威布尔分布课件

可靠性设计1.1概述1.2可靠性设计原理1.3零部件的可靠性设计1.4系统的可靠性设计可靠性设计1.1概述1.2可靠性设计原理1.3零部件的一．可靠性设计的发展1.1概述二．可靠性设计的基本概念三．可靠性设计的常用指标四．可靠性设计常用的分布函数一．可靠性设计的发展1.1概述二．可靠性设计的基本概念三．可一．可靠性设计的发展

可靠性设计是一种很重要的现代设计方法。

从50年代起，国外就兴起了可靠性技术的研究。在二次大战期间，美国的通讯设备、航空设备、水声设备部有相当数量发生失效而不能使用。因此，美国便开始研究电子元件和系统的可靠性问题。德国在二次大战中，由于研制v—1火箭的需要也开始进行可靠性工程的研究。1957年，美国发表了“军用电子设备可靠性”的重要报告，被公认为是可靠性的莫基文献。一．可靠性设计的发展可靠性设计是一种很重要的现

在60、70年代，随着航空航天事业的发展，可靠性问题的研究取得了长足的进展，引起了国际社会的普遍重视。许多国家相继成立了可靠性研究机构，对可靠性理论作了广泛的研究。

1990年，我国机械电子工业部印发的“加强机电产品设计工作的规定”中明确指出：可靠性、适应性、经济性三性统筹作为我国机电产品设计的原则，在新产品鉴定定型时，必须要有可靠性设计资料和试验报告，否则不能通过鉴定。现今，可靠性的观点和方法已经成为质量保证、安全性保证、产品责任预防等不可缺少的依据和手段，也是我国工程技术人员掌握现代设计方法所必需掌握的重要内容之一。在60、70年代，随着航空航天事业的发展，二．可靠性设计的基本概念

可靠性设计（ReliabilityDesign），机械可靠性设计作为一种新的设计方法只是常规设计方法的深化和发展，其主要特征就是将常规设计方法中所涉及到的设计变量不再看作定值，而是看成服从某种分布的随机变量，然后根据机械产品所要求的可靠性指标用概率统计的方法设计出零、部件的主要参数和结构尺寸。可靠性(Reliability)表示产品在规定的工作条件下和规定的时间内完成规定功能的能力其中包括四个基本要素：二．可靠性设计的基本概念可靠性设计（Relia1．研究对象可靠性研究的对象很广，可以是系统、机器、零件、部件、组件、材料等2．规定的条件包括运输条件、储存条件和使用时的环境条件。如载荷、温度、压力、湿度、振动、润滑、含尘量、腐蚀、噪声等等。此外，使用方法、维修方法、操作人员的技术水平等对设备或系统的可靠性也方很大影响。值得说明的是，任何产品如果误用或滥用都可能引起损坏。因此，在使用说明书中应当对使用条件加以规定，这是判断发生故障的责任在于用户还是在于生产厂家的关键。1．研究对象3．规定的时间这里所说的时间是广义的，可以是距离、周期(小时)、循环次数、转数等相当于时间的量。可靠性是时间性的质量指标，产品只能在一定的时间范围内达到可靠性指标，不可能永远保持目标可靠性而不降低。因此，对时间的规定一定要明确。4．规定的功能指产品的功能参数指标，如精度、效率、强度、稳定性等。不同的产品具有不同的功能，对不同的产品应明确规定达到什么指标才合格，反之，就要明确规定产品处于什么情况或状态下是失效。3．规定的时间

机械可靠性设计作为一种新的设计方法只是常规设计方法的深化和发展，其主要特征就是将常规设计方法中所涉及到的设计变量不再看作定值，而是看成服从某种分布的随机变量，然后根据机械产品所要求的可靠性指标，用概率统计的方法设计出零、部件的主要参数和结构尺寸。机械可靠性设计作为一种新的设计方法只是常规设计方法的三．可靠性设计的常用指标1．概率指标2．寿命指标1．概率指标可靠性设计的常用指标1)可靠度(Reliability)：表示产品在规定的工作条件下和规定的时间内完成规定功能的概率。一般情况下，产品的可靠度是时间的函数，用R(t)表示，称为可靠度函数。可靠度是累积分布函数，它表示在规定的时间内圆满工作的产品占全部工作产品累积起来的百分比。三．可靠性设计的常用指标1．概率指标2．寿命指标1．概率指标

设有N个相同的产品在相同的条件下工作，到任一给定的工作时间t时，累积有小个产品失效，剩下个产品仍能正常工作。那么，该产品到时间t的可靠度为因为所以设有N个相同的产品在相同的条件下工作，到任一2)不可靠度或失效概率：指在规定的条件下和规定的时间内，产品功能失效的概率。一般情况下，产品的失效概率也是时间的函数，用表示，称为失效概率函数。根据概率互补定理，有

2)不可靠度或失效概率：指在规定的条件下和规定的时间内，产品3)失效概率密度函数：指单位时间内的失效概率，用表示，说明失效概率密度函数曲线下的总面积为1。

3)失效概率密度函数：指单位时间内的失效概率，用表示，说明失对任意时间t，失效概率

表示左侧阴影线的面积

又因为，故R(t)为右侧无阴影线的面积。

对任意时间t，失效概率表示左侧阴影线的面积又因为，故R(4)失效率或故障率概念：表示产品工作到某一时刻后，在单位时间内发生故障的概率，用λ(t)表示。当时，

4)失效率或故障率当时，失效率曲线：人们对产品失效的规律己经进行了相当长时间的研究，从大量资料来看，一般产品的失效规律用失效率函数λ(t)来描述是一条曲线，如图3—2所示。---规定的失效率；时期I：称为早期失效期；时期Ⅱ：称为偶然失效期；时期Ⅲ：称为耗损失效期，亦称为老化期。—开始老化年龄。失效率曲线：人们对产品失效的规律己经进行了相当长时间的研究，2．寿命指标

除了用概率函数衡量可靠性之外，还可以用时间来度量可靠性，这就是可靠性的寿命指标。1)失效前平均时间(MTTF—MeanTimeToFailure)：

指发生故障就不能修复的产品从开始使用到失效的平均时间，其数学表达式为因为t=0时，R(t)＝1;t=∞时，R(t)=0;所以上式第一项为0，则有2．寿命指标除了用概率函数衡量可靠性之外，还可在工程中的使用寿命期内，失效率近似为常数，则在工程中的使用寿命期内，失效率近似为常数，则2)平均故障间隔(MTBF—MeanTimeBetween

Failure)：

指对修复产品相邻两次故障间的平均时间。在使用寿命期内，MTBF＝MTTF。2)平均故障间隔(MTBF—MeanTimeBetwee四．可靠性设计常用的分布函数1．二项分布对二项分布，事件发生r次的概率f(r)为事件发生次数不超过c的累积概率F(c)为式中p－事件发生的概率；

q－事件不发生的概率，q=1-p；

n事件总数；

r－事件实际发生次数；

c－事件允许发生(或要求发生)的次数。四．可靠性设计常用的分布函数1．二项分布事件发生次数不超过c二项分布的均值取E(r)和方差V(r)分别为;，。

二项分布的均值取E(r)和方差V(r)分别为;。例3—1某车间有10台7．5kw的机床，如果每台机床使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min，问全部机床用电超过48kw的可能性是多少?

解：首先分析出用电超过48kw的各种情况。

当10台机床全部开动时，

用电量为10×7.5kw＝75kw>48kw；

当9台机床全部开动时，

用电量为9×7.5kw＝67.5kw>48kw；

当8台机床开动时，

用电量为8×7.5kw＝60kw>48kw；当7台机床开动时，

用电量为7×7.5kw＝52.5kw>48kw；

而当开动的机床数少于7台时，用电量均不足48kw。例3—1某车间有10台7．5kw的机床，如果每台机床使用

因此，所求的概率值为有10、9、8、7台机床开动时的累积概率。

由于在任意时刻，各个机床都有“开、停”两种状态，所以服从二项分布。

用p表示“开”，所以用q表示“停”，所以可以计算出因此，所求的概率值为有10、9、8、7台机床开威布尔分布课件因此，用电超过48kw的可能性(即概率)为即在1157分钟内大约有一分钟用电超过48kW。因此，用电超过48kw的可能性(即概率)为即在1157分钟内2．泊松分布使用二项分布时，如果p很小（p≤0.1），而n很大(n≥50)，那么，计算比较麻烦，这时可用泊松分布来近似求解。对泊松分布，有式中m－事件发生次数的平均值

r－事件实际发生次数泊松分布的均值和方差分别为

2．泊松分布式中m－事件发生次数的平均值例3—2某系统的平均无故障工作时间T=1000h，在1500h的任务期内需要用备件更换，现只有3个备件。问能达到的可靠度是多少?解：平均无故障时间即为仍MTBF=1000h在1500h的任务期内，零件失效数的均值为m=λT＝0.001×1500k=l.5例3—2某系统的平均无故障工作时间T=1000h，在15

根据题意，当系统中有3个以上零件失效时均可保证系统正常工作。因此，所求的可靠度即为无零件失效、有1个零件失效、有2个零件失效、有3个零件失效的累积概率。即可靠度为0.9344。二项分布和泊松分布都属于离散型分布。根据题意，当系统中有3个以上零件失效时均可保证3．正态分布正态分布是最常用的—种概率分布形式。一般来说，有很多微小的独立的随机因素而每种因素都不起决定作用时，其作用的总效果可认为是服从正态分布。实际上，影响因素n≥5~6时就近似于正态分布。对正态分布，有式中μ—正态分布的均值；

s—正态分布的标准离差。3．正态分布式中μ—正态分布的均值；

正态分布有对称性，它的主要参数就是均值μ和标准离差s(或方差s2)。均值决定正态分布曲线的位置，μ越大，曲线离纵坐标越远；标准离差s决定正态分布曲线的形状，表征分布的离散程度，s越大，曲线越宽，表示离散性越大，正态分布有对称性，它的主要参数就是均值μ和标准

正态分布的均值μ和方差s2的估计值可以根据样本数据按下式计算若令

则此即为标准正态分布，其中z称为标准正态变量。正态分布的均值μ和方差s2的估计值可以根据样本例3—3有1000个零件，己知其失效时间服从正态分布，均值μ＝500h，标难离差s＝40h。求：A)t=400h时的可靠度、失效概率和失效数；

B)在400~600h之间的失效数；

C)经过多少小时后会有20％的零件失效?解：A)标难正态变量

例3—3有1000个零件，己知其失效时间服从正态分布，均由正态分布的特点可知：F(z＝-2.5)＝1-F(z＝2.5)而失效概率F与可靠度R又存在互补关系，即F(z＝-2.5)＝1-R(z=-2.5)查附表得R(t＝400)＝R(z＝-2.5)＝F(z=2.5)＝0.9938失效概率F(t=400)＝1-R(t＝400)＝1-0.9938＝0.0062失效数r=1000×0.0062＝6.2(个)≈6(个)。B)t＝600h时，标准正态变量查附表得失效概率F(t=600)=0.9938失效数r=1000×0.9938＝994(个)∴在t=400~600h之间的失效数为994-6＝988(个)由正态分布的特点可知：F(z＝-2.5)＝1-F(z＝2.5C)失效概率F=20％=0.2，在附表中查不到对应的标准正态变量的值，可利用关系得到：

F(z)＝1-F(-z)，∴F(-z)=1-F(z)=1-0.2=0.8。查附表得：-z=0.84，∴z=-0.84，代入，得∴t=500-40×0.8=466.4(h)即经过466.4h后，会有20％的零件失效。C)失效概率F=20％=0.2，在附表中查不到对应的标准正4．对数正态分布如果随机变量t的对数x＝lnt服从正态分布，那么就称t服从对数正态分布，对数正态分布的概率密度函数f(t)和累积概率分布函数F(t)为式中μ1一对数平均值，

s1一对数标准离差，。4．对数正态分布式中μ1一对数平均值，s1一对数标准

对数正态分布很早就用于疲劳试验，是材料或零件寿命分布的一种主要分布模型，常用来描述圆柱螺旋弹簧、轴向变载螺栓、齿轮的接触疲劳及弯曲疲劳、轴及钢材、合金结构材料等的疲劳寿命。

对数正态分布是偏态分布，而且是单峰的。其概率密度曲线的形状见图3—4。对数正态分布很早就用于疲劳试验，是材料或零件寿

对数正态分布的数据处理要比正态分布复杂，实际应用中往往先将各个数据取对数后按正态分布进行处理。对数正态分布变量为例3—4某厂为用户生产d=5mm的弹簧钢丝，要求钢丝剪切极限即簧经受106应力循环次数后立即更换。根据以往试验得知，该弹簧在稳定应力条件下的疲劳寿命服从对数正态分布，μ1＝14.1376，s1=0.23823。试求在更换弹簧之前的失效概率是多少?如果保证R=0.99，求更换时的循环次数是多少?。在工作应力条件下，弹对数正态分布的数据处理要比正态分布复杂，实际应用中往解：A.先计算弹簧在从106循环次数之前的失效概率。查表得更换弹簧前的失效概率为F(N≤106)=Φ(-1.3520)=0.08851B.计算可靠寿命R(t)=0.99时的循环次数NF(z)=1-R(t)=1-0.99=0.01，查表得z=-2.32635，则解得循环次数N＝0.79×106。解：A.先计算弹簧在从106循环次数之前的失效概率。查表得更5．威布尔分布(Welbun分命)

威布尔分布是瑞典物理学家W.Weibull为解释疲劳试验结果而建立的。他在分析材料的强度时，将材科的每一个缺陷视作链条中的一环，那么链条的寿命就取决于链条中最弱的环节。这种串联强度模型(或最弱环节模型)能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响。威布尔分布适应性广，可以拟和各种类型的试验数据，特别是各种寿命试验。因此，在可靠性设计中占有重要地位。威布尔分布的概率密度因数f(t)和累积概率分布函数F(t)为5．威布尔分布(Welbun分命)威布尔分布的概率密度因数f或上式中有三个参数：β、γ、η，下面分别说明其意义。或上式中有三个参数：β、γ、η，下面分别说明其意义。β－形状参数。它决定分布密度函数曲线的形状，随着β取值的变化，f(t)曲线大致可以分为三类：

1)β＜1时，f(t)曲线以t=γ为渐近线，失效率λ(t)为递减函数，可以用来描述产品的造期失效期，见图3—5。

2)β＝１时，f(t)是指数分布曲线，失效率λ(t)为常数，可以用来描述产品的偶然失效期。

3)β>1时，f(t)是单峰曲线，2.7<β<3.7为近似正态分布(β=3.313时则为正态分布)，失效率是递增函数，可以用来描述产品的耗损失效期。β－形状参数。它决定分布密度函数曲线的形状，随威布尔分布课件γ－位置参数。它表示产品在γ之前具有100％的存活率(即可靠度)。在其它参数不变的情况下，γ的变化只会使众f(t)曲线产生平移，而并不影响威布尔分布曲线的形状，见图3—6。γ－位置参数。它表示产品在γ之前具有100％的存活率(η－尺度参数(或特征寿命)。当其它参数不变时，η的变化将使分布曲线沿横坐标伸长或缩短，而分布曲线的形状相似，且分布曲线在该坐标的起点不变，见图3—7。η－尺度参数(或特征寿命)。当其它参数不变时，η的变化将使分威布尔分布的均值和标准离差为式中－伽玛函数，可查表。威布尔分布的均值和标准离差为式中－伽玛函数，可查表。6．指数分布指数分布可以作为威市尔分布的特例，即β＝1，γ＝０。习惯上取时间t作为随机变量。指数分布可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型。一般情况下，它不能作为机械零件功能参数的分布形式，但在部件或机器的整机试验中得到广泛应用，6．指数分布指数分布的概率密度函数f(t)及累积概率函数F(t)分别为

或

指数分布的均值和标准离差为指数分布的概率密度函数f(t)及累积概率函数F(t)分别为例3—5某设备在5000h的运转记录中发生过两次偶然性故障。已知设备的失效时间服从指数分布。试求设备运转500h和1000h时的可靠度各是多少？解：根据题意，平均无故障工作时间为∴平均失效率

例3—5某设备在5000h的运转记录中发生过两次偶然性故可靠度可靠度1.2可靠性设计原理一．应力一强度干涉模型及可靠度计算二、零部件参数漂移的可靠性分析1.2可靠性设计原理一．应力一强度干涉模型及可靠度计算二、一．应力一强度干涉模型及可靠度计算1．应力一强度分布的平面干涉模型

一般而言，施加于产品上的物理量，如应力、压力、温度、湿度、冲击等导致失效的任何因素统称为产品所受的应力，用σ表示；而产品能够承受这种应力的程度，即阻止失效发生的任何因素统称为产品的强度，用δ表示。一般情况下，应力和强度是相互独立的随机变量。一．应力一强度干涉模型及可靠度计算1．应力一强度分布的平面干

令应力和强度的概率密度函数分别为发f(σ)和g(δ)，而在机械设计中应力和强度具有相同的量纲，因此可以把f(σ)和g(δ)表示在同一个坐标系中。

由统计分布函数的性质可知，机械工程中几种常用的分布函数的概率密度曲线都是以横坐标为渐近线的，这样绘于同—坐标系中的两概率密度曲线f(σ)和g(δ)必定有相交的区域，这个区域表示产品可能发生失效，称为干涉区：而这个图则称为应力一强度分布的平面干涉模型，如图3—8所示。令应力和强度的概率密度函数分别为发f(σ)和g(δ威布尔分布课件

平面干涉模型揭示了概率设计的本质。由干涉模型可以看到，就统计数学的观点而言，任何一个设计都存在着失效的可能，即可靠度总是小于1的。而我们能够做到的仅仅是将失效概率限制在一个可以接受的限度之内。这个观点在常规设计的安全系数法中是不明确的。

因为根据安全系数进行的设计不存在失效的可能性。因此，可靠性设计比常规设计要客观得多，因而应用也广泛得多。

平面干涉模型揭示了概率设计的本质。由干涉模型可以看2．可靠度的确定方法

从干涉模型可以看到，要确定可靠度或失效概率必需研究一个随机变量超过另一个随机变量的概率。现把图3－8中的干涉区部分放大加以研究，如图3－9所示。2．可靠度的确定方法从干涉模型可以看到，要确

曲线1为应力分布的右尾，曲线2为强度分布的左尾。现假设失效控制应力为σ１，那么当强度δ大于σ１时就不会发生破坏，而可靠度就是强度大于失效控制应力的概率，即曲线1为应力分布的右尾，曲线2为强度分布现对失效控制应力σ１在—个区间内取值，并用面积A1表示σ１位于该区间的概率。则

而强度大于应力的概率为图中阴影线所示的面积A2，其值为

现对失效控制应力σ１在—个区间内取值，并用面积A1表示σ１因为

和

是两个相互独立的事件，如果要求产的不发生破坏，则这两个事件都要发生。

根据概率乘法定理：两个独立事件同时发生的概率等于这两个事件单独发生的概率的乘积。这个乘积即为应力在区间

可靠度dR：

内时的因为和是两个相互独立的事件，如果要求产的不发生破坏，则这

显然，上式对σ１的任意取值都是成立的，所以，对整个应力分布产品的可靠度为或显然，上式对σ１的任意取值都是成立的，所以，对整个A、应力－强度均服从正态分布时的可靠度计算此时

式中、一分别为强度和应力的子样均值；、—分别为强度和应力的子样标准差。A、应力－强度均服从正态分布时的可靠度计算此时式中、一分别我们知道，可靠度是强度超过应力的概率。如令因为f(σ)和g(δ)都是正态分布，所以h(y)也是正态分布：则可靠度为y>0的概率。现h(y)表示与

之差的概率密度函数。

其中均值和标准离差分别为我们知道，可靠度是强度超过应力的概率。如令因为f(σ)和g所以，可靠度

令

经积分变换后得

其中

联结方程

耦合方程

或所以，可靠度令经积分变换后得其中联结方程耦合方程

之所以得名是因为它以概率的方法综合考虑了工作应力、强度和可靠度之间的关系，把应力和强度联系了起来。而ZR称为“联结系数”或“可靠度系数”或“可靠度指数”等。ZR与可靠度的取值关系可查附表。例3—6某零件强度＝180MPa，＝22．5MPa；=130Mpa，均服从正态分布。计算零件的失效概率和可靠度。若控制＝14MPa时，失效概率和可工作应力＝13MPa，且强度和应力强度标准差，使其下降到靠度为多少？之所以得名是因为它以概率的方法综合考虑了工作应解：由联结方程可得由附表查得可靠度所以失效概率F=1-R=0.0272。解：由联结方程可得由附表查得可靠度所以失效概率F=1-R当强度的标准差变为＝14MPa时

由附表查得可靠度

所以失效概率F=1-R=0.0044。当强度的标准差变为＝14MPa时由附表查得可靠度所以

上述结果表明，当强度和应力的均值不变而缩小其中一个或两个标准差时，可以提高零件的可靠度。这点在常规设计的安全系数法中是无法体现的。因此可靠性设计比常规设计更客观，也更可信。上述结果表明，当强度和应力的均值不变而缩小其

B.应力一强度均服从对数正态分布时的可靠度计算此时，可靠度指数为式中

，

—分别为强度和应力的对数均值，

，—分别为强度和应力的对数标准离差—分别为强度和应力的变差系数

B.应力一强度均服从对数正态分布时的可靠度计算此时，可靠度根据ZR查附表可求得可靠度R的值。例3—7已知某零件的强度和应力均服从对数正态分布，其特征值

=100MPa；=10MPa；＝60MPa；＝10MPa。计算可靠度。根据ZR查附表可求得可靠度R的值。例3—7已知某零件的强解：计算得应力和强度的变差系数分别为则查附表得可靠度R=Φ(2.689)＝0.9964。解：计算得应力和强度的变差系数分别为则查附表得可靠度R=Φ1.3零部件的可靠性设计

一．零部件静强度的可靠性设计

有些零件在工作过程中所承受的载荷基本上保持不变，如部分螺纹联接件、部分轴类零件等。这类零件的可靠性设计基本上分为三大步骤；A．确定零部件强度的分布参数B．确定零部件工作应力的分布参数C．根据联接方程计算可靠度或确定有关参数。

(，)；

(，)；

1.3零部件的可靠性设计一．零部件静强度的可靠性设计例3-10设计一松联接螺拴。已知作用于螺栓上的载荷近于正态分布，其均值和标准离差分别为=30000N，

=0.2／3；

螺栓材料强度的分布参数为MPa，

=28.7MPa。求可靠度R=99.5％时的螺栓直径。解：A．螺拴强度的分布参数δ(

，)已知。

B．螺栓工作应力的分布参数(，)例3-10设计一松联接螺拴。已知作用于螺栓上的载荷近于正考虑到制造中直径的公差，取螺栓当量直径差∆d=±0.02，因为尺寸偏差是正态分布，所以d的标准离差为工作应力的分布参数分别为考虑到制造中直径的公差，取螺栓当量直径差∆d=±0.02，均值

变差系数标准离差

均值变差系数标准离差C．因强度和应力均服从正态分布，由附表1，当R=0.995时可靠性指数ZR=2.575。代入联结方程有解得μd=11.34mmD．确定螺栓直径采用滚压螺纹，d＝μd+0.72t=11.34+0.72×2=12.78mm取标准直径M14×2±0.12mm，其实际可靠度R>0.995，满足设计要求。C．因强度和应力均服从正态分布，由附表1，当R=0.995时二．零部件疲劳强度的可靠性设计二．零部件疲劳强度的可靠性设计

1.4系统的可靠性设计

所谓系统是指由相互间具有有机联系的若干要素组成，能够完成规定功能的综合体。这里所说的要素是指零件、部件、子系统等。由于系统是由零部件组成的，所以系统的可靠性与组成该系统的零部件的可靠性以及它们之间的组合方式有关。系统的可靠性设计主要有以下两方而的内容：1)按已知零部件的可靠性数据计算系统的可靠性指标，这属于可靠性预测的问题；2)按规定的系统可靠性指标，对各组成零部件进行可靠性分配，这就是可靠性分配的问题。在这一节中，我们要对这两方面的问题进行讨论。

1.4系统的可靠性设计所谓系统是指由相互间具一．系统的可靠性预测可靠性预测是一种预报方法，其目的是：1)协调设计参数及指标，提高产品的可靠性；2)对比设计方案，以选择最佳系统：3)预示薄弱环节，采取改进措施。在讲具体的预测方法之前，首先讨论有关系统的逻辑图的概念。1．系统逻辑图当我们研究一个系统时，特别是一个大的复杂系统时，首先必须了解组成该系统的各单元或子系统的功能，研究它们的相互关系以及对所研究系统的影响。一个系统小则由一个子系统组成，大则由成百上千个子系统组成。为了清晰地研究它们，在可靠性工程中往往用逻辑图来描述，进而对系统及其组成零部件进行定量的设计与计算。一．系统的可靠性预测1)逻辑图的概念系统的逻辑图表示系统元件的功能关系，它以系统的结构图为基础，根据元件事故对系统工作的影响，用方框表示元件功能而构成。它指出了系统为完成规定的功能哪些元件必须成功地工作。系统逻辑图也称可靠性方框图。2)系统逻辑图与系统结构图的区别首先在逻辑图与结构图中元件的表示符号是不一样的。例如，在结构图中我们用表示电灯，用表示电容器，用

表示电阻；而在逻辑图中，无论什

么元件，均用方框来表示。其次，结构图表示系统中各组成元件间的结构装配关系，即物理关系；而逻辑图表示各组成元件间的功能关系。1)逻辑图的概念表示电容器，用表示电阻；而在逻辑图中，无论

因此，系统逻辑图的形式与故障的定义有关，而系统结构图则与此无关。例如两个并联安装的电容器系统，其结构图如图3—17(a)所示，因此，系统逻辑图的形式与故障的定义有关，而系统

若元件故障定义为短路，显然其逻辑关系是电容器Cl、C2任何一个短路就导致系统停运。因此其逻辑图为图(b)所示的串联关系。若故障定义为开路，显然其逻辑关系是电容器Cl、C2同时开路才导致系统停运。因此其逻辑图为图(c)所示的并联关系。由上述例子可以看出，同样一个物理关系图，根据故障形式的不同可以得出两个不同的逻辑图；同样，不同的物理关系图，根据故障形式的不同却可以得出一个相同的逻辑图。换句话说，有些元件在系统结构图中是并联的，而它们的功能关系却是任一元件失效都将引起系统不能完成规定的功能，因此它们的逻辑关系是串联的；同理，有些元件在系统结构图中是串联的，而它们的功能关系却是任一元件失效并不造成系统丧失功能，因此它们的逻辑关系应该用并联表示。若元件故障定义为短路，显然其逻辑关系是电容器Cl、C因此，系统的结构图与逻辑图是完全不同的两个概念，使用时一定不能混淆。

下面我们就具体讨论一下如何利用逻辑图进行几种常见系统的可靠性预测。2．系统的可靠性预测所谓可靠性预测就是已知组成系统的各个元件的可靠度，计算系统的可靠性指标。

1)串联系统的可靠度计算串联系统：如果在构成一个系统的n个元件中，只要有一个元件失效该系统就失效，那么这个系统就称为串联系统。其逻辑图见图3—18。因此，系统的结构图与逻辑图是完全不同的两个概念，使用时一定不

例如，齿轮减速器是由齿轮、轴、键、轴承、箱体等组成，从功能关系上看，它们中任何一部分失效都会造成减速器不能正常工作，因此，它们的逻辑图是串联的。又比如，起重机的提升机构是由电动机、联轴器、制动器、减速器、卷简、钢丝绳、滑轮组、吊钩装置等部件组成的，它们中任何一部分失效都会使提升机构不能工作，因此，它们的逻辑图也是串联的。例如，齿轮减速器是由齿轮、轴、键、轴承、箱体等组成，

设备元件的可靠度分别为R1、R2、…、Rn。如果各元件的失效是相互独立的，则由n个元件组成的串联系统的可靠度Rs，可以根据概率乘法定理按下式计算：或写成

设备元件的可靠度分别为R1、R2、…、Rn。如果各元

串联系统的可靠度Rs与串联元件的数量n及各元件的可靠度Ri有关。因为各个元件的可靠度Ri均小于1，所以串联系统的可靠度比系统中最不可靠元件的可靠度还低，并且随着元件可靠度的减小和元件数量的增加，串联系统的可靠度迅速降低。所以为确保系统的可靠度不至于太低，应尽量减少串联元件的个数或采取其它措施。2)并联系统的可靠度计算并联系统：如果在构成一个系统的n个元件中，只有全部发生故障系统才失效，那么这个系统就称为并联系统。其逻辑图见图3—19。串联系统的可靠度Rs与串联元件的数量n及各元件的可靠度

由于并联系统有单元的重复，而且只要有一个元件不失效就能维持整个系统工作，因此又称为工作冗余系统。

并联系统在电子和电器系统中得到广泛应用。在机械行业中，常用于动力装置、安全装置和液压系统中。

设各元件的失效概率分别为F1、F2、…、Fn。如果各元件的失效是相互独立的，则由n个元件组成的并联系统的失效概率Fs可以根据概率乘法定理按下式计算所以并联系统的可靠度为由于并联系统有单元的重复，而且只要有一个元件不失效就

由上两式也可以看出，并联系统的可靠度比系统中最可靠元件的可靠度还高。所以，当提高单个元件的可靠度受到限制时，采用并联系统仍然可以达到提高系统可靠度的目的。

在机械系统中，实际应月较多的是n=2的情况，而且Rl＝R2＝R。此时，并联系统的可靠度为

由上两式也可以看出，并联系统的可靠度比系统中最可靠3)储备系统的可靠度计算

储备系统：在构成一个系统的n个元件中，只有一个元件工作，其它元件不工作而作储备，当工作元件出现故障后，原来未参加工作的储备元件立即工作，将失效的元件换下，进行修理或更换，从而维持系统的正常运行。所以，储备系统也称为非工作储备系统或后备系统或后备冗余系统。其逻辑图见图3—20。3)储备系统的可靠度计算储备系统：在构成一个系

例如，飞机起落架的收放系统一般是由液压或气压装置和机械应急释放装置组成的储备系统。假设故障检查器和转换开关的可靠度都很高，接近于1，不影响系统的可靠度，那么，由n个元件构成的储备系统在给定的时间t内，只要失效元件的个数不多于n-1个，系统均处于可靠状态，不会失效。因为储备系统中各元件的功能和作用相同，所以可假设各元件的失效概率都相等，即则系统的可靠度按下列泊松分布的部分求和公式来计算：例如，飞机起落架的收放系统一般是由液压或气压装置和机如果n=2，则如果n=2，则4)表决系统的可靠度计算

表决系统：如果在构成一个系统的n个元件中，只要任意k个不失效，系统就可正常工作，那么这个系统就称为n中取k的表决系统，记为k/n系统。

例如，装有四台发动机的飞机，如果要求至少有两台发动机正常工作飞机才能安全飞行，那么这种发动机系统就是2/4表决系统4)表决系统的可靠度计算表决系统：如果在构成一

在机械系统中，通常只用三个取二的表决系统，即系统2/3系统的逻辑图见图3—21。在机械系统中，通常只用三个取二的表决系统，即系2/3系统要求失效的元件不多于1个，因此有四种成功的工作情况，即没有元件失效、只有元件①失效(支路②通)、只有元件②失效(支路②通)、只有元件②失效(支路①通)。根据概率乘法定理和加法定理，2/3系统的可靠度为：当各元件的可靠度相同时，R1＝R2＝R3＝R，则有2/3系统要求失效的元件不多于1个，因此有四种成功5)复杂系统的可靠度计算

复杂系统不能用简单的数学模型进行可靠度计算，只能用分析其成功和失效的各种状态的布尔真值表法来计算可靠度。手算时列表过长，计算量也很大，且极易出错。一般当元件数较多时(超过8个)，要用计算机计算。在此不细讲了。有兴趣的同学可以参照有关书籍。

下面通过一个例子说明如何计算系统的可靠度。例3—14已知Ri(i=1，2，…，8)，计算例3—14图所示系统的可靠度Rs。5)复杂系统的可靠度计算复杂系统不能用简单的数解：A．计算子系统S123的可靠度R123；

∵S123为2／3表决系统，∴

解：A．计算子系统S123的可靠度R123；∴B．计算子系统S45和S67的可靠度R45和R67∵S45和S67分别为串联系统，∴R45=R4R5，R67=R6R7C．计算子系统S4567的可靠度R4567∵S4567由S45和S67并联而成∴R4567=1-(1-R45)(1-R67)D．计算系统的可靠度Rs

该系统由于系统S123、S4567以及元件8串联而成，Rs=R123R4567R8。B．计算子系统S45和S67的可靠度R45和R67二、系统可靠性分配

可靠性分配是将任务书上规定的系统可靠度指标合理地分配给系统各元件的一种设计方法。可靠性分配的主要目的是确定每个元件合理的可靠度指标，并将它作为元件设计和选择的重要依据。可靠性分配的方法有多种，下面讨论几种比较常用的分配方法。1．等分配法顾名思义，这种方法是对系统中的全部元件分配以相等的可靠度。这是最简单、最原始的方法，一般只用于简单的串联系统和并联系统中。二、系统可靠性分配可靠性分配是将任务书上规定的系统可①串联系统的等分配法如果一个系统的n个元件具有相当的复杂程度、重要性以及制造成本，那么，当它们串联起来工作时，可用等分配法。设系统的可靠度指标为Rsa，各元件分配到的可靠度均为Ria。有①串联系统的等分配法②并联系统的等分配法由前面讲的内容可知，并联系统的可靠度比系统中最可靠元件的可靠度还高。因此，当系统可靠度要求很高，而选用现有元件又不能满足要求时，可以将n个相同的元件并联起来，这时元件的可靠度会大大低于系统的可靠度，从而为设计提供方便。②并联系统的等分配法2．按相对失效率来分配可靠度

按相对失效率进行可靠度分配的基本出发点是每个元件的容许失效率正比于预计失效率。这种方法一般用于失效率为常数的串联系统。因为可靠度与失效率之间存在如下关系，即

将此代入串联系统可靠度的计算公式中，可以推导出串联系统的失效率与组成该系统的各个元件失效率之间的关系：

2．按相对失效率来分配可靠度按相对失效率进行设分配给元件的失效率为，系统的失效率指标为以下几点：1)根据统计数据或现场使用经验，定出各个元件的预计失效率。那么，按相对失效率分配可靠度的方法可以归纳为2)由各个元件的预计失效率计算每一个元件的相对失效率设分配给元件的失效率为，系统的失效率指标为以下几点：。那么，3)按给定的系统可靠度指标算系统的容许失效率及要求的工作时间t计4)计算各个元件的容许失效率5)计算各个元件的可靠度3)按给定的系统可靠度指标算系统的容许失效率及要求的工作时间例3—15一个由三个元件组成的串联系统，其各自的预计失效率为：，，，要求工作20h时系统的可靠度件分配适当的可靠度。＝0.90。试给各元解：A．计算相对失效率例3—15一个由三个元件组成的串联系统，其各自的预计失效B．计算系统的容许失效率C．计算各元件的容许失效率B．计算系统的容许失效率C．计算各元件的容许失效率D．计算各元件分配的可靠度E．验算系统的可靠度是否满足要求

所以满足要求，分配完毕。D．计算各元件分配的可靠度E．验算系统的可靠度是否满足要求3．按子系统的复杂程度来分配可靠度以串联系统为例。设串联系统的可靠度指标为，失效概率为各个子系统应分配到的可靠度分别为、、…、失效概率分别为、、…、。，，设子系统的复杂度为(i=1，2，…，n)。因为各正比于其复杂度，即，则对串联系统，有下式成立个子系统的失效概率3．按子系统的复杂程度来分配可靠度以串联系统为例。，失效概率由于是已知的，而以及零部件的数目大小定出，也是已知的，因此可以求出K，将K代入下式就可以求出各个元件所分配到的可靠度。可由子系统的结构复杂程度不难看出，式是K的n次方程，如果n较大，很难手算求解，这时需用迭代方法求近似解。但目前在工程上，一般用相对复杂度来求近似解。具体步骤如下由于是已知的，而以及零部件的数目大小定出，也是已知的，因此可1)计算各个子系统的相对复杂度2)计算系统的预计可靠度式中—系统的失效概率，

(—给定的系统可靠度指标)1)计算各个子系统的相对复杂度2)计算系统的预计可靠度式中—3)确定修正系数若系统给定的可靠度指标与计算得出的预计可靠度值不相吻合，则需确定可靠度修正系数，其值为4)计算各个子系统分配到的可靠度3)确定修正系数若系统给定的可靠度指标与计算得出的预计可靠度5)验算系统可靠度

若结果大于约定的可靠度指标，则分配结束；若结果小于给定的可靠度指标，则应将各个子系统中可靠度较低的略微调大一些，直至满足规定的可靠度指标为止。5)验算系统可靠度若结果大于约定的可靠度指标，

例3—16一个由四个部件组成的串联系统，其可靠度指标为其复杂度Cl＝10，而部件2、3、4按类比法确定其复杂度分别为：C2＝25，C3＝5，C4＝40。试按复杂度来分配可靠度。。由于部件1采用的是现成产品，故取解：A．计算各部件的相对复杂度例3—16一个由四个部件组成的串联系统，威布尔分布课件B．求系统预计可靠度系统的失效概率指标为因为>，所以还要利用修正系数进行修正B．求系统预计可靠度系统的失效概率指标为因为>，所以还要利用C．计算修正系数D．计算各部件分配到的可靠度C．计算修正系数D．计算各部件分配到的可靠度E．验算系统的可靠度指标满足要求，分配结束。E．验算系统的可靠度指标满足要求，分配结束。4．按复杂度与重要度来分配可靠度

这种方法综合考虑了组成系统的各个子系统的复杂度与重要度。所谓子系统的重要度是指子系统的故障会导致系统失效的概率，用E表示。在此也对串联系统的情况以一个例题的形式说明该方法的基本步骤。例3—17一个由四个子系统组成的串联系统，要求在连续工作10h时只有的可靠度，各子系统的复杂度、重要废与工作时间分别为：C1＝15，

C2＝25，C3＝100，C4＝70；E1＝E3=1，E2＝0.95，

E4＝0.9，t1＝t3=10h，t2＝9h，t4＝8h。试按复杂度和重要度来分配可靠度并计算失效概率。4．按复杂度与重要度来分配可靠度这种方法综合考解：A．计算各子系统的相对复杂度解：A．计算各子系统的相对复杂度B．计算各子系统的分配失效率子系统的分配失效率为B．计算各子系统的分配失效率子系统的分配失效率为C．计算分配给各子系统的可靠度各子系统分配到的可靠度为C．计算分配给各子系统的可靠度各子系统分配到的可靠度为D．验算系统的可靠度

此值不满足可靠度要求，这是由于公式的近似性质以及E2与E4小于l的缘故，所以要稍加调整。D．验算系统的可靠度此值不满足可靠度要求，这是

将子系统中可靠度略低的稍微加大一些。经比较，子系统3的可靠度最低，所以对它进行调整。由反算，则将子系统中可靠度略低的稍微加大一些。经比较，子E．分配结果

各子系统的失效率为可靠度为

E．分配结果各子系统的失效率为可靠度为5．用拉格朗日乘数法分配可靠度这是用来处理有约束条件的可靠度分配问题的，比较常见的是以下两种方法：1)按花费最小来分配可靠度2)按可靠度最大来分配可靠度，即用动态规划法来分配可靠度。这两种方法均需建立数学模型，然后采取某种适当的优化方法求解，在此就不细讲。5．用拉格朗日乘数法分配可靠度可靠性设计1.1概述1.2可靠性设计原理1.3零部件的可靠性设计1.4系统的可靠性设计可靠性设计1.1概述1.2可靠性设计原理1.3零部件的一．可靠性设计的发展1.1概述二．可靠性设计的基本概念三．可靠性设计的常用指标四．可靠性设计常用的分布函数一．可靠性设计的发展1.1概述二．可靠性设计的基本概念三．可一．可靠性设计的发展

可靠性设计是一种很重要的现代设计方法。

从50年代起，国外就兴起了可靠性技术的研究。在二次大战期间，美国的通讯设备、航空设备、水声设备部有相当数量发生失效而不能使用。因此，美国便开始研究电子元件和系统的可靠性问题。德国在二次大战中，由于研制v—1火箭的需要也开始进行可靠性工程的研究。1957年，美国发表了“军用电子设备可靠性”的重要报告，被公认为是可靠性的莫基文献。一．可靠性设计的发展可靠性设计是一种很重要的现

在60、70年代，随着航空航天事业的发展，可靠性问题的研究取得了长足的进展，引起了国际社会的普遍重视。许多国家相继成立了可靠性研究机构，对可靠性理论作了广泛的研究。

1990年，我国机械电子工业部印发的“加强机电产品设计工作的规定”中明确指出：可靠性、适应性、经济性三性统筹作为我国机电产品设计的原则，在新产品鉴定定型时，必须要有可靠性设计资料和试验报告，否则不能通过鉴定。现今，可靠性的观点和方法已经成为质量保证、安全性保证、产品责任预防等不可缺少的依据和手段，也是我国工程技术人员掌握现代设计方法所必需掌握的重要内容之一。在60、70年代，随着航空航天事业的发展，二．可靠性设计的基本概念

可靠性设计（ReliabilityDesign），机械可靠性设计作为一种新的设计方法只是常规设计方法的深化和发展，其主要特征就是将常规设计方法中所涉及到的设计变量不再看作定值，而是看成服从某种分布的随机变量，然后根据机械产品所要求的可靠性指标用概率统计的方法设计出零、部件的主要参数和结构尺寸。可靠性(Reliability)表示产品在规定的工作条件下和规定的时间内完成规定功能的能力其中包括四个基本要素：二．可靠性设计的基本概念可靠性设计（Relia1．研究对象可靠性研究的对象很广，可以是系统、机器、零件、部件、组件、材料等2．规定的条件包括运输条件、储存条件和使用时的环境条件。如载荷、温度、压力、湿度、振动、润滑、含尘量、腐蚀、噪声等等。此外，使用方法、维修方法、操作人员的技术水平等对设备或系统的可靠性也方很大影响。值得说明的是，任何产品如果误用或滥用都可能引起损坏。因此，在使用说明书中应当对使用条件加以规定，这是判断发生故障的责任在于用户还是在于生产厂家的关键。1．研究对象3．规定的时间这里所说的时间是广义的，可以是距离、周期(小时)、循环次数、转数等相当于时间的量。可靠性是时间性的质量指标，产品只能在一定的时间范围内达到可靠性指标，不可能永远保持目标可靠性而不降低。因此，对时间的规定一定要明确。4．规定的功能指产品的功能参数指标，如精度、效率、强度、稳定性等。不同的产品具有不同的功能，对不同的产品应明确规定达到什么指标才合格，反之，就要明确规定产品处于什么情况或状态下是失效。3．规定的时间

机械可靠性设计作为一种新的设计方法只是常规设计方法的深化和发展，其主要特征就是将常规设计方法中所涉及到的设计变量不再看作定值，而是看成服从某种分布的随机变量，然后根据机械产品所要求的可靠性指标，用概率统计的方法设计出零、部件的主要参数和结构尺寸。机械可靠性设计作为一种新的设计方法只是常规设计方法的三．可靠性设计的常用指标1．概率指标2．寿命指标1．概率指标可靠性设计的常用指标1)可靠度(Reliability)：表示产品在规定的工作条件下和规定的时间内完成规定功能的概率。一般情况下，产品的可靠度是时间的函数，用R(t)表示，称为可靠度函数。可靠度是累积分布函数，它表示在规定的时间内圆满工作的产品占全部工作产品累积起来的百分比。三．可靠性设计的常用指标1．概率指标2．寿命指标1．概率指标

设有N个相同的产品在相同的条件下工作，到任一给定的工作时间t时，累积有小个产品失效，剩下个产品仍能正常工作。那么，该产品到时间t的可靠度为因为所以设有N个相同的产品在相同的条件下工作，到任一2)不可靠度或失效概率：指在规定的条件下和规定的时间内，产品功能失效的概率。一般情况下，产品的失效概率也是时间的函数，用表示，称为失效概率函数。根据概率互补定理，有

2)不可靠度或失效概率：指在规定的条件下和规定的时间内，产品3)失效概率密度函数：指单位时间内的失效概率，用表示，说明失效概率密度函数曲线下的总面积为1。

3)失效概率密度函数：指单位时间内的失效概率，用表示，说明失对任意时间t，失效概率

表示左侧阴影线的面积

又因为，故R(t)为右侧无阴影线的面积。

对任意时间t，失效概率表示左侧阴影线的面积又因为，故R(4)失效率或故障率概念：表示产品工作到某一时刻后，在单位时间内发生故障的概率，用λ(t)表示。当时，

4)失效率或故障率当时，失效率曲线：人们对产品失效的规律己经进行了相当长时间的研究，从大量资料来看，一般产品的失效规律用失效率函数λ(t)来描述是一条曲线，如图3—2所示。---规定的失效率；时期I：称为早期失效期；时期Ⅱ：称为偶然失效期；时期Ⅲ：称为耗损失效期，亦称为老化期。—开始老化年龄。失效率曲线：人们对产品失效的规律己经进行了相当长时间的研究，2．寿命指标

除了用概率函数衡量可靠性之外，还可以用时间来度量可靠性，这就是可靠性的寿命指标。1)失效前平均时间(MTTF—MeanTimeToFailure)：

指发生故障就不能修复的产品从开始使用到失效的平均时间，其数学表达式为因为t=0时，R(t)＝1;t=∞时，R(t)=0;所以上式第一项为0，则有2．寿命指标除了用概率函数衡量可靠性之外，还可在工程中的使用寿命期内，失效率近似为常数，则在工程中的使用寿命期内，失效率近似为常数，则2)平均故障间隔(MTBF—MeanTimeBetween

Failure)：

指对修复产品相邻两次故障间的平均时间。在使用寿命期内，MTBF＝MTTF。2)平均故障间隔(MTBF—MeanTimeBetwee四．可靠性设计常用的分布函数1．二项分布对二项分布，事件发生r次的概率f(r)为事件发生次数不超过c的累积概率F(c)为式中p－事件发生的概率；

q－事件不发生的概率，q=1-p；

n事件总数；

r－事件实际发生次数；

c－事件允许发生(或要求发生)的次数。四．可靠性设计常用的分布函数1．二项分布事件发生次数不超过c二项分布的均值取E(r)和方差V(r)分别为;，。

二项分布的均值取E(r)和方差V(r)分别为;。例3—1某车间有10台7．5kw的机床，如果每台机床使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min，问全部机床用电超过48kw的可能性是多少?

解：首先分析出用电超过48kw的各种情况。

当10台机床全部开动时，

用电量为10×7.5kw＝75kw>48kw；

当9台机床全部开动时，

用电量为9×7.5kw＝67.5kw>48kw；

当8台机床开动时，

用电量为8×7.5kw＝60kw>48kw；当7台机床开动时，

用电量为7×7.5kw＝52.5kw>48kw；

而当开动的机床数少于7台时，用电量均不足48kw。例3—1某车间有10台7．5kw的机床，如果每台机床使用

因此，所求的概率值为有10、9、8、7台机床开动时的累积概率。

由于在任意时刻，各个机床都有“开、停”两种状态，所以服从二项分布。

用p表示“开”，所以用q表示“停”，所以可以计算出因此，所求的概率值为有10、9、8、7台机床开威布尔分布课件因此，用电超过48kw的可能性(即概率)为即在1157分钟内大约有一分钟用电超过48kW。因此，用电超过48kw的可能性(即概率)为即在1157分钟内2．泊松分布使用二项分布时，如果p很小（p≤0.1），而n很大(n≥50)，那么，计算比较麻烦，这时可用泊松分布来近似求解。对泊松分布，有式中m－事件发生次数的平均值

r－事件实际发生次数泊松分布的均值和方差分别为

2．泊松分布式中m－事件发生次数的平均值例3—2某系统的平均无故障工作时间T=1000h，在1500h的任务期内需要用备件更换，现只有3个备件。问能达到的可靠度是多少?解：平均无故障时间即为仍MTBF=1000h在1500h的任务期内，零件失效数的均值为m=λT＝0.001×1500k=l.5例3—2某系统的平均无故障工作时间T=1000h，在15

根据题意，当系统中有3个以上零件失效时均可保证系统正常工作。因此，所求的可靠度即为无零件失效、有1个零件失效、有2个零件失效、有3个零件失效的累积概率。即可靠度为0.9344。二项分布和泊松分布都属于离散型分布。根据题意，当系统中有3个以上零件失效时均可保证3．正态分布正态分布是最常用的—种概率分布形式。一般来说，有很多微小的独立的随机因素而每种因素都不起决定作用时，其作用的总效果可认为是服从正态分布。实际上，影响因素n≥5~6时就近似于正态分布。对正态分布，有式中μ—正态分布的均值；

s—正态分布的标准离差。3．正态分布式中μ—正态分布的均值；

正态分布有对称性，它的主要参数就是均值μ和标准离差s(或方差s2)。均值决定正态分布曲线的位置，μ越大，曲线离纵坐标越远；标准离差s决定正态分布曲线的形状，表征分布的离散程度，s越大，曲线越宽，表示离散性越大，正态分布有对称性，它的主要参数就是均值μ和标准

正态分布的均值μ和方差s2的估计值可以根据样本数据按下式计算若令

则此即为标准正态分布，其中z称为标准正态变量。正态分布的均值μ和方差s2的估计值可以根据样本例3—3有1000个零件，己知其失效时间服从正态分布，均值μ＝500h，标难离差s＝40h。求：A)t=400h时的可靠度、失效概率和失效数；

B)在400~600h之间的失效数；

C)经过多少小时后会有20％的零件失效?解：A)标难正态变量

例3—3有1000个零件，己知其失效时间服从正态分布，均由正态分布的特点可知：F(z＝-2.5)＝1-F(z＝2.5)而失效概率F与可靠度R又存在互补关系，即F(z＝-2.5)＝1-R(z=-2.5)查附表得R(t＝400)＝R(z＝-2.5)＝F(z=2.5)＝0.9938失效概率F(t=400)＝1-R(t＝400)＝1-0.9938＝0.0062失效数r=1000×0.0062＝6.2(个)≈6(个)。B)t＝600h时，标准正态变量查附表得失效概率F(t=600)=0.9938失效数r=1000×0.9938＝994(个)∴在t=400~600h之间的失效数为994-6＝988(个)由正态分布的特点可知：F(z＝-2.5)＝1-F(z＝2.5C)失效概率F=20％=0.2，在附表中查不到对应的标准正态变量的值，可利用关系得到：

F(z)＝1-F(-z)，∴F(-z)=1-F(z)=1-0.2=0.8。查附表得：-z=0.84，∴z=-0.84，代入，得∴t=500-40×0.8=466.4(h)即经过466.4h后，会有20％的零件失效。C)失效概率F=20％=0.2，在附表中查不到对应的标准正4．对数正态分布如果随机变量t的对数x＝lnt服从正态分布，那么就称t服从对数正态分布，对数正态分布的概率密度函数f(t)和累积概率分布函数F(t)为式中μ1一对数平均值，

s1一对数标准离差，。4．对数正态分布式中μ1一对数平均值，s1一对数标准

对数正态分布很早就用于疲劳试验，是材料或零件寿命分布的一种主要分布模型，常用来描述圆柱螺旋弹簧、轴向变载螺栓、齿轮的接触疲劳及弯曲疲劳、轴及钢材、合金结构材料等的疲劳寿命。

对数正态分布是偏态分布，而且是单峰的。其概率密度曲线的形状见图3—4。对数正态分布很早就用于疲劳试验，是材料或零件寿

对数正态分布的数据处理要比正态分布复杂，实际应用中往往先将各个数据取对数后按正态分布进行处理。对数正态分布变量为例3—4某厂为用户生产d=5mm的弹簧钢丝，要求钢丝剪切极限即簧经受106应力循环次数后立即更换。根据以往试验得知，该弹簧在稳定应力条件下的疲劳寿命服从对数正态分布，μ1＝14.1376，s1=0.23823。试求在更换弹簧之前的失效概率是多少?如果保证R=0.99，求更换时的循环次数是多少?。在工作应力条件下，弹对数正态分布的数据处理要比正态分布复杂，实际应用中往解：A.先计算弹簧在从106循环次数之前的失效概率。查表得更换弹簧前的失效概率为F(N≤106)=Φ(-1.3520)=0.08851B.计算可靠寿命R(t)=0.99时的循环次数NF(z)=1-R(t)=1-0.99=0.01，查表得z=-2.32635，则解得循环次数N＝0.79×106。解：A.先计算弹簧在从106循环次数之前的失效概率。查表得更5．威布尔分布(Welbun分命)

威布尔分布是瑞典物理学家W.Weibull为解释疲劳试验结果而建立的。他在分析材料的强度时，将材科的每一个缺陷视作链条中的一环，那么链条的寿命就取决于链条中最弱的环节。这种串联强度模型(或最弱环节模型)能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响。威布尔分布适应性广，可以拟和各种类型的试验数据，特别是各种寿命试验。因此，在可靠性设计中占有重要地位。威布尔分布的概率密度因数f(t)和累积概率分布函数F(t)为5．威布尔分布(Welbun分命)威布尔分布的概率密度因数f或上式中有三个参数：β、γ、η，下面分别说明其意义。或上式中有三个参数：β、γ、η，下面分别说明其意义。β－形状参数。它决定分布密度函数曲线的形状，随着β取值的变化，f(t)曲线大致可以分为三类：

1)β＜1时，f(t)曲线以t=γ为渐近线，失效率λ(t)为递减函数，可以用来描述产品的造期失效期，见图3—5。

2)β＝１时，f(t)是指数分布曲线，失效率λ(t)为常数，可以用来描述产品的偶然失效期。

3)β>1时，f(t)是单峰曲线，2.7<β<3.7为近似正态分布(β=3.313时则为正态分布)，失效率是递增函数，可以用来描述产品的耗损失效期。β－形状参数。它决定分布密度函数曲线的形状，随威布尔分布课件γ－位置参数。它表示产品在γ之前具有100％的存活率(即可靠度)。在其它参数不变的情况下，γ的变化只会使众f(t)曲线产生平移，而并不影响威布尔分布曲线的形状，见图3—6。γ－位置参数。它表示产品在γ之前具有100％的存活率(η－尺度参数(或特征寿命)。当其它参数不变时，η的变化将使分布曲线沿横坐标伸长或缩短，而分布曲线的形状相似，且分布曲线在该坐标的起点不变，见图3—7。η－尺度参数(或特征寿命)。当其它参数不变时，η的变化将使分威布尔分布的均值和标准离差为式中－伽玛函数，可查表。威布尔分布的均值和标准离差为式中－伽玛函数，可查表。6．指数分布指数分布可以作为威市尔分布的特例，即β＝1，γ＝０。习惯上取时间t作为随机变量。指数分布可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型。一般情况下，它不能作为机械零件功能参数的分布形式，但在部件或机器的整机试