为-6∴一次项系数与常数项的和为＋（=1故答案为：1．【点睛】此题考查的是二次函数的一般式，掌握二次函数的一般形式是解题关键．【知识点2列二次函数关系式】(1)理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；(2)分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；(3)列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型5求二次函数的值】【例523-24九年级下·四川达州·ꢌ(cm3与温度ꢇ(°C)之间1的关系满足二次函数ꢌ=ꢇ2+104(ꢇ>0)，则当温度为4°C时，水的体积为cm3．8【答案】106【分析】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．将t=4代入解析式求值即可．1【详解】解：∵ꢌ=ꢇ2+104(ꢇ>0)，81当t=4°C时，ꢌ=×42+104=106(cm3，8∴水的体积为106cm3．故答案为：106【变式5-123-24九年级上·江苏盐城ꢀ(m)与开始刹车时的速度ꢁ(m/s)之间满1足二次函数ꢀ=ꢁ2ꢁ>0)，若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为m/s．16【答案】8【分析】将ꢀ=4代入即可求解．1【详解】解：令ꢀ=4，则4=ꢁ2，16解得：ꢁ=8（负值舍去）故答案为：8【点睛】本题考查了二次函数的应用，将ꢀ=代入是解题的关键．【变式5-223-24全国·20m/sh(m)与时间t(s)满足关系h=20t−5t2，当h=20m时，物体的运动时间为【答案】2s．【分析】分析知，高h=20m有两种情况，一是在上升过程某一时刻高为，或者是下降时高为h代入关系式即可分别得到时间．【详解】根据题意，把=20代入关系式得：20−52−20=0,即(2)2=0，解得=2，∴物体运动时间为2；故答案为2.【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征与物理运动问题的结合,进行准确的运算即可.【变式5-3】（23-24九年级上·安徽安庆阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高138度（米）与水平距离（米）之间的关系大致满足二次函数ꢀ=-ꢁ2+ꢁ+，则小朱本次投掷实心球的成1055绩为（）A7m【答案】C【分析】根据实心球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y时，求x的值即可．B．mC．mD8.5m138【详解】解：在ꢀ=-ꢁ2+ꢁ+中，令=0得：1055138ꢁ+ꢁ+=0，2-1055解得=-2（舍去）或x，∴小朱本次投掷实心球的成绩为8故选：．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．【题型6判断函数关系】【例】（23-24九年级上北京朝阳·期末）如图，矩形绿地的长和宽分别为30m和20m．若将该绿地的长、宽各增加ꢁꢀm2y与x之间的函数关系是次函数关系”或二次函数关系）“正比例函数关系”“一【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y与x之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得ꢀ=(30+ꢁ)(20+ꢁ)=ꢁ2+50ꢁ+600，∴y与x之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．y与x之间的函数关系式是解题的关键．【变式6-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴开学考试）下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（A．圆的周长与圆的半径之间的关系）B．三角形的高一定时，面积与底边长的关系C．在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系D．正方体的表面积与棱长的关系【答案】D【分析】根据二次函数，反比例函数、正比例函数的定义一一判断即可．【详解】解：A．圆的周长c与圆的半径r之间的关系是：ꢅ=2πꢍ，故他们之间的关系是正比例函数关系；1B．三角形的高hꢆ=ꢎℎ，故他们之间的关系是正比例函数关系；2C．在一定距离s内，故他们之间的关系是反比例函数关系；D．正方体的表面积Sa的关系：ꢆ=6ꢂ2，S和a是二次函数关系，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式6-223-24九年级上·浙江杭州y﹣yy与xy与2y与x1212的函数关系是（A．正比例函数C．二次函数【答案】C）B．一次函数D．以上均不正确【分析】设y＝k，ykx2，根据yy﹣y＝kxkx2，由此得到答案．11221212【详解】解：设y＝k，y＝kx2，1122则ykx﹣kx，12所以y是关于x的二次函数，故选：．【点睛】此题考查列函数关系式，正确理解正比例函数的定义是解题的关键．【变式6-3】（23-24九年级下·福建福州期末）如图，正方形ꢏꢐꢑꢒ⊙ꢓ的周长之和为ꢂ（ꢂ为常数）cm，设圆的半径为ꢁcmꢀcmꢆcm2ꢁ在一定范围内变化时，ꢀ和ꢆ都随ꢁ的变化而变化，则ꢀ与，Sꢁ满足的函数关系分别是（）A．二次函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系【答案】D11【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到ꢀ=−ꢔꢁ+ꢂꢆ=ꢆ正方形−ꢆ圆ꢆ=阴影24111ꢀ−ꢔꢁ=�ꢔ−ꢔ�ꢁ−ꢔꢂꢁ+ꢂ2，由此即可得到答案．22224416【详解】解：∵正方形ꢏꢐꢑꢒ和⊙ꢓ的周长之和为ꢂcm，圆的半径为ꢁcm，正方形的边长为ꢀcm，∴4ꢀ+2ꢔꢁ=ꢂ，11∴ꢀ=−ꢔꢁ+ꢂ，24∵ꢆ=ꢆ正方形−ꢆ圆，211111∴ꢆ=ꢀ2−ꢔꢁ2=�−ꢔꢁ+ꢂ�−ꢔꢁ2=�ꢔ2−ꢔ�ꢁ2−ꢔꢂꢁ+ꢂ2，244416∴y与xS与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选：D．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．【题型7列二次函数关系式(几何图形】【例23-24九年级上全国·∠ꢏ=90°ꢏꢐ=ꢏꢑꢐꢑ=ꢕꢖꢗꢘ△ꢏꢐꢑ的内接矩形，如果ꢕꢖ的长为ꢁ，矩形ꢕꢖꢗꢘ的面积为ꢀ，则ꢀ与ꢁ的函数关系式为．1【答案】ꢀ=−ꢁ2+10ꢁ2【分析】根据题意可得△ꢐꢕꢘ，△ꢑꢖꢗ是等腰直角三角形，得出ꢐꢘ=ꢕꢘ=ꢑꢗ=ꢗꢖ，进而根据矩形的面积即可求解．【详解】∵∠ꢏ=，ꢏꢐ=ꢏꢑ，∴∠ꢐ=∠ꢑ=45°．∵四边形ꢕꢖꢗꢘ是△ꢏꢐꢑ的内接矩形，∴∠ꢕꢘꢐ=∠ꢖꢗꢑ=90°，ꢕꢘ=ꢖꢗꢕꢖ=ꢘꢗ，∴∠ꢐꢕꢘ=∠ꢑꢖꢗ=，∴ꢐꢘ=ꢕꢘ=ꢑꢗ=ꢗꢖ．∵ꢐꢑ=20，ꢕꢖ=ꢁ，∴ꢐꢑ−ꢘꢗ=ꢐꢑ−ꢕꢖ=20−ꢁ，11∴ꢐꢘ=ꢕꢘ=ꢑꢗ=ꢗꢖ=(ꢐꢑ−ꢘꢗ)=10−ꢁ，22112．∴ꢀ=ꢁ�10−ꢁ�=−ꢁ+10ꢁ221故答案为：ꢀ=−ꢁ2+10ꢁ．2【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．【变式7-1】（23-24九年级下·辽宁本溪期中）已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加ꢁcm时，正方体的表面积增加ꢀcm2y与x之间的函数关系式是（）Aꢀ=6ꢁ2−36ꢁCꢀ=ꢁ2+36ꢁBꢀ=−6ꢁ2+36ꢁDꢀ=6ꢁ2+36ꢁ【答案】D【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意直接列式即可作答．【详解】根据题意有：ꢀ=6(ꢁ+3)2−6×32=6ꢁ2+36ꢁ，故选：D．【变式7-223-24九年级上·山西太原26cm，宽22cm，相框边的宽为ꢁꢙcm，相框内的面积是ꢀꢙcm2y与x之间的函数关系式为．【答案】ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572(0<ꢁ<11)【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出ꢁ的取值范围即可．【详解】解：根据题意，得ꢀ=(26−2ꢁ)(22−2ꢁ)展开得：ꢀ=572−52ꢁ−44ꢁ+4ꢁ2整理得：ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572根据题意，得ꢁ>0�26−2ꢁ>0;22−2ꢁ>0解得：0<ꢁ<11．∴y与x之间的函数关系式为ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572(0<ꢁ<11)，故答案为：ꢀ=4ꢁ2−96ꢁ+572(0<ꢁ<11)【变式7-323-24九年级上·广东东莞ꢚꢇ△ꢏꢐꢓꢏꢐ⊥ꢓꢐꢏꢐ=ꢓꢐ=3，设直线ꢁ=ꢇ截此三角形所得的阴影部分的面积为ꢆ，则ꢆ与ꢇ之间的函数关系式为（）11Aꢆ=ꢇ【答案】BBꢆ=ꢇ2Cꢆ=ꢇ2Dꢆ=ꢇ2−122【分析】ꢚꢇ△ꢏꢐꢓ中，ꢏꢐ⊥ꢓꢐꢏꢐ=ꢓꢐ=3∠ꢏꢓꢐ=∠ꢏ=45°∠ꢓꢑꢒ=∠ꢏ=45°，即∠ꢑꢓꢒ=∠ꢓꢑꢒ=45°，进而证明ꢑꢒ=ꢓꢒ=ꢇ，最后根据三角形的面积公式，求出ꢆꢇ之间的函数关系式．【详解】解：如图所示，∵ꢚꢇ△ꢏꢐꢓ中，ꢏꢐ⊥ꢓꢐ，且ꢏꢐ=ꢓꢐ=3，∴∠ꢏꢓꢐ=∠ꢏ=45°，∵ꢑꢒ⊥ꢓꢐ，∴ꢑꢒ∥ꢏꢐ，∴∠ꢓꢑꢒ=∠ꢏ=45°，∴∠ꢑꢓꢒ=∠ꢓꢑꢒ=45°，∴ꢑꢒ=ꢓꢒ=ꢇ，1∴△ꢛꢜꢝ=ꢓꢒ×ꢑꢒ212(0<ꢇ≤3)，=ꢇ21即：ꢆ=ꢇ2<ꢇ≤．2故选：．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．【题型8列二次函数关系式(增长率)】【例】（23-24九年级上四川自贡·期末）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（）Aꢀ=4000(1−ꢁ)Cꢀ=8000(1−ꢁ)Bꢀ=4000(1−ꢁ2Dꢀ=8000(1−ꢁ)2【答案】B【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（1每次降价的百分率）2，列出函数关系式，即可求解．【详解】解：∵每次降价的百分率都是x，∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是ꢀ=4000(1−ꢁ)2．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式8-123-24九年级上·安徽合肥2023年第一季度ꢗꢒꢞ总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度ꢗꢒꢞ总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为xyx的函数表达式是（Aꢀ=2.6(1+2ꢁ)Cꢀ=2.6(1+ꢁ)2）Bꢀ=2.6(1−ꢁ2Dꢀ=2.6+2.6(1+ꢁ)+2.6(1+ꢁ)2【答案】C【分析】第二季度ꢗꢒꢞ总值为2.6(1+ꢁ，第三季度为2.6(1+ꢁ)2，得解；【详解】解：第三季度ꢗꢒꢞ总值为ꢀ=2.6(1+ꢁ)(1+ꢁ)=2.6(1+ꢁ)2；故选：C【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．【变式8-2】（23-24九年级上·安徽蚌埠阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为ꢀ元，设平均每次降价的百分率是ꢁ，则ꢀ关于ꢁ的函数表达式为．【答案】ꢀ=16ꢁ2−32ꢁ+16【分析】根据增长率问题列出函数解析式即可．16元降为ꢀꢁꢀ关于ꢁ的函数表达式为：ꢀ=16(1−ꢁ)2=16ꢁ2−32ꢁ+16，即ꢀ=16ꢁ2−32ꢁ+16．故答案为：ꢀ=16ꢁ2−32ꢁ+16．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【变式8-3】（23-24九年级上·全国阶段练习）某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为xy与x的函数解析式【答案】ꢀ=2ꢁ2+6ꢁ+4．【分析】由已知可得今年投资是（+1）万元，明年投资是21+）2万元；故y=2（+1）+2（1+）2．【详解】解：依题意可得=2x+1+21+）22ꢁ2+6ꢁ+4故答案为2ꢁ2+6ꢁ+．【点睛】本题考核知识点：列二次函数，解题关键点：理解题意列出函数关系式．【题型9列二次函数关系式(循环】【例】（23-24九年级上辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为mmn的函数解析式为．11【答案】ꢈ=ꢟ2−ꢟ22【分析】根据n个球队都要与除自己之外的(ꢟ−球队个打一场，因此要打ꢟ(ꢟ−1)场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．ꢠ(ꢠ−1)11【详解】解：根据题意，得ꢈ==ꢟ2−ꢟ，22211故答案为：m=n2−n．22【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．【变式9-1】（23-24九年级上·全国单元测试）寒假九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为（）111Am=n(n+1)Bm=n(n−1)Cm=n2Dm=n(n−1)222【答案】Dnn-1信息，进而得出总次即可．【详解】∵九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，∴互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为：m=n(n−1).故答案选：D.【点睛】本题考查了二次函数关系式，解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式.【变式9-2】（23-24九年级上·山东德州阶段练习）有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了xy与x之间的函数关系式为【答案】y=x2+2x+1.【详解】试题解析：第一轮流感后的人数为1+ꢁ,第二轮流感后的人数为1+ꢁ+ꢁ(ꢁ+1)=ꢁ2+2ꢁ+1.∴ꢀ=ꢁ2+2ꢁ+1.ꢀ与ꢁ之间的函数关系式为ꢀ=ꢁ2+2ꢁ+1.故答案为ꢀ=ꢁ2+2ꢁ+1.【变式9-3】（23-24九年级上·甘肃定西阶段练习）篮球联赛中，每两个球队之间进行两场比赛，设有x个球队参赛计划共打yy与x之间的函数关系为【答案】ꢀ=ꢁ2−ꢁ．【分析】根据题意找到比赛场数与球队数量的关系即可．【详解】解：每个球队和剩下的(ꢁ−1)个球队比赛，每两个球队之间进行两场比赛，∴ꢀ=ꢁ(ꢁ−1)=ꢁ2−ꢁ．故答案为：ꢀ=ꢁ2−ꢁ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是求解本题的关键．【题型10列二次函数关系式(销售】【例】（23-24九年级上广东广州·期末）某商店购进某种商品的价格是7.5元件，在一段时间里，单价是1