高中数学 1.2 第2课时 充要条件习题课练习 新人教A版选修1-1

【成才之路】-学年高中数学1.2第2课时充要条件习题课练习新人教A版选修1-1一、选择题1．设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[答案]A[解析]∵x>2⇒x>1，但x>1⇒/x>2，∴选A.2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝5 D．x＝0[答案]D[解析]本题考查了两向量垂直的坐标运算．∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，a⊥b，∴a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2＝2x＝0，即x＝0.a与b垂直和共线对应的坐标之间的关系不要混淆．[点评]即a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；a∥b＝x1y2－x2y1＝0.3．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3[答案]A[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b，∴a>b＋1是a>b的充分条件．又∵a>b⇒a－b>0⇒/a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要条件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．[点评]如a＝2＝b，满足a>b－1，但a>b不成立；又a＝－3，b＝－2时，a2>b2，但a>b不成立；a>b⇔a3>b3.故B、C、D选项都不对．4．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]先分别写出适合条件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．由已知可得x∈M或x∈P即x∈R，x∈M∩P即2<x<3，∴2<x<3⇒x∈R，但x∈R⇒/2<x<3，∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故应选B.5．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a6．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β[答案]C[解析]A选项中，有可能a⊂α，B，D选项中也有可能a⊂α，C选项中，∵α∥β，又a⊂β，∴a与α无公共点．∴a∥α，故选C.7．(·福建理，2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]本题考查了充要条件的判断．当a＝3时，A＝{1,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝2或a＝3，故为充分不必要条件．8．(·浙江文，2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.二、填空题9．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________条件．[答案]充分不必要[解析]圆心为(a，b)，半径r＝eq\r(2).若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有eq\f(|a－b＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．三、解答题10．求不等式(a2－3a＋2)x2＋(a－1)x[解析]讨论二次项系数：(1)由a2－3a＋2＝0，得a＝1或a当a＝1时，原不等式为2>0恒成立，∴a＝1适合．当a＝2时，原不等式为x＋2>0，即x>－2，它的解集不是R，∴a＝2不符合．(2)当a2－3aeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2>0,Δ＝a－12－8a2－3a＋2<0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1或a>2,a<1或a>\f(15,7)))，∴a<1或a>eq\f(15,7).综上可知，满足题意的充要条件是a的取值范围是a≤1或a>eq\f(15,7).一、选择题11．设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{anA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]若a1<a2<a3，则a1<a1q<a1q2，若a1>0，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0<q<1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，∴甲⇒丁且丁⇒/甲，故选B.13．(·北京理，3)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A.14．命题甲：“a、b、c成等差数列”，命题乙：“eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2”，则甲是乙的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]∵a＝b＝c＝0，则a、b、c也成等差数列，但推不出eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2；反过来由eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2⇒a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．综上所述，“a、b、c成等差数列”是“eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2”的必要不充分条件，故选A.[点评]要注意区分“A是B的充分条件”和“A是B的充分非必要条件”，若A⇒B，则A是B的充分条件，若A⇒B且B⇒/A，则A是B的充分非必要条件．二、填空题15．“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________条件．[答案]必要条件[解析]ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇒b2－4ac≥0⇒b2≥4ac⇒/反之，ac<0⇒b2－4ac>0⇒ax2＋bx＋c＝0(a所以“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要条件．16．命题p：|x|<a(a>0)，命题q：x2－x－6<0，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________，若p是q的必要条件，则a的取值范围是________．[答案]a≤2a≥3[解析]p：－a<x<a，q：－2<x<3，若p是q的充分条件，则(－a，a)⊆(－2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≥－2,a≤3))，∴a≤2，若p是q的必要条件，则(－2,3)⊆(－a，a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≤－2,a≥3))，∴a≥3.三、解答题17．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ax<0.[解析]充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac∴方程一定有两不等实根，设为x1、x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac<0)，∵方程有一正根和一负根，设为x1、x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0