5.5.1　第1课时　两角差的余弦公式

第1课时两角差的余弦公式第五章

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角差的余弦公式的推导过程.2.两角差的余弦公式的应用.学习目标同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式.导语随堂演练课时对点练一、两角差的余弦公式二、给值求值三、给值求角内容索引一、两角差的余弦公式问题1已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.提示P(cosα，sinα).问题2

观察右图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？提示A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα，sinα).连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1.问题3你还记得初中所学两点间的距离公式吗？由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.知识梳理两角差的余弦公式cos(α－β)＝

，其中α，β为任意角，简记作C(α－β).注意点：(1)该公式对任意角都能成立；(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和；(3)公式的逆用仍然成立.cos

αcos

β＋sin

αsin

β解析cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°√(2)求下列各式的值：解原式＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°反思感悟

两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.跟踪训练1

求下列各式的值：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°；解原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°二、给值求值问题4正弦、余弦、正切在每个象限内的符号如何？提示正弦在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦在一、四象限为正，二、三象限为负；正切在一、三象限为正，二、四象限为负.√反思感悟

给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝(α＋β)－β；③2β＝(α＋β)－(α－β).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα三、给值求角∵β＝α－(α－β)，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)反思感悟

已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.解∵α，β均为锐角，1.知识清单：(1)两角差的余弦公式的推导.(2)给角求值、给值求值、给值求角.2.方法归纳：构造法.3.常见误区：求角时忽视角的范围.课堂小结随堂演练1.cos20°等于A.cos30°cos10°－sin30°sin10°B.cos30°cos10°＋sin30°sin10°C.sin30°cos10°－sin10°cos30°D.sin30°cos10°＋sin10°cos30°√1234解析cos20°＝cos(30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°·sin10°.1234√2.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为√12341234所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)1234课时对点练1.下列各式化简错误的是A.cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos60°B.cos105°＝cos45°cos150°＋sin45°sin150°C.sin(α＋45°)sinα＋cos(α＋45°)cosα＝cos45°基础巩固123456789101112131415√16解析根据两角差的余弦公式知，A，B，C均正确，D选项错误.√1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415√1612345678910111213141516√所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα12345678910111213141516√√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)1234567891011121314151610.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值.解∵β为钝角，∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα综合运用√1234567891011121314151612345678910111213141516√12.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是解析sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，两式分别平方，然后相加即可.A.等腰三角形B.A＝60°的三角形C.等腰三角形或A＝60°的三角形D.不能确定√1234567891011121314151612345678910111213141516所以sinAsinC－sinAsinB＝cosAcosB－cosAcosC，所以cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosB＋sinAsinB，即cos(A－C)＝cos(A－B)，所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B或A＝60°，所以△ABC为等腰三角形或A＝60°的三角形.12345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151615.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9∶25，则cos(α－β)的值为√解析设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为9∶25，由图可得cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，＝sin2β