§3.3　幂函数-高中数学教学资料

§3.3幂函数第三章函数的概念与性质1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性

比较幂值的大小.学习目标同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.导语随堂演练课时对点练一、幂函数的概念二、幂函数的图象与性质三、幂函数性质的综合运用内容索引一、幂函数的概念问题1

下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ωkg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝

，这里c是S的函数；(5)如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v＝

km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数.提示这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数.知识梳理幂函数的概念一般地，函数

叫做幂函数，其中x是

，α是

.注意点：①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③α是任意常数；④函数的定义域与α有关.y＝xα自变量常数例1

(1)在函数y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数.√(2)已知y＝

＋2n－3是幂函数，求m，n的值.反思感悟幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式.跟踪训练1

若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_____.解析设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.16二、幂函数的图象与性质问题2

根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？提示根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.问题3

你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，y＝x－1这五个函数的图象吗？提示问题4

观察函数图象以及函数解析式，完成下表.

y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域

值域

奇偶性

RRR[0，＋∞){x|x≠0}R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性

增函数在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减增函数在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减知识梳理通过以上信息，我们可以得到：(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

和y＝x－1的图象都通过点

；(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是

，函数y＝x2是

；(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

，函数y＝x－1

；(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴

，向右与x轴___

.(1,1)奇函数偶函数单调递增单调递减无限接近无限接近注意点：一般幂函数的图象特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，图象只出现在第一象限，并且图象都过点(1,1).(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增.且图象只出现在第一象限.特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限.(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.√解析根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，反思感悟(1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.(2)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；解当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x).解当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x).三、幂函数性质的综合运用例3

(1)比较下列各组数中两个数的大小：解∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，解∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，解∵函数y1＝

在(0，＋∞)上单调递增，③与

.∴＝1，∴ .(2)已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足

的a的取值范围.解∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上单调递减，∴p－3<0，即p<3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2.故

变为

.∵函数y＝

在R上是增函数，∴由

，得a＋1<3－2a，反思感悟比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小.(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等.(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想.跟踪训练3

(1)比较下列各组数的大小：②－3.143与－π3.解∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝

.1.知识清单：(1)幂函数的定义.(2)几个常见幂函数的图象.(3)幂函数的性质.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法.3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.课堂小结随堂演练12341.下列函数中不是幂函数的是A.y＝

B.y＝x3C.y＝3x

D.y＝x－1√解析只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式.1234√12343.函数y＝

的图象是√解析函数y＝

是非奇非偶函数，故排除A，B选项.12344.0.23－2.3与0.24－2.3的大小关系是________________.0.23－2.3>0.24－2.3解析因为函数y＝x－2.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.23<0.24，所以0.23－2.3>0.24－2.3.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.下列函数：①y＝x3；②y＝

x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).其中幂函数的个数为A.1 B.2 C.3 D.4√解析②⑦为自变量在指数位置，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.2.若幂函数的图象过点(3，

)，则该幂函数的解析式是A.y＝x－1

B.y＝C.y＝x2

D.y＝x312345678910111213141516√123456789101112131415163.若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是A.d>c>b>a

B.a>b>c>dC.d>c>a>b

D.a>b>d>c√解析在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数由小到大，所以a>b>c>d.123456789101112131415164.已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于A.1 B.2 C.1或3 D.3解析因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0.所以m<4.又因为m∈N*，所以m＝1,2,3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或3.√1234567891011121314155.函数y＝

－1的图象关于x轴对称的图象大致是16√123456789101112131415解析y＝

的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，16函数y＝

－1的图象可看作是由y＝

的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示)，则y＝

－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B.123456789101112131415166.(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点

，则幂函数f(x)具有的性质是A.在其定义域上为增函数B.在(0，＋∞)上单调递减C.奇函数D.定义域为R√√12345678910111213141516解析设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减.123456789101112131415167.已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是__________.解析因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上单调递减.故α<0.(－∞，0)123456789101112131415168.给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.则正确结论的序号为_____.④12345678910111213141516解析当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确.④正确.123456789101112131415169.比较下列各组数的大小：解函数y＝

在(0，＋∞)上单调递减，(1)和

；又3<3.2，所以

.12345678910111213141516解函数y＝

在(0，＋∞)上单调递增，(2)和

；所以

.1234567891011121314151610.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数.(1)求f(x)的解析式；解由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.12345678910111213141516(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围.所以实数a的取值范围为(2,6).123456789101112131415综合运用1611.在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－

的图象可能是√12345678910111213141516解析选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－

应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－

应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－

>0，直线y＝ax－

与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.12345678910111213141516√解析因为函数f(x)＝

在(0，＋∞)上单调递增，13.函数f(x)＝

＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b)C.f(a)＝f(b) D.以上都不对12345678910111213141516√解析∵f(x)为幂函数，12345678910111213141516∴f(x)＝

，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b).1234567891011121314151614.有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝

.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是_____(填序号).②1234567891011121314