与圆有关的最值问题教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

与圆有关的最值问题教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课选自2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册，第四章“圆、方程与方程组”的4.3节“与圆有关的最值问题”。教学内容主要包括：

1.探索圆上一点到圆外一点的最短距离和最长距离问题；

2.探究圆与直线、圆与圆之间的最值问题，如圆上的点到直线距离的最大值、两圆相切时圆心距的最小值等；

3.利用代数方法解决与圆有关的最值问题，如运用函数思想、不等式等方法。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升直观想象和逻辑推理素养。通过探究与圆有关的最值问题，使学生能够：

1.理解数学模型在实际问题中的应用，提高数学抽象和数学建模的能力；

2.培养学生运用几何直观和空间想象能力，发现圆的性质及其与最值之间的关系；

3.培养逻辑推理能力，使学生能够运用代数方法合理解决问题，形成严密的数学思维。学习者分析1.学生已经掌握了圆的标准方程、圆的一般方程以及圆的性质等基础知识，能够运用这些知识解决一些基本的几何问题。

2.学生对数学有一定的学习兴趣，具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力。在解决问题的过程中，学生喜欢采用直观和探索的方式，但部分学生在面对复杂问题时可能会显得信心不足。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：将实际问题抽象成数学模型的能力不足，对于与圆有关的最值问题的解题策略和方法掌握不够熟练；在运用代数方法解决问题时，可能会出现运算错误或逻辑混乱等问题。此外，部分学生可能在团队协作中缺乏主动性和沟通能力。教学资源1.硬件资源：多媒体教学设备、黑板、圆规、直尺、计算器。

2.软件资源：PPT课件、数学软件（如GeoGebra）、网络教学平台。

3.信息化资源：电子教材、教学视频、数学题库、在线测评系统。

4.教学手段：讲授、小组讨论、案例分析、数学实验、课后作业、线上互动。教学过程课前准备：

同学们，我们已经学习了圆的相关知识，今天我们将探讨与圆有关的最值问题。请大家在上课前准备好教材、笔记本和计算器，确保我们能够高效地进行课堂学习。

一、导入新课

上课开始，我们先来看一个实际问题：在平面直角坐标系中，有一个半径为1的圆，圆心在原点O(0,0)。现在有一个点A在圆外，坐标为(2,0)，我们需要找到圆上离点A最近的点和最远的点。

【提问】同学们，你们认为这个问题该如何解决呢？

二、课堂探究

1.探索圆上一点到圆外一点的最短距离和最长距离问题

【活动】请大家分组讨论，尝试用已经学过的知识来解决这个问题。

【讲解】经过讨论，我们发现，圆上离点A最近的点B和最远的点C，分别位于圆心O到点A的连线上。这是因为，对于圆上任意一点P，其到点A的距离|AP|是由圆心O到点A的距离|OA|和线段OP的长度共同决定的。

【总结】因此，我们可以得出结论：圆上离圆外一点A最近的点在圆心O到点A的连线上，最远的点也在该连线上。

2.探究圆与直线、圆与圆之间的最值问题

【例题】请大家尝试解决以下问题：

(1)在平面上，有一个半径为r的圆，圆心在原点O(0,0)，求圆上的点到直线y=kx+1的距离的最大值。

(2)两个半径分别为R和r的圆相切，求它们的圆心距的最小值。

【讲解】解决这些问题，我们需要运用到圆的方程、点到直线的距离公式以及两圆相切的性质。

(1)首先，设圆上任意一点P(x,y)，则点P到直线y=kx+1的距离为：d=|kx-y+1|/√(1+k^2)。

因为点P在圆上，所以有x^2+y^2=r^2。通过代换和求导，我们可以得到d的最大值。

(2)对于两圆相切的问题，当两圆外切时，圆心距为R+r；内切时，圆心距为R-r。

【总结】通过以上探究，我们学会了如何利用代数方法解决与圆有关的最值问题。

三、巩固练习

现在，请同学们尝试完成教材上的练习题，检验一下自己对本节课知识的掌握。

【练习】

1.求圆x^2+y^2=4上离点A(3,0)最近的点和最远的点。

2.求圆x^2+y^2=9上的点到直线y=2x+1的距离的最大值。

四、课堂小结

【学生回答】

1.圆上一点到圆外一点的最短距离和最长距离问题。

2.圆与直线、圆与圆之间的最值问题。

很好，希望大家能够在课后继续巩固这些知识，并运用到实际问题中。

五、课后作业

请同学们完成以下作业：

1.教材课后习题第1、2题。

2.结合本节课所学的知识，尝试解决以下实际问题：在一个圆形花坛中，如何确定一条从花坛边缘到中心喷泉的最短路径？

六、课堂反馈

最后，请同学们填写课堂反馈表，以便我了解大家对本节课的掌握程度，及时调整教学方法，提高教学效果。

同学们，今天的课就到这里，希望大家能够将所学的知识运用到实际中，不断提高自己的数学素养。下节课，我们将继续探讨与圆有关的其他问题。下课后，有问题的同学可以随时找我讨论。谢谢大家！知识点梳理1.圆的标准方程与一般方程

-圆的标准方程：x²+y²=r²

-圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0

2.圆的性质

-圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径。

-圆的切线垂直于过切点的半径。

-圆的直径所对的圆周角是直角。

3.点到直线的距离公式

-点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离公式：d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)

4.与圆有关的最值问题

-圆上一点到圆外一点的最短距离和最长距离问题。

-圆上的点到直线的距离的最大值问题。

-两圆相切时圆心距的最小值问题。

5.解决最值问题的方法

-几何方法：利用圆的性质和直观几何图形分析最值。

-代数方法：通过建立数学模型，运用函数思想、不等式等方法求解最值。

6.实际问题的数学建模

-将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。

-运用所学知识解决数学模型，得到实际问题的解答。

7.数学软件的应用

-使用数学软件（如GeoGebra）辅助教学，直观展示圆的性质和最值问题。

-利用数学软件进行实际问题的模拟和求解。内容逻辑关系①重点知识点

-与圆有关的最值问题的类型及解决方法。

-点到直线的距离公式的应用。

-圆的方程和性质的运用。

-实际问题抽象为数学模型的过程。

②关键词

-最值问题

-圆的方程

-点到直线的距离

-几何性质

-数学建模

③重点句子

-圆上一点到圆外一点的最短距离和最长距离问题可以通过分析圆心到该点的连线来解决。

-圆上的点到直线的距离的最大值可以通过建立函数模型并求导数来求解。

-两圆相切时，圆心距的最小值等于两圆半径之差。

板书设计：

1.与圆有关的最值问题

-最短距离和最长距离

-点到直线距离的最大值

-两圆相切时的圆心距最小值

2.解决方法

-几何方法

-代数方法（函数、导数、不等式）

3.数学模型

-点到直线距离公式：d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)

-圆的方程：x²+y²=r²

4.实际问题抽象

-分析问题

-建立模型

-求解答案课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了与圆有关的最值问题，重点掌握了以下知识点：

1.圆上一点到圆外一点的最短距离和最长距离问题及其解决方法。

2.圆上的点到直线的距离的最大值问题及代数求解方法。

3.两圆相切时圆心距的最小值问题。

4.实际问题的数学建模过程。

当堂检测：

为了检验大家对这节课知识的掌握，请完成以下检测题目：

一、选择题

1.下列关于圆的说法，正确的是（）

A.圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径

B.圆的切线与半径垂直

C.圆的直径所对的圆周角是直角

D.所有选项都正确

2.求圆x²+y²=4上离点A(3,0)最近的点和最远的点，正确答案是（）

A.(2,0)和(4,0)

B.(2,√5)和(2,-√5)

C.(3,√5)和(3,-√5)

D.(3,2)和(3,-2)

二、填空题

3.圆x²+y²=9上的点到直线y=2x+1的距离的最大值是______。

4.两个半径分别为R和r的圆相切，它们的圆心距的最小值是______。

三、解答题

5.求解圆x²+y²=4上的点到直线x+y-3=0的距离的最大值。

6.在平面直角坐标系中，有一个半径为1的圆，圆心在原点O(0,0)，点A在圆外，坐标为(2,0)。求圆上离点A最近的点和最远的点。

请大家认真完成检测题目，并在下课前提交。希望通过检测，大家能够巩固所学知识，提高自己的解题能力。下节课，我们将针对检测结果进行讲解和分析。谢谢大家！教学反思与总结在本次教学过程中，我采用了讲授与探究相结合的方法，引导学生通过小组讨论和案例分析来探索与圆有关的最值问题。从整个教学过程来看，我觉得在以下几方面做得不错：

1.教学方法：通过实际问题引入，激发学生的兴趣，使他们更容易投入到学习中。同时，结合数学软件（如GeoGebra）进行直观演示，有助于学生理解和掌握圆的性质及最值问题。

2.教学策略：在讲解过程中，注重引导学生主动思考，培养学生的逻辑推理和空间想象能力。通过设置不同难度的例题和练习，使学生在逐步解决问题的过程中，掌握与圆有关的最值问题的解题方法。

然而，在教学过程中，我也发现了一些不足之处：

1.部分学生对圆的性质和方程掌握不够熟练，导致在解决最值问题时遇到困难。在今后的教学中，我需要加强对这些基础知识点的巩固。

2.在小组讨论环节，部分学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够了解，或者缺乏团队合作意识。为了提高学生的参与度，我可以在分组时更加注意学生之间的搭配，同时加强对学生的引导和鼓励。

教学总结：

1.学生在知识方面：通过本节课的学习，大部分学生能够掌握与圆有关的最值问题的类型及解决方法，对圆的方程和性质有了更深入的理解。

2.技能方面：学生的空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力得到了锻炼和提高。

3.情感态度方面：学生对数学学习的兴趣有所提高，团队合作意识和解决问题的自信心也得到了增强。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.在教学过程中，注重学生对基础知识的巩固，特别是圆的方程和性质。

2.加强对学生参与小组讨论的引导和鼓励，提高他们的团队合作意识。

3.增加课堂互动，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略。

4.设计更具挑战性和实用性的课后作业，让学生在课后能够进一步巩固所学知识。典型例题讲解例题1：

已知圆C的方程为x²+y²=4，点A坐标为(3,0)，求圆上离点A最近的点和最远的点。

解答：

圆心C坐标为(0,0)，半径为2。圆上离点A最近的点B位于AC上，最远的点D位于延长线AC上。

由于|AC|=3，所以|AB|=|AC|-|BC|=3-2=1，|AD|=|AC|+|CD|=3+2=5。

因此，点B坐标为(3-1,0)即(2,0)，点D坐标为(3+2,0)即(5,0)。

例题2：

求圆x²+y²=9上的点到直线y=2x+1的距离的最大值。

解答：

设圆上任意一点P(x,y)，则点P到直线y=2x+1的距离为：d=|2x-y+1|/√(1+2²)=|2x-y+1|/√5。

因为点P在圆上，所以有x²+y²=9。

例题3：

两个半径分别为R和r的圆相切，求它们的圆心距的最小值。

解答：

当两圆外切时，圆心距为R+r；内切时，圆心距为R-r。

所以，圆心距的最小值为R-r。

例题4：

求解圆x²+y²=4上的点到直线x+y-3=0的距离的最大值。

解答：

设圆上任意一点P(x,y)，则点P到直线x+y-3=0的距离为：d=|x+y-3|/√(1²+1²)=