工程力学基础(讲义)

工程力学基础 1工程力学基础工程力学基础 2目录概 述 第一章 物体的受力分析和静力学平衡方程 第一节 静力学基本概念 5第二节 约束和约束反力 .0第三节 分离体和受力图 .3第四节 力的投影合力投影定理 16第五节 力矩力偶 9第六节 力的平移 .2第七节 平面力系的简化合力矩定理 .3第八节 平面力力系的平衡方程 30第九节 空间平面力系 .8第二章拉伸、压缩与剪切 43第一节 轴向拉伸与压缩的概念和实例 44第二节 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力 45第三节 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力 47第四节 轴向拉伸或压缩时的变形 .0第五节 材料在拉伸与压缩时的力学性能 .4第六节 轴向拉伸或压缩时的强度计算 59第七节 应力集中的概念 .3第八节剪切与挤压的实用计算 .4第三章 扭 转 68第一节 扭转的概念和实例 .8第二节 扭转时外力和内力的计算 69第三节 纯剪切 .1第四节 圆轴扭转时横截面上的应力 .3第五节 圆轴扭转的强度计算 76第六节 圆轴扭转的变形和刚度计算 .8第四章弯曲 79第一节 平面弯曲的概念和实例 79第二节 梁弯曲时的内力—剪力和弯矩 81第三节 剪力图和弯矩图 .4第四节 纯弯曲时梁横截面上的正应力 89第五节 惯性矩和弯曲截面系数 91第六节 梁的弯曲强度计算 .2第七节 不作要求* .6第八节 弯曲变形 6第五章组合变形构件的强度计算 .第一节 点的应力状态简介 101第二节 （第二、三节不讲） 103第三节 （第二、三节不讲） 103第四节 强度理论简介 103第五节 组合变形的强度计算 106第六章交变应力 .第一节 交变应力及构件的疲劳破坏 113第二节 循环特征和持久极限（二、三节合并） 115第四节 提高构件疲劳强度的措施 118工程力学基础 3工程力学基础概 述工程力学是一门研究物体机械运动及构件强度、刚度和稳定性的科学。土力学，岩体力学等。而固体力学包括材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、复合材料力学以及断裂力学等。如按使结构产生反应的作用性质分类，工程力学的许多分支都可以再分为静力学与动力学。例如结构静力学与结构动力学。本篇包括工程力学的两个基础部分的内容：静力学和材料力学。力是物体间相互的（机械）(N)(KN)。作用在物体上的力会引起两种效应：一是引起物体机械运动状态的改变，称为外效应；二是引起物体的变形，称为内效应。静力学是研究物体在外力系作用下平衡规律的科学，即主要研究外效应。而材料力学主要是研究物体的变形规律，即主要研究内效应。为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。因此，构件应当满足以下要求：用下构件当然不应破坏，包括断裂和发生较大的塑性变形。例如，冲床曲轴不可折断；建筑物的梁和板不应发生较大塑性变形。强度要求就是指构件在规定的使用条件下不发生意外断裂或塑性变形。件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。例如，机床主轴的变形过大，将影响加工精度；齿轮轴变形过大将造成齿轮和轴承的不均匀磨损，引起噪音。刚度要求就是指构件在规定的事业条件下不发生较大的变形。的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等应始终维持原有的直线平衡状态，保证不被压弯。稳定性要求就是指构件在规定的使用条件下不产生丧失稳定性破坏。如果构件的横截面尺寸不足或形状不合理，或材料选用不当，不能满足上述要求，将不能保证工程结构或机械的安全工作。相反，如果不恰当的加大构件横截面尺寸或选用高强材工程力学基础 4料，这虽满足了上述要求，却使用了更多的材料和增加了成本，造成浪费。我们可以作出以下结论：材料力学是研究各类构件（主要是杆件）性的学科，它提供了有关的基本理论、计算方法和实验技术，使我们能合理地确定构件的材料和形状尺寸，以达到安全与经济的设计要求。工程力学基础 5第一章物体的受力分析和静力学平衡方程静力学主要研究的以下两个内容：力系的简化力系地说刚体就是在力的作用下不发生变形的物体。在对刚体进行受力分析时，往往可以把刚体看成一个点（质点）来研究。等效力系：如果作用于一刚体上的力系可以用另一力系代替而不改变其对刚体的作用效果，则称这两个力系为等效力系。力系的简化：用一个简单的等效力系代替一个复杂的力系称为力系的简化。刚体的平衡条件指刚体处于平衡状态时作用于刚体上的力系应满足的条件。本章将阐述静力学中的一些基本概念、静力学公理、工程上常见的典型约束和约束反力，以及物体的受力分析。第一节静力学基本概念一、力的概念及作用形式肌肉紧张而感受到力的作用，这种作用广泛存在于人与物及物与物之间。例如，奔腾的水流能推动水轮机旋转，锤子的敲打会使烧红的铁块变形等。1、力的定义 力是物体之间相互的机械作用，这种作用将使物体的机械运动状态发生变化或者使物体产生变形前者称为力外效后者称为力的内效应。2力的三要素 实践证明力对物体的作用效应决定于力大小、方（包括方位和指向）作用点的位这三个因素就称力的三要在这三个要素中如果改变其中任何一个也就改变了力对物体的作用效应。例如：用扳手拧螺母时，作用工程力学基础 6在扳手上的力，因大小不同，或方向不同，或作用 图点不同，它们产生的效果就不同（图。注意1）力是矢量 力是一个既有大小又有方向的量，而且又满足矢量的运算法则，因力是矢量（或称向量。矢量常用一个带箭头的有向线段来表示（图，线段长度B按一定比例代表力的力的作用线。用黑体字F代表力矢，并以同一字母的非黑体字F代表该矢量的模（大小。（2）力的单位 力的国际制单位是牛顿或千牛顿，其符号为或。3、集中力、均布力（均布载荷）（如图。分布力：当力的作用范围比较大时称为分布力（如图。其大小用分布力集度（单位长度力的大小)（如图。q(x)x(b)F(c)qq(x)x(b)F(c)(a)(a)图1-2二、刚体的概念其几何形状和尺寸不变的物体。在对刚体进行受力分析时，往往可以把刚体看成一个点（质点）来研究。显然，刚体是一个理想化的模型，实际上并不存在这样的物体。但是，工程实际中的机械零件和结构构件，在正常工作情况下所产生的变形，一般都是非常微小的。这样微小的变就不能把物体看作是刚体，否则会导致错误的结果，甚至无法进行研究。工程力学基础 7三、平衡的概念1、平衡如果物体相对于地球静止或作均速直线运动，则称该物体处于平衡状态。当物体处于平衡状态时，作用于该物体上的力系称为平衡力系。力系平衡所满足的条件称为平衡条件。如果两个力系对同一物体的作用效应完全相同，则称这两个力系互为等效力系。当一个力系与一个力的作用效应完全相同时，把这一个力称为该力系的合力，而该力系中的每一个力称为合力的分力。必须注意，等效力系只是不改变原力系对于物体作用的外效应，至于内效应显然将随力的作用位置等的改变而有所不同。2、二力平衡原理及二力体（图1-3）这个公理揭示了作用于物体上的最简单的力系在平衡时所必须满足的条件，它是静力学中最基本的平衡条件。二力体只受两个力作用而平衡的物体称为二力体（如果为杆件 图则称二力。图1-4机械和建筑结构中的二力体常常统称为“二力构件”。它们的受力特点是：两个力的方向必在二力作用点的连线上。应用二力体的概念，可以很方便地判定结构中某些构件的受力方向。如图1-4所示三铰拱中ABAB力构件，故AB两点的作用力必沿AB连线的方向。3、加减平衡力系原理工程力学基础 8图1-54力的可传性原理 作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任一点而不改变原。例如，图1-6中在车后A点加一水平力推车，与在车前B力拉车，其效果是一样的。这个原理可以利用上述公理推证如下（图：设F作用于A点（图；在力的作用线上任取一点，并在B点加一平衡力系F，F，使F

=－F1 2 1 2（图；由加减平衡力系公理知，这并不影响原力F对刚体的作用效应；再从该力系中去掉平衡力系,F，则剩下的F（图）与原力F等效。1 2这样就把原来作用在A点的力F沿其作用线移到了B点。根据力的可传性原理，力在刚体上的作用点已为它的作用线所代替，所以作用于刚体上的力的三要素又可以说是：力的大小、方向和作用线。这样的力矢量称为滑移矢量。（a） （b） （c）图1-6应当指出，力的可传性原理只适用于刚体，对变形体不适用。5、力的平行四边形法则和1-7F=F+FR 1 2

（1-1）图1-7 图1-8工程力学基础 9从图1-8形就行了。为了使图形清晰起见，通常把这个三角形画在力所作用的物体之外。如图1-7所O先画出一力矢FF的终点画一力矢FO点至力1 1 2矢FFF、

的合力。合力的作用点仍为汇交点A。这种作图方2 R 1 2法称为力的三角形法则但次序可变，合力力矢与最后分力箭头相接。此外还应注意，力三角形只表示力的大小和方向，而不表示力的作用点或作用线。工程实际中，通常是分解为方向互相垂直的两个分力。例如，在进行直齿圆柱齿轮的受力分析时，常将齿面的法向正压力Fn

分解为推动齿轮旋转的即沿齿轮分度圆圆周切线方向的分力––– 圆周力F，指向轴心的压力 ––– 径向力F（图。若已知F与分度圆圆周t r n切向所夹的压力角为α ，则有F=Fcosα F=Fsinαt n r n运用力系加减原理和力的平行四边形法则可以得到下面的推论：物体受三个力作用而平衡时，此三个力的作用线必汇交于一点。此推论称为三力平衡汇交定理。6、作用与反作用定律两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等，方向相反，作用线相同，并分别作用于这两个物体。这个公理概括了自然界的物体相互作用的关系，表明 图了作用力和反作用力总是成对出现的。必须强调指出，作用力和反作用力是分别作用于两个不同的物体上的，因此，决不能认为这两个力相互平衡，这与两力平衡公理中的两个力有着本质上的区别。不同，内力与外力是可以互相转化的。工程力学基础 10第二节约束和约束反力凡能主动引起物体运动状态改变或使物体有运动状态改变趋势的力称为主动力。工程中常把主动力称为载荷。在空间不受限制任意运动的物体称为自由体。若物体受到某些条件的限制，在某些方向不能运动，则这种物体称为非自由体。那些限制物体某些运动的条件，称为约束。这些限制条件总是由被约束体周围的其它物体构成的。为方便起见，构成约束的物体常称为约束。约束约束反力总是作用在被约束体与约束体的接触处，其方向也总是与该约束所能限制的运动或运动趋势的方向相反。据此，即可确定约束反力的位置及方向。常见的典型平面约束有以下几种：1、柔索约束由绳索、胶带、链条等形成的约束称为柔索约束。这类约束只能限制物体沿柔索伸长方向的运动，因此它对物体只沿柔索方向的拉，如图、1-11所示，常用符号为F 。T轮缘的切线方向（图。（a） （b） （a） 图1-10 图1-112、光滑面约束当两物体直接接触，并可忽略接触处的摩擦时，约束只能限制物体在接触点沿接触面的公法线方向约束物体的运动，不能限制物体沿接触面切线方向的运动，故约束反力必过接触点沿接触面法向并指向被约束体，简称法向压力，通常用FN

表示。图1-12中A和B所示分别为光滑曲面对刚体球的约束和齿轮传动机构中齿轮轮齿的约束。图1-13为直杆与方槽在A、B、C三点接触，三处的约束反力沿二者接触点的公法线方向作用。工程力学基础 113、圆柱铰链约束

图1-12 图1-13铰链是工程上常见的一种约束。它是在两个钻有圆孔的构件之间采用圆柱定位销所形成的连接，如图1-14所示。门所用的活页、铡刀与刀架、起重机的动臂与机座的连接等，都是常见的铰链连接。一般认为销钉与构件光滑接触，所以这也是一种光滑表面约束，约束反力应通过接触点K沿公法线方向（通过销钉中心）指向构件，如图1-15a际上很难确定K的位置，因此反力F的方向无法确定。所以，这种约束反力通常NFF来表示x y可以任意设定，如图1-14b。图1-14 图1-15这种约束在工程上应用广泛，可分为三种类型：固定铰支座 用以将构件和基础连接，如桥梁的一端与桥墩连接时，常用种约束，如图1-16a所示，图1-16b是这种约束的简图。a） b)图1-16可动铰支座 在桥梁、屋架等结构中，除了使用固定铰支座外，还常使用一工程力学基础 12种放在几个圆柱形滚子上的铰链支座，这种支座称为可动铰支座，也称为滚动铰支座或辊轴支座，它的构造如图1-176所示。由于辊轴的作用，被支承构件可沿支承面的切线方向移动，故其约束反力的方向只能在滚子与地面接触面的公法线方向。图中间铰链 用来连接两个可以相对转但不能移动的构件，如曲柄连杆机构中曲柄与连杆、连杆与滑块的连接。通常在两个构件连接 图1-17处用一个小圆圈表示铰链，如图1-18c所示。*4轴承约束

a) b) c)图1-18轴承约束是工程中常见的支承形式，它的约束反力的分析方法与铰链约束相同。（）支承传动轴的向心轴承（图（2）推力轴承（图1-20a）除了与向心轴承一样具有作用线不定的径向约 a) 束力外，由于限制了轴的轴向运动，因而还 图1-19有沿轴线方向的约束反力（图。其力学符号如图c所示。图1-20工程力学基础 13第三节分离体和受力图解决力学问题，关键是要进行受力分析。所谓受力分析，是指分析所要研究的物体（称为研究对象）上受力多少、各力作用点和方向的过程。工程中物体的受力可分为两类，一类称为主动力，如工作载荷、构件自重、风力等，这类力一般是已知的或可以测量的，另一类就是约束反力。进行受力分析时，研究对象可以用简单线条组成的简图来表示。画受力图的步骤：确定研究对象，解除约束，取分离体；先画出作用在分离体上的主动力，再根据约束的性质在解除约束的地方画上约束反力；画物体受力图时，要利用相邻物体间的作用力与反作用力之间的关系。画受力图是解决力学问题的第一步骤，正确地画出受力图是分析、解决力学问题的前提。如果没有特别说明，则物体的重力一般不计，并认为接触面都是光滑的。下面举例说明受力图的作法及注意事项。例1（教材例1-1，P5）例2（教材例1-2，P5）例3 重力为P的圆球放在板AC与墙壁AB之间，如图1-21a所示。设板AC重力不计，试作出板与球的受力图。解：先取球为研究对象，作出简图。球上主动力约束反力有F 和FND NE

，均属光滑面约束的法向反力。受力图如图1-21b所示。再取板作研究对象。由于板的自重不计，故只有A、C、E处的约束反力。其中A处为固定铰支座，其反力可用一对正交分力F、F处为柔索约束，其反力为拉力

；E处Ax By T的反力为法向反力图如图1-21c所示。

，要注意该反力与球在处所受反力FNE

为作用与反作用的关系。受力例4 图1-22所示为一起重机支架，已知支架重量、吊重。试画出重物、吊钩、滑与支架以及物系整体的受力图。图1-21解：重物上作用有重量G和吊钩沿绳索的拉力F、FT1 T2

(图1-22d)。工程力学基础 14吊钩受绳索约束，沿各绳上画拉力（图1-22c）滑车上有钢梁的约束反力T1 T2 T3F、FR1

及吊钩绳索的拉力F′

（图。T3支架上有A点的约束反力F 、

，B

及滑车滚轮的压力F′ 、NAx′ ，支架自重（图。R2

NAy

NB R1整个物系作用有、FF 、F ，其余为内力，均不显示（图。NB NAx NAy图1-22例5 画出图1-23bc两图中滑块及推杆的受力图，并进行比较。图1-23a是曲柄滑块机构，图1-23d是凸轮机构。解： 分别取滑块推杆为分离体画出它们的主动力和约束反力其受力1-23c所示。滑块上作用的主动力FR

图1-23与F的交点在滑块与滑道接触长度范围以内，其合力使滑块单面靠紧滑道，故产生一个与约束面相垂直的反力F、F、

三力汇交。推杆上的主动力N R N工程力学基础 15F、FR

的交点在滑道之外，其合力使推杆倾斜而导致D两点接触，故有约束反力F 。NB ND画受力图时，须注意以下几点：有时为了简便起见，可以在题图上画受力图，但要明确，这时整体所受的约束实际上已被解除。它们之间结合处的反力是内力不必画出。而当两个相互连接的物体被拆开时，其连接处的约束反力是一对作用力与反作用力，要等值、反向、共线地分别画在两个物体上。若机构中有二力构件，应先分析二力构件的受力，然后再分析其它作用力。画受力图可概括为：“据要求取构件，主动力画上面；连接处解约束，先分析二力件。”工程力学基础 16第四节力的投影合力投影定理一、力的投影概念从力矢量F的两端AB分别向x轴作垂足a,bab称为力F在xX表示（图，x称为投影轴。若力F与X轴正向夹角为α，则有：X=FcosαF B B FA ) αXa

x'Xb x b

αA x'a x(a)

(b)图1-24力在轴上的投影是代数量，其符号可直观判断。从a到b与x（）（）将力平行移动，此力在同一轴上的投影值不变。二、力在直角坐标轴上的投影F（b、abFxy轴上投影的aF在x轴和y轴上的投影分别计作FF，若已知F的大小及其与x轴 图1-25x y所夹的锐角α ，则有：FFcosx （1-2）FFsiny如将FFF的值与在同轴上的投影F

相等。但须注意，x y x y力在轴上的投影是代数量，而分力是矢量，不可混为一谈。若已知F、F值，可求出F的大小和方向，即：x yF F2F2

工程力学基础 17x ytanF Fy x

（1-3）三、合力投影定理设刚体上作用有一个平面力系F、F、…、F，据式（1-1）有1 2 nF=F+F+…+F=∑FR 1 2 n将上式两边分别向x轴和y轴投影，即有F F

FRx 1xF FRy 1y

2x nxF F2y

x （1-4） Fy式（1-4）即为合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。若进一步按式（1-3）运算，即可求得合力的大小及方向，即F (F

)2(

)2xRytanF F xRyy x

（1-5）例1 一固定于房顶的吊钩上有三个力FFF，其数值与方向如图1-26所示。用解析法求此三力的合力。

1 2 3图1-26解：建立直角坐标系，并应用式，求出F =F+F+FRx 1x 2x 3x=732N+0– 2000N×cos30°=-1000NF =FRy

+F+F2y 3y再按式（1-5）得

=0– 732N– 2000N×sin30°=-1732N工程力学基础 18(F)2(F)2(F)2x yRtanF Fy x60

1.732工程力学基础 19第五节力矩力偶一、力矩（力对点之矩）人们从实践中知道，力的外效应作用可以产生移动和转动两种效应。由经验知道，力使物体转动的效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点（或作用线）的位置有关。例如，用扳手拧螺母时（图，螺母的转动效应除与力F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。距离h显然，当力的作用线通过螺母的转动中心时，则无法使螺母转动。图1-27 图1-28可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。其定义为：力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线距离h的乘积。记作M±Fho式中，点O表示力使物体绕点O转动效果的大小，而正负号则表明：M是一个代数量，可以用它来描述物体的转动方向。通常规定：使物体逆时针o方向转动的力矩为正，反之为负。力矩的单位为牛顿·米（N·m。根据定义，图1-27中所示的力F1

对点O的矩为M（F）＝-Fh＝-Fhsinαo 1 11 1由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。F对点OOAB1-28（）（）前述扳手通过螺母中心的情况即属于第种情况。二、力偶与力偶矩1、力偶的定义在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、方向相反但不在同一作用线上的工程力学基础 20平行力作用。例如图1-29不共线的平行力组成的力系称为力偶，此二力之间的距离称为力偶臂。力偶对物体作用的外效应是使物体单纯地产生转动运动的变化。2、力偶矩及力偶的三要素

图1-29在力学上，以F与力偶臂d的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并记作或M。即：M（F，F'）=M=±Fd力偶矩的大小也可以通过力与力偶臂组成的三角形面积的二倍来表示，如图1-30所示，即：M=±2△OAB一般规定，逆时针转动的力偶取正值，顺时针取负值。力偶矩的单位为N·m或N·mm。力偶对物体的转动效应取决于下列三要素：。。凡是三要素相同的力偶则彼此等效，即它们可以相互置 图换，这一点不仅由力偶的概念可以说明，还可通过力偶的性质作进一步证明。3力偶的性质性质1 力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。证明：设在刚体某平面上A、B两点作用一力偶M=Fd，现求此力偶对任意点O的力矩。取x表示矩心O到F'之垂直距离，按力矩定义，F与F'对O点的力矩和为M（F）+M（F'）＝F（d-x）+Fx＝Fdo o即 M（F）+M（F'）＝o o不论O点选在何处，力偶对该点的矩永远等于它的力偶矩，而与力偶对矩心的相对位置无关。性质2 由图1-31可见力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，故力偶无合力，力偶能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。工程力学基础 21力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任。由于上述性质，所以对力偶可作如下处理：力偶在它的作用面内，可以任意转移位置。 图1-31其作用效应和原力偶相同，即力偶对于刚体上任意点的力偶矩值不因移位而改变。小、方向以及力偶臂的大小。而力偶的作用效应保持不变。各图中力偶的作用效应都相同。力偶的力偶臂、力及其方向既然都可改变，就可简明地以一个带箭头的弧线并标出值来表示力偶，如图1-32d所示。图1-32工程力学基础 22第六节 力的平移作用在刚体上A点处的力一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点O的矩。这就是力的平移定理1-33OF′″（b，则FF对O点的矩，即M＝Mo（F）＝Fd于是作用在A点的力F就与作用于O点的平移力F′和附加力偶M的联合作用等效，如图2-19c所示。图1-33力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产生的旋转作用。如图1-34所示。圆周力F作用于转轴的齿轮上，为观察力F的作用效应，将力F轴心O′作用于轴上，同时有附加力偶M使齿轮绕轴旋转。再以削乒乓球为例（图，分析力F对球的作用效应，将力F′决定球心的轨迹，而附加力偶则使球产生转动。图1-34图1-35工程力学基础 23第七节平面力系的简化合力矩定理如果力系中所有的力的作用线都在同一个平面内，则称该力系为平面力系。一、平面力系的简化F、FF2-22a1 2 n点O，称为简化中心。根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个汇交于O点的平面汇交力系F′

、F′ 、…、F′ ，以及平面力偶系M、M、…M，如图1-36b所示。1 2 n 1 2 n(1)平面汇交力系F′图1-36c所示。

、F′1

2

可以合成为一个作用于O点的合矢量F′ 如n RF′ ＝∑F′＝∑FR它等于力系中各力的矢量和。显然，单独的 F′图1-36

不能和原力系等效，它被称为原力系的主R矢。将式上式写成直角坐标系下的投影形式：F'R F F

F Fx 1x 2x

nx xF' FRy 1y

F F F2y ny y因此主矢F′ 的大小及其与x轴正向的夹角分别为：RF' F2F2 (F)2(F)2R Rx Ry x yF F

(2-12)arctan F

arctan yFRx x（2）附加平面力偶系M、M、…、Mn可以合成为一个合力偶矩M，即1 2 oM＝M+M+…+M＝∑Mo 1 2 n o显然，单独的Mo

也不能与原力系等效，因此它被称为原力系对简化中心O的主矩。综上所述，得到如下结论：平面一般力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。原力系与主矢F′

主矩M的联合作用等效主矢F′ 的大小和方向与简化中心的选择R o R无关。主矩Mo

的大小和转向与简化中心的选择有关。工程力学基础 24平面一般力系的简化方法，在工程实际中可用来解决许多力学问题，如固定端约束问题。固定端约束是使被约束体插入约束内部被约束体一端与约束成为一体而完固定，既不能移动也不能转动的一种约束形式。工程中的固定端约束是很常见的，诸如：机床上装卡加工工件的卡盘对工件的约束（图 a；大型机器中立柱对横梁的约束（图；房屋建筑中墙壁对雨篷的约束（图；飞机机身对机翼的约束（图。固定端约束的约束反力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系，当外力为平面力系时，约束反力所构成的这个分布力系也是平面力系。由于其中各个力的大小与方向均难以确定，因而可将该力系向A个反力偶矩来表示，这就是固定端约束的约束反力，如图1-38图1-37图1-38二、平面一般力系简化结果的讨论由前述可知，平面一般力系向一点O简化后，一般来说得到主矢F′ 主矩M，但这并R o不是简化的最终结果，进一步分析可能出现以下四种情况：（1）F′ ＝0，M≠0；R o说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩，此时主矩与简化中心无关。工程力学基础 25（2）F′ ≠0，M＝0；R o说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心，此时F′ 就R是原力系的合力F。R（3）F′ ≠0，M≠0；R o这种情况还可以进一步简化根据力的平移定理逆过程可以把F′ 和M合成一个合力R oF。合成过程如图1-39所示，合力F的作用线到简化中心O的距离为：R RoodM MooF F'R R（4）F′

＝0，M＝0；

图1-39R o这表明：该力系对刚体总的作用效果为零，即物体处于平衡状态。三、平面江汇交力系及其平衡条件设刚体上作用有一个平面汇交力系F、F、…、F，各力汇交于A点（图。根据1 2 n力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图平面汇交力系可简化为平面共点力系。a） b）图1-40连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。在图1-40b中，先合成力F与F（图中未画出力平行四边形，可得力

，即F＝F+F；再将F

与F合成为力1 2F，即F＝F+F；依此类推，最后可得

R1 R1 1 2

R1 3R12nR2 R2R12n

R1 3

F＝F+F+…+F＝∑Fi工程力学基础 26式中FR

即是该力系的合力。故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。因合力与力系等效，故平面汇交力系的平衡条件是该力系的合力为零。四、平面力偶系的合成与平衡方程作用在物体上同一平面内的若干力偶，总称为平面力偶系。1、平面力偶系的合成设在刚体某平面上有力偶M1

、M的作用，如图1-41a所示，现求其合成的结果。2图1-41在平面上任取一线段B1-41bMdF 1, Fd1 2

M d2于是在A、B两点各得一组共线力系，其合力为FR

与F'′′，如图1-415c所示，且有RF＝F'＝F FR R 1 2F与F'为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，所以有R RM＝FR

d＝(F1

-F)d＝M＋M2 1 2若在刚体上有若干个力偶作用,采用上述方法叠加,可得合力偶矩为M＝M+M+…+M＝∑M1 2 n和。2、平面力偶系的平衡条件由合成结果可知，要使力偶系平衡，则合力偶的矩必须等于零，因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即∑M＝0平面力偶系的独立平衡方程只有一个，故只能求解一个未知数。例1 四连杆机构在图1-42所示位置平衡，已知OA=60cm，O1

B=40cm，作用在摇杆OA上的力偶矩M1

=1N·m，不计杆自重，求力偶矩M2

的大小。工程力学基础 27解：1）受力分析

图1-42OA杆分析，如图1-426bM1AF及F，o A而连杆AB为二力杆，所以FA

的作用方向被确定。再取OB杆分析，如图1-42c所示，此时1杆上作用一个待求力偶M，此力偶与作用在O、B两端点上的约束反力构成的力偶平衡。2 1列平衡方程∑M=0， M－F×OA=01 AF M N1

（a）A OA1-42cF×O＝0B 1 2

（b）因 F=F=1.67NB A故由式（b）得M＝F×OB×0.5＝1.67N×0.4m×0.5＝0.33N·m2 A 1五、合力矩定理在计算力系的合力对某点的矩时，除根据力矩的定义计算外，还常用到合力矩定理，即：平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点力矩的代数和。证明：如图1-43所示，设力F、F作用于刚体上的A点，其合力为F，任取一点O为矩心，过O作1 2 ROA之垂线为x轴，并过各力矢端B、C、D向x轴引垂线，得垂足b、c、d，按投影法则有按合力投影定理，有：

1x

，2x

RxOd＝Ob+Oc各力对O点之矩，可用力与矩心所形成的三角形面积的两倍来表示，故有工程力学基础 28M（F×Ob1M（F×Oc2M（F）＝2△OAD＝OA×Odo R显然M（F）＝M（F）M（F） 1-43o R o 1 o 2若在A点有一平面汇交力系F、F、…、F作用，则多次重复使用上述方法，可得1 2 nM（F）＝∑Mo R o上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，对于其它力系，如平面任意力系、空间力系等，也都同样成立。在计算力矩时，当力臂较难确定的情况下，用合力矩定理计算更加方便。例2 图1-44a所示圆柱直齿轮的齿面受一啮合角α＝20°的法向压力F＝1kN的作用，n齿面分度圆直径d＝60mm。试计算力对轴心O的力矩。解1：按力对点之矩的定义，有onnM（F）Fonn

h

dn2cos28.2Nmn解2：按合力矩定理将F沿半径的方向分解成一组正交的圆周力F＝F与cosα与径向力F＝F

cosα 。n t n r n有 M（F）＝M（F）＋M（F）o R o 1 o 2＝Fr＋0＝Ft n

cosαr＝28.2N·ma） b）图1-44例3 一轮在轮轴B处受一切向力F的作用，如图1-45a所示。已知r和α 。求此力对轮与地面接触点A的力矩。工程力学基础 29a） b）图1-45：由于力F对矩心AF在BFF，x y再应用合力矩定理，有M（F）＝M（F）+M（F）A A x A yM（F）＝－FCAA x x＝－Fx

(OA– (R-)M（F）＝FrsinαA y y＝FsinαrsinαnαM（）＝αR-α)+nαA＝F(r– )例4（教材例1-3，P10） 例5（教材例1-4，P10）工程力学基础 30第八节平面力力系的平衡方程1、平面一般力系的平衡方程基本形式若力系是平衡力系，则其主矢、主矩必同时为零。因此，平面一般力系平衡的充要条件是F'R

0(F(F)2(F)2Mxyo(F)0Mo 故得平面一般力系的平衡方程为

F 0 x （2）F 0 y Mo(F)0上式满足平面一般力系平衡的充分和必要条件，所以平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解最多三个未知量。用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。平衡方程式的形式还有二矩式和三矩式两种形式。二矩式F 0 x （3）附加条件：AB连线不得与x轴相垂直。三矩式

M (F)0A MB(F)0M (F)0 A （4）M (F)0B MC(F)0附加条件：A、B、C三点不在同一直线上。式（3）和（4）是物体取得平衡的必要条件，但不是充分条件，读者可自行推证。几个平面特殊力系的平衡方程A、平面汇交力系：平面力系中所有力的作用线汇交于一点的力系称为平面汇交力系。平面汇交力系结果为一合力，故自然满足式（2）的第三式，所以列平衡方程时只列其中的第一、第工程力学基础 31二式即可。B直角坐标轴时使其中一个与各力平行（如y轴，则第一式自然满足，只要列其它两式即可。2、平面一般力系平衡方程的解题步骤11-46所示一圆柱体放置于夹角为αV型槽内，并用压板D夹紧。已知压板作用于圆柱体上的压力为F。试求槽面对圆柱体的约束反力。解：（1）取圆柱体为研究对象，画出其受力图如图1-46b所示；列平衡方程式求解未知力，由 ∑F=0得：xF cosNB 2

F cosNC

0 ∑F=0， F

sinF sinF0 （B）y NB

2 NC 2由式（A）得 F =FNB NC由式（B）得 F FNB NC

F 2sin2讨论 由结果可知F 与FNB NC

均随几何角度α而变,角度α愈小则压力F 或FNB NC就愈大，因此，α角不宜过小。a） b）图1-46例2 图1-47所示为一简易起重机利用绞车和绕过滑轮的绳索吊起重物其重力G20kN，各杆件与滑轮的重力不计。滑轮B的大小可忽略不计，试求杆AB与BC所受的力。工程力学基础 32解（1）取节点B为研究对象，画其受力图，如图1-47bABBC均为两力构件，对B的约束反力分别为F1

与F，滑轮两边绳索的约束反力相等，2即T＝G。列平衡方程式求解未知力；∑F＝0，Fcos30°-F-Tsin30°＝0 （1）x 2 1 1∑F＝0，Fsin30°-Tcos30°-G＝0 （2）y 2 12由式得 F＝74.6kN a） b）2代入式得 F＝54.6kN 图1-471F与F1 2

的方向与图示一致，即AB杆受拉力，BC杆受压力。例31-48akN，绳与斜面平行，α＝30°，a＝0.75m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对车轮的约束反力。图1-48解：（）取小车为研究对象，画受力图（图。小车上作用有重力，钢丝绳的拉力FT

，轨道在、B处的约束反力F 和F 。NA NB（2）取图示坐标系，列平衡方程∑F＝0， －F+Psinα=0x T∑F＝0， F +

－Pcosα＝0y NA NB∑M0， Fsinα －Pacosα＝0O解得 FT

NB=5kN，FNB

=5.33kN，FNA

=3.33kN例4悬臂梁如图1-49所示，梁上作用有均布载荷，在B端作用有集中力和力偶为，梁长度为，已知q和（力的单位为，长度单位为。求固定端的约束反力。解：（）取B梁为研究对象，画受力图（图，均布载荷q可简化为作用于梁工程力学基础 33中点的一个集中力FQ

＝q×2l。列平衡方程∑F＝0， F =0x Ax∑M0， l＝0，A A故 M=A Q

Q

－2ql2＝ql2∑F＝0， F+＝0y Q故 F＝FQ图1-49例5（教材例1-5，P12）例6（教材例1-6，P12）3、物体系统的平衡物系平衡时，组成系统的每一个物体也都保持平衡。若物系由n面一般力系作用的物体至多只能列出3个独立的平衡方程，对整个物系至多只能列出3n个独立的平衡方程。若问题中未知量的数目不超过独立的平衡方程的总数，即用平衡方程可以解出全部未知量，这类问题称为静定问题。反之，若问题中未知量的数目超过了独立的平衡方程的总数，则单靠平衡方程不能解出全部未知量，这类问题称为超静定问题或静不定问题。在工程实际中为了提高刚度和稳固性，常对物体增加一些支承或约束，因而使问题由静定变为超静定。例如图1-50ab为静定结构，图b为静不定结构。在用平衡方程来解决工程实际问题时，应首先判别该问题是否静定。本章只研究静定问题。图1-50工程力学基础 34图1-51求解物系平衡问题的步骤是：适当选择研究对象，画出各研究对象的分离体的受力图（研究对象可以是物系整体、单个物体，也可以是物系中几个物体的组合。。研究对象的受力图可分为两类，一类是未知量数等于独立平衡方程的数目，称为是可解的；另一类是未知量数超过独立平衡方程的数目，称为暂不可解的。若是可解的，应先取其为研究对象，求出某些未知量，再利用作用与反作用关系，扩大求解范围。有时也可利用其但有三个未知量汇交于一点，则可取该三力汇交点为矩心，列方程解出不汇交于该点的那个未知力。这便是解题的突破口，因为由于某些未知量的求出，其它不可解的研究对象也可以成为可解了。这样便可确定求解顺序。。由于同一问题中有几个受力图，所以在列出平衡方程前应加上受力图号，以示区别。例7 如图1-53a所示的人字梯ACB置于光滑水平面上，且处于平衡，已知人重为夹角为α，长度为。求B和铰链C处的约束反力。解（）选取研究对象，画出整体及每个物体的受力图如图cd所示。AC和BC杆所受的力系均为平面一般力系，每个杆都有四个未知力，暂不可解。但由于物系整体受平面平行力系作用，故是可解的。先以整体为研究对象，求出F、F，则AC和A BBC便可解了，故再取BC为研究对象，求出C处反力。图1-53工程力学基础 35取整体为研究对象，列平衡方程求解 M (F)0,

F 2sin

G2lsin0A B 2 3 2故 F GB 3 F 0, Fy

F G0B故 F GF GG2GA B 3 3BC杆为研究对象，列平衡方程求解F 0, F F 0y B Cy故M (F)0,

F FCy F lsinF

G32lsinF

2lcos0E B3

Cy 3 2

Cx 3 2故 F GtanCx 2 2例8 一构架如图1-54a所示，已知F和且F1

=2F。试求两固定铰链A、B和铰链C的约束反力。图1-54解：（1）ACD及BEC为研究对象，画出各分离体的受力图，如图2-33b、c（2）2-33b2-33c力汇交于一点，可先求出F和F 。Bx Cx故 MC

(F)0, FBx

2aFa0F FBx 2故 Fx

0,

F FCx

Fa0F FF FFFCx Bx 2 2工程力学基础 36解出F′Cx

后，图1-54b中的FCx

变为已知力，因而可解。M (F)0A

F aFCy

2aF1

2a0故 F 2F2F 2F2F2F

F3FCy 1 Cx 1 2 1F 0, F F F0y 0,

CyFF

1F(2F

F)FFx

1 Cy 1 1F 0Cx故求出FCy

后，再转图1-54c求解FBy

F F FCx 2∑F＝0， F＝0y By Cy故 F=＝3FBy Cy例9组合梁由AC和CE用铰链连接，载荷及支承情况如图1-55a所示，已知：l＝8m，F＝5kN,均布载荷集度q＝2.5kN/m,力偶的矩M＝5kN·m。求支座A、B、E及中间铰C的反力。解（）分别取梁E及C为研究对象，画出各分离体的受力图，如图c所示。其中FQ1

和F 分别为梁CE梁ABC上均布载荷的合力。Q2列平衡方程求解 图2-34c有五个未知力，不可解；图1-55b有三个未知力，可解。F0, F

cos450x F 0, Fy

REF F

sin450M (F)0, FC

15FRE

sin4540得 F＝3.54＝2.5kN，F＝2.5kNRE Cx Cy图1-55ABC为研究对象，列平衡方程F 0

工程力学基础 37F F 0x Ax Cx F 0,

F FF

F 0y Q2 Cy RB M (F)0

F1F 2F 3

40A RB Q2 Cy得 F＝5，F＝-2.5（方向向下F＝5Ax Ay RB工程力学基础 38第九节空间平面力系力系一样，空间力系也可以求出各力在某坐标轴上的投影。一、力在直角坐标轴上的投影一次（直接）投影法 如果一个力F的作用线与直角坐标轴z正向对应的夹角分别为α、β、γ（称为方向角，如图a所示，则可直接将力F向三个坐标轴投影，得xFFcosxFFcos

（1）yFFcosz其中， 分别为力F与z三坐标轴间的夹角cosαcosβcosγ称为力的方向余弦，有如下关系：cos2α+cos2β+cos2γ=1二次投影法 当力F与y坐标轴间的夹角不易确定时可先将力F投影到坐标平面xoy上，得一力Fxy

，进一步再将Fxy

向y轴上投影。如图1-56b所示。 为力F与z轴间的夹角，φFxy

与xF在三个坐标轴上的投影为：FF

cosFsincosxyFF

sin

Fsinsin

（2）FFcosz图1-56具体计算时，可根据问题的实际情况选择一种适当的投影方法。力和它在坐标轴上的投影是一一对应的，如果力F的大小、方向是已知的，则它在选定的坐标系的三个轴上的投影是确定的；反之，如果已知力F在三个坐标轴上的投影F、F、x yFF的大小、方向也可以求出，其形式如下z工程力学基础 39F F2F2F2 （3）x y zFcos x FF F cos y （4）F z cos F z F 图1-57例3-1 已知圆柱斜齿轮所受的啮合力F＝1410N，齿轮压力角α螺旋角β＝25°n（图。试计算斜齿轮所受的圆周力F、轴向力F和径向力F。t a r解： 取坐标系如图1-57a所示，使、z分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向。先把啮合力Fn

向z轴和坐标平面xoy投影，得F＝-F＝-Fsinαr nF在xoyFn

，其大小为

＝-1410Nsin20°=-482NF＝Fcosα＝1410Ncos20°=1325N然后再把Fxy

xy n投影到x、y轴得F＝F＝-F x a xy＝-Fcosαsinβn＝-1410Ncos20°sin25°＝-560NF＝F＝-Fcosβ＝-Fcosαcosβt n＝-1410Ncos20°cos25°＝-1201N工程力学基础 40二、力对轴之矩力对轴之矩的概念在工程中，常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引入力对轴之矩的概念。现以关门动作为例，图1-58a中门的一边有固定轴，在A点作用一力刚体的转动效应，可将该力F分解为两个互相垂直的分力：一个是与转轴平行的分力F＝Fzsinβ ；另一个是在与转轴垂直平面上的分力F＝cosβ。由经验可知，Fz

xy不能使门绕z轴转动，只有分力Fxy

才能产生使门绕z轴转动的效应。如以d表示Fxy

图1-58作用线到z轴与平面的交点O的距离，则Fxy

对O点之矩，就可以用来度量力F使门绕z轴转动的效应，记作M（F）＝±F

d （5）o xy力对轴之矩在轴上的投影是代数量，其值等于此力在垂直该轴平面上的投影对该轴与此z顺时针方向转动为负（或用右手法则确定其正负。由式（）可知，当力的作用线与转轴平行（F＝0，或者与转轴相交时（＝0，即当xy力与转轴共面时，力对该轴之矩等于零。力对轴之矩的单位是N·m。合力矩定理FF、…、FF

对某轴之矩等于各分力对1 2 n R R同轴力矩的代数和。可写成M（F）=∑M（6）z R z式（6）常被用来计算空间力对轴求矩。工程力学基础 41三、空间力系的平衡方程及其应用空间一般力系的平衡条件和平衡方程某物体上作用有一个空间一般力系F、F、…、F（图。若物体不平衡，则力系可1 2 n能使物体沿zz三轴的移动状态不变，绕该三轴的转动xx即∑Fx

=0；同理可得∑Fy

=0，∑Fz

=0。当物体绕x轴的转动状态不变时，该力系对x轴力矩的代数和为零，即∑M(F)=0，同理可得∑M(F)=0，∑M(F)=0。由此可见，空间一般力系的平衡方程为

x y zM(F)0,F,F ,FM(F)0,x y zM(F)0,

(F)0

（7）x y x式（7）表达了空间一般力系平衡的必要和充分条件为：各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴之矩的代数和都必须分别等于零。利用该六个独立平衡方程式，可以求解六个未知量。图1-59 图1-60 图1-70例3-3OB和钢绳C组成。已知θ=φ＝O点吊一重量G2N的重物（图。试求两杆和钢绳所受的力。图中、、D四点都在同一水平面上，杆和绳的重量都忽略不计。解：（1）选研究对象，画受力图。取铰链O为研究对象，设坐标系为Dxyz，受力如图3-9b所示。（2）列平衡方程式，求未知量，即∑F=0， Fx sinφ=0工程力学基础 42∑F=0， Fy cosφ=0∑F=0， -G=0zF

1.2

2.4kN 3-9sin sin30解上述方程得F=Fcosθcosφ=2.4kNcos30°cos60°=1.04kNAF=θnφ=4N°°8B例3-5传动轴如图1-72Bd=17.3压力角αN·m。如轮轴自重和摩擦不计，求传动轴匀速转动时B。图1-72解：（1）取整个轴为研究对象。设B两轴承的反力分别为F FF F ，并沿Ax Az Bx Bz、z轴的正向，此外还有力偶M和齿轮所受的啮合力（2）取坐标轴如图所示，列平衡方程M (F)

MFcos20d20yM (F)xM(F) z

Fsin20220mmF 332mm0BzF 332mmFcos20220mm0BxF xF z

F F Fcos200BxF F Fsin200Az Bz联立求解以上各式得 F=12.67FBz

=-2.87kN， FBx

=7.89kN，F=4.02kN， FAx

=-1.46kN本章练习：教材P16-17页第1-1、1-3、1-5、1-7、1-11。工程力学基础 43第二章拉伸、压缩与剪切一、材料力学的基本假设由各种固体材料制成的构件，在载荷作用下将产生变形，统称为变形固体。为便于分析和简化计算，对变形固体作以下基本假设。连续性假设 即认为组成构件的物质毫无空隙地充满到整个构件的几何容积体内。均匀性假设 即认为材料的各个部分的力学性能完全相同。各向同性假设 材料在各个方向的力学性能完全相同。若材料沿不同方向呈现不同的力学性能，则称为各向异性。本书主要讨论各向同性材料。从微观来看，以上的假设是不存在的，但从宏观来看，按统计学的规则，材料的力学性依据上述假设所得到的理论，满足一般工程的要求，是符合实际的。小变形假设认为构件受力后的变形量与构件原始尺寸相比是极其微小的。这样，在研究构件的平衡二、杆件的基本受力与变形形式实际的工程结构中，许多承力构件如桥梁、汽车传动轴、房屋的梁、柱等，其长度方向的尺寸远远大于横截面尺寸，这一类的构件在材料力学的研究中，通常称作杆件，杆的所有横有横截面的形状和尺寸都相同的杆称为等截面杆；不同者称为变截面杆。材料力学主要研究等截面直杆。杆件在不同的外力作用下，将产生不同形式的变形。主要的受力和变形有如下几种：轴向拉伸与压缩当作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线重合，杆将产生轴向拉伸或压缩变形，如图2-1所示。图2-1 图2-2剪切工程力学基础 44当大小相等、方向相反、作用线非常接近的两个力沿着垂直于轴线方向施加于杆件时，将产生剪切变形如图2-2所示。扭转轴。弯曲当外力施加于杆的某个纵向平面内并垂直于杆的轴线，或者在某个纵向平面内施加力偶时，杆将发生弯曲变形，其轴线将由直线变成一曲线，如图2-4所示。承受弯曲的杆件称为梁。图2-3 图2-4第一节轴向拉伸与压缩的概念和实例工程中有很多承受拉伸或压缩作用的构件。例如图2-5所示的吊架，在重物作用下，BC杆受到拉伸，而AB杆受到压缩。图2-5起重机吊架1-35a2-6b工程力学基础 45a） b）图2-6 拉伸与压缩第二节轴向拉伸或压缩时横截面上的内力一、内力的概念杆件内部各部分之间的相互作用力称为内力。内力随外力增大而加大，到达某一限度时就会引起杆件的破坏，因而它与杆件的强度是密切相关的。二、截面法 轴力F作用的杆件(图)，用平面1—12-7b外力F作用下，要使之保持平衡，在截面1—1上，右段对其必有作用力。设其合力为F，则Nx由平衡方程 x

0可知，FN

=F。根据作用与反作用定律，在右段的截面1´一1´上(图2-7c)，左段对其也必作用有大小相等、方向相反的力，其合力F´仍等于F。N N图2-7 拉杆的内力这种取杆件的一部分为研究对象，利用静力学平衡方程求内力的方法，称为截面法。截面法求内力可按以下三个步骤进行：截 沿欲求内力的截面，用假想平面把杆件分成两部分。代 取其中一部分为研究对象，画出其受力图。在截面上用内力代替移去部分对留部分的作用。求 列出研究对象的静力平衡方程，确定未知的内力。工程力学基础 46对于受轴向拉、压的杆件，因为外力的作用线与杆件的轴线重合，所以内力的合力芦N的作用线也必然与杆的轴线重合，这种内力称为轴力。轴力或为拉力，或为压力。当轴力的向朝向截面时，则杆受压，规定轴力为负。对于在不同位置受多个力作用的杆件，从杆的不同部位截开，其轴力是不相同的。所以必须分段用截面法求出各段轴力，从而确定其最大轴力。例1（教材P22例题2-1）▲求轴力方法总结：拉（压）外力的代数和。轴力图的作法：以横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示轴力（大小和正负号。例2 图2-8a表示一等截面直杆，其受力情况如图所示。试作其轴力图。（）图，求约束反力F；AA1234根据 =0， －F－F+F－F+F=0A1234得 F=－40kN＋55AkN－25kN＋20kN=10kN求各段横截面上的轴力并作轴力图。（5-1）式，因而不必再逐段截开及作研究段的分离体图。在计算时，取截面左侧或右侧均可，一般取外力较少的轴段为好。AB段： F=F=10kN（考虑左侧）N1 ABC段： F=10kN＋40kN=50kN（考虑左侧）N2CD段 FN3

=20kN－25kN=-5kN (考虑右) 图2-8DE段： F=20kN（考虑右侧）N4由以上计算结果可知，杆件在CD段受压，其它各段均受拉。最大轴力FNmax

在BC段，其轴力图如图2-8c所示。工程力学基础 47第三节轴向拉伸或压缩时横截面上的内力一、应力的概念同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力FN

并不能判断拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图2-9而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。要了解受力杆件在截面m-m上的任意一点C处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m处截开，在截面上围绕C点取微小面积ΔA上分布内力的合力为Δ2-9a)，将Δp除以面积ΔA，即ppmA

（1）p称为在面积ΔA上的平均应力，它尚不能精确表示C点处内力的分布状况。当面积无限趋m近于零时比值p的极限，才真实地反映任意一点C处内力的分布状况，即Ap dpplim A0A dA

（2）上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该点处的总应力。其方向一般既不与截面垂（表示。将总应力用正应力和切应力这两个分量来表达具有明确的物理意义，因为它们和材料的两类破坏现象——拉断和剪切错动——相对应。因此，今后在强度计算中一般只计算正应力和切应力而不计算总应力。应力的单位为“帕”，用Pa表示。1Pa=1N/m2,常用单位为兆帕MPa，1MPa=106Pa=1MN/mm2=1N/mm2，1GPa=109Pa。二、轴向拉伸和压缩时横截面上的正应力abF使杆发生变形，此时直线cd分别平移至'且仍保持为（图工程力学基础 48面，变形后仍保持为平面，仅沿轴线产生了相对平移，并仍与杆的轴线垂直。这就是平面设。根据平面假设，等 图 2-10直杆在轴向力作用下，其横截面间的所有纵向的变形伸长量是相等的。由均匀性假设，横截N面上的内力应是均匀分布的(图2-10bN

一致，垂直于横截面，故横截面上的正应力可以直接表示为F N （3）A式中，—正应力，符号由轴力决定，拉应力为正，压应力为负；F—横截面上的内力（轴力；NA—横截面的面积。例3 例2中，设等直杆的横截面面积mm2，试求此杆各段截面上的应力，指出此杆危险截面所在的位置。解: 根据前面已求得的各段轴力，各段截面上的应力为AB段：

F 10103N N1 20MPaAB A 500mm2BC段：

F 50103N N2 100MPaBC A 500mm2CD段：

F 5103N N3 10MPaCD A 500mm2DE段：

F 20103N N4 40MPaDE A 5002由以上计算可知，在BC段应力最大为100MPa，故BC段各截面为危险截面。例4 一钢制阶梯杆如图1a所示。各段杆的横截面面积为A0mA1 2，A0，试画出轴力图，并求出此杆的最大工作应力。3图2-11解: （1）求各段轴根据式得工程力学基础 49F=F=120kNN1 1F=F－F=120kN－220kN=－100kNN2 1

2F=F=160kNN3 4作轴力图 由各横截面上的轴力值，作出轴力图（图。求最大应力 根据式得AB段

F 12104N N1 75MPa

（拉应力）AB A 16002BC段

F

100103N 160MPa （压应力）BC A 625mm2F 160103NCD段

N3 178MPa （拉应力）CD A 900mm2由计算可知，杆的最大应力为拉应力，在CD段内，其值为178MPa。d例5 圆杆上有一穿透直径的图2-12a)。已知圆杆直径mm，槽的宽度为4，设拉力kN，试求最大正应力（槽对杆的横截面积削弱量可近似按矩形计算。解: （1）求内力：杆的轴力图见（图F=F=30kNN确定危险截面面积：由轴力图可知，受力杆件任意截面上的轴力相段的横截面积为 图2-12π d d2 A d24

d4

π1NN

30103N max

A 20mm2

140MPa4 π1工程力学基础 50第四节轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短由实验可知，当杆沿轴向伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相应缩小（或增大直于轴线方向的横向变形。一、纵向变形设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F的作用下，长度由l变为l（图1。杆件沿轴线方向的伸长为 Δ=l－l1拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。图2-13杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度的影响，将Δl除以或表示：=（1）l是量纲一的量，其符号与Δl的符号一致。二、胡克定律Δl与轴力F及杆N原长l成正比，与横截面面积A成反比。即Fl引入比例常数E，则上式可写为

l NAFll NEA

（2）上式称为胡克定律。F将式

N和（1）代入上式，可得A（3）这是胡克定律的另一形式。可表述为：当应力不超过比例极限时，则正应力与纵向线应式中的E工程力学基础 51为。材料的弹性模量由实验测定。弹性模量表示在受拉（压）力。由式越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA抗拉（压）。2-1。三、横向变形在轴向力作用下，杆件沿轴向的伸长（缩短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大向尺寸由b变为b（图，1Δb=bb1则横向线应变为 b （4）b也是量纲一的量。四、泊松比实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比值ν称为泊松比，亦称横向变形系数。即 (5a)由于这两个应变的符号恒相反，故有

(5b)泊松比是材料的另一个弹性常数，是量纲一的量，由实验测得。工程上常用材料的泊松比见表6-1。材料表2-1常用材料的E和E/GPa碳素钢200~2100.24~0.30合金钢185~2050.25~0.30灰口铸铁80~1500.23~0.27铜及其合金72.5~1280.31~0.42铝合金700.25~0.33例6 图2-14a为一阶梯形钢杆，已知杆的弹性模量C段的截面面积为AA，D段AB BC的截面面积为ACD所示。试求：杆截面上的内力和应力；杆的总变形。工程力学基础 52图2-14解：（1）求各截面上的内力BC段与CD段 F=－F=－10kN=－10kN （受压）N2 2AB段 F=F－F=30kN－10kN=20kN （受拉）N1画轴力图（计算各段应力

1 2F 20103NAB段 AB AAB

500mm2

40MPa （拉应力）BC段BCFN2AAB104N500mm220MPa（压应力）CD段CDFN2ACD104N200mm250MPa（压应力）杆的总变形全杆总变形Δl 等于各段杆变形的代数和，即ADΔl=Δl

+Δ

+Δ

F l= N1

F l+ N2

F l+ N2CDAD AB

BC CD EAAB

EA EABC CD将有关数据代入，并注意单位和符号，即得Δl=

1 (20103N)N)N)(100mm)AD 200103MPa =－0.015

500mm2 500mm2 200mm2 计算结果为负，说明整个杆件是缩短的。例8图2-15a所示杆系由两根钢杆1和2的角度，长度均为，直径均为。设结点A处悬挂一重物kNA的位移Δ。解：题意分析：A点的位移是由于两杆受力后伸长引起的，故应先求出各杆的伸长，因此，须求出各杆的轴力。以结点为研究对象，作受力图（2-15b）列平衡方程F=0， Fsin

sin=0x N2 N1F=0， Fcos+Fy N1 N2解上两式得工程力学基础 53PF=F=

（1）N1 N2

2cos求两杆的伸长 由题意可知 图2-15F l PlΔl=Δl= N1= （2）1 2 EA 2EAcosA=d2/4为杆的横截面面积。求结点的位移为了求位移Δ ，可假想地将两杆在点A处拆开，并在杆原长上分别增加长度Δl=AAA 1 1和Δl=AA。由于两杆在点A为铰接，变形后仍应铰结在一起，即应满足变形的几何相容条件。2 2于是，两杆伸长后的长度为BA、CA。因变形微小，可以切线代弧，过A、A分别作两杆的1 2 1 2垂线交于，由于两杆材料相同，受力、变形均对称，故必与A在同一铅垂线上，因而从图（2-15c）可得将式（2）代入式（3）得

Δ =A

Δl1co