5.2.1　三角函数的概念

5.2.1三角函数的概念第五章

§5.2三角函数的概念1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义.2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的

符号.学习目标游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，即好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半导语径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课.随堂演练课时对点练一、三角函数的概念二、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号三、公式一内容索引一、三角函数的概念问题1初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样规定的？提示在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边.问题2之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？提示有交点，交点唯一.条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)

定义

正弦把点P的

叫做α的正弦函数，记作sinα，即_________知识梳理任意角的三角函数的定义纵坐标yy＝sin

α定义余弦把点P的

叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝______正切把点P的纵坐标与横坐标的比值

叫做α的正切，记作tanα，即

＝__________三角函数正弦函数y＝sinx，x∈R余弦函数y＝cosx，x∈R正切函数y＝tanx，x≠＋kπ，k∈Z横坐标xcos

αtan

α(x≠0)注意点：(1)三角函数值是比值，是一个实数；(2)三角函数值的大小只与角的大小有关；反思感悟

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.解得x2＝1，∴x＝±1.√√解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.二、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号问题3根据三角函数的定义，大家大胆猜测一下三角函数值在各个象限内的符号.知识梳理正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1.图示：2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角解析由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角.√从而α是第三或第四象限角.综上可知，α是第三象限角.(2)(多选)下列选项中，符号为负的是A.sin(－100°) B.cos(－220°)

C.tan10 D.cosπ解析－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；√√√cosπ＝－1<0.反思感悟

判断三角函数值符号的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限.(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.跟踪训练2

已知点P(sinα，cosα)在第三象限，则角α的终边在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限解析∵点P(sinα，cosα)在第三象限，√三、公式一问题4终边相同角的三角函数值有何关系？提示由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等.知识梳理终边相同的角的同一三角函数的值

.即sin(α＋2kπ)＝

，cos(α＋2kπ)＝

，tan(α＋2kπ)＝

，其中k∈Z.相等sinαcosαtanα例3计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；解原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°反思感悟

利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，k∈Z，其中α∈[0,2π).(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.跟踪训练3

计算下列各式的值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；解原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°1.知识清单：(1)三角函数的定义及求法.(2)三角函数值在各象限内的符号.(3)公式一.2.方法归纳：由特殊到一般、转化与化归、分类讨论.3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；课堂小结随堂演练1234√解析设交点坐标为P(x，y)，12342.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于√12343.(多选)若sinθ·cosθ>0，则θ的终边在A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√√解析因为sinθ·cosθ>0，所以sinθ<0，cosθ<0或sinθ>0，cosθ>0，所以θ的终边在第一象限或第三象限.12342课时对点练基础巩固123456789101112131415√162.已知sinθcosθ<0，且|cosθ|＝cosθ，则角θ是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角123456789101112131415√解析∵sinθcosθ<0，∴sinθ，cosθ是一正一负，又|cosθ|＝cosθ，∴cosθ≥0，综上有sinθ<0，cosθ>0，即θ为第四象限角.16123456789101112131415√16123456789101112131415解析由诱导公式－可得，sin(－330°)cos390°＝sin30°×cos30°√16123456789101112131415√16解析∵105°为第二象限角，∴sin105°>0；∵325°为第四象限角，∴cos325°>0；6.(多选)下列函数值的符号为正的是√√√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314158.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是

.(－2,3]解得－2<a≤3，故实数a的取值范围是(－2,3].161234567891011121314159.化简下列各式：＝－1＋0－1＋1＝－1.16123456789101112131415(2)a2sin810°－b2cos900°＋2abtan1125°.解原式＝a2sin90°－b2cos180°＋2abtan45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.1612345678910111213141516123456789101112131415因为x≠0，所以x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，16123456789101112131415当x＝－1时，P(－1,3)，16123456789101112131415综合运用11.式子sin1·cos2·tan4的符号为A.正

B.负

C.零

D.不能确定√解析∵1,2,4分别表示第一、二、三象限角，∴sin1>0，cos2<0，tan4>0，∴sin1·cos2·tan4<0.1612345678910111213141512.在△ABC中，若sinAcosBtanC<0，则△ABC是A.锐角三角形

B.直角三角形C.钝角三角形

D.锐角三角形或钝角三角形√解析在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，∵sinA>0，∴cosB·tanC<0，∴B，C一个为锐角，另一个为钝角，∴△ABC为钝角三角形.16A.{－1,0,1,3} B.{－1,0,3}

C.{－1,3} D.{－1,1}√解析依题意，知角x的终边不在坐标轴上，当x为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3；当x为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；当x为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；当x为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1，综上，函数的值域为{－1,3}.123456789101112131415161234567891011121314151614.－300°角的终边与单位圆交于点P(m，n)，则m＋n＝

.解析由三角函数的定义知m＝cos(－300°)拓广探究1234567891011121314151615.(多选)已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是√√1