5.5.2　第1课时　简单的三角恒等变换(一)

第1课时简单的三角恒等变换(一)第五章

5.5.2简单的三角恒等变换1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切

公式.2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求

值问题.3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积

进行简单的化简、求值、证明.学习目标同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换.导语随堂演练课时对点练一、半角公式二、和差化积、积化和差三、三角函数式的化简、证明内容索引一、半角公式问题1

余弦的二倍角展开有几种形式？请写出.提示三种形式：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.知识梳理半角公式反思感悟

利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.二、和差化积、积化和差问题2

请写出两角和、差的正弦、余弦公式.提示sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.①将前两个公式、后两个公式的左右两边分别相加、相减，可以得到什么？2sinαcosβ＝sin(α＋β)＋sin(α－β)，2cosαsinβ＝sin(α＋β)－sin(α－β)；2cosαcosβ＝cos(α＋β)＋cos(α－β)，2sinαsinβ＝cos(α－β)－cos(α＋β).我们把上述四个公式称为“积化和差公式”.知识梳理1.积化和差sinαcosβ＝

；cosαsinβ＝

；cosαcosβ＝

；sinαsinβ＝

.2.和差化积sinθ＋sinφ＝

；sinθ－sinφ＝

；cosθ＋cosφ＝

；cosθ－cosφ＝

.例2

求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.解方法一

sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°方法二

sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°方法三

令A＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°，B＝cos220°＋sin250°＋cos20°sin50°.则A＋B＝2＋sin70°，反思感悟

积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想.跟踪训练2

求下列各式的值：三、三角函数式的化简、证明所以原式成立.反思感悟三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简.(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”.(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.∴sin4<0，cos4<0，sin4＋cos4<0，∴原式＝－2(sin4＋cos4)－2cos4＝－2sin4－4cos4.1.知识清单：(1)半角公式.(2)积化和差、和差化积.(3)三角函数式的化简、证明.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：半角公式符号的判断.课堂小结随堂演练√12341234√√12341234课时对点练1.下列各式与tanα相等的是基础巩固12345678910111213141516√√1234567891011121314151612345678910111213141516A.c<b<a

B.a<b<c

C.a<c<b

D.b<c<a√12345678910111213141516解析a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝2sin13°·cos13°＝sin26°，c＝sin25°，y＝sinx在0°≤x≤90°时上单调递增，∴a<c<b.123456789101112131415√1612345678910111213141516√5.设直角三角形中两锐角为A和B，则cosAcosB的取值范围是12345678910111213141516√√12345678910111213141516123456789101112131415167.tan20°＋4sin20°＝_____.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516所以原等式成立.综合运用√11.sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值为解析sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究12345678910111213141516√123456789101112131415161234567