习题课　同角三角函数的基本关系

习题课同角三角函数的基本关系第五章

三角函数1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型.2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式.学习目标随堂演练课时对点练一、弦切互化求值二、sinθ±cosθ型求值问题三、条件恒等式的证明内容索引一、弦切互化求值例1已知tanα＝－4，求下列各式的值.(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sinαcosα；

反思感悟

已知tanα的值，求关于sinα，cosα齐次式的值的方法(1)tanα；解得tanα＝1.(2)sin2α＋sinαcosα＋1.二、sinθ±cosθ型求值问题所以sinθ－cosθ>0，反思感悟

已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：(1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ；(2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ；(3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2；(4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.上述三角恒等式告诉我们，若已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.解析由已知得(sinθ－cosθ)2＝2，－2三、条件恒等式的证明例3

已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.证明因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.反思感悟

含有条件的三角恒等式证明的常用方法(1)直推法：从条件直推到结论.(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明.(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.证明设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.即(m－n)2＝0，∴m＝n，1.知识清单：(1)弦切互化求值.(2)sinα±cosα型求值问题.(3)条件恒等式的证明.2.方法归纳：整体代换法.3.常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1”.课堂小结随堂演练√1234√1234√12341234课时对点练基础巩固12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516A.2 B.－2 C.3 D.－3√12345678910111213141516√√123456789101112131415164.已知sinθ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ等于

解析因为sinθ＋sin2θ＝1，所以sinθ＝1－sin2θ＝cos2θ，所以cos2θ＋cos4θ＝sinθ＋sin2θ＝1.12345678910111213141516A.3 B.－3 C.1 D.－1√解析由角α的终边落在第三象限，得sinα<0，cosα<0，12345678910111213141516√√√∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，1234567891011121314151612345678910111213141516综上可得，正确的有A，B，D.123456789101112131415167.已知asinα＋bcosα＝c，acosα－bsinα＝d，则a2＋b2_____c2＋d2(用>或＝或<填空).＝解析右边＝c2＋d2＝(asinα＋bcosα)2＋(acosα－bsinα)2＝a2(sin2α＋cos2α)＋b2(cos2α＋sin2α)＝a2＋b2＝左边.所以cosα＋sinα>0，12345678910111213141516123456789101112131415169.已知sinx－2cosx＝0.(1)求2sin2x－sinxcosx＋cos2x的值；解由sinx－2cosx＝0，可得tanx＝2，又由(1)知tanx＝2，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求sinθcosθ的值；12345678910111213141516(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由.又θ是△ABC的一个内角，∴0<θ<π，∴sinθ>0，∴△ABC是钝角三角形.12345678910111213141516综合运用11.若1＋cos2θ＝3sinθ·cosθ，则tanθ的值等于

√解析由1＋cos2θ＝3sinθ·cosθ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sinθ·cosθ，显然cosθ≠0，sinθ≠0，所以tan2θ＋2＝3tanθ，解得tanθ＝1或2.12345678910111213141516√得sinα＋3cosα＝5(3cosα－sinα)，所以tanα＝2.12345678910111213141516√∴sinA>0，cosA>0，整理得(2tanα＋1)(tanα＋2)＝0，12345678910111213141516拓广探究15.已知sinα，cosα是关于x的方程3x2＋ax－1＝0的两根，则实数a等于

√解析∵sinα，cosα是关于x的方程3x2＋ax－1＝0的两根，123456789101112131415161234567891011121314151616.已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sinθ和cosθ.(1)求k的值；12345