高考高中数学：各章节必考知识点

高中数学：各章节必考知识点汇总

第一部分集合................................................................2

第二部分函数与导数.........................................................2

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形..................................7

第四部分立体几何...........................................................9

第五部分直线与圆..........................................................11

第六部分圆锥曲线..........................................................13

第七部分平面向量..........................................................14

第八部分数列...............................................................15

第九部分不等式............................................................17

第十部分复数...............................................................17

第十一部分概率............................................................18

第十二部分统计与统计案例..................................................18

第十三部分算法初步........................................................19

第十四部分常用逻辑用语与推理证明.........................................20

第十五部分推理与证明......................................................21

第一部分集合

1.N,Z,Q,R分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集：

2.交集，4n3={x|xw4且XW8}.并集，4U8={xkw/或符号区分；

3.(1)含n个元素的集合的广集数为2、非空子集数为2n—k真子集数为21«—1：非空真f

集的数为2n-2：

(2)AcBoAr\B=A<=>A\jB=B;注意：讨论的时候不要遗忘了A=@的情况。

(3)Q(JU8)=(CjA)m(/Cl8)=(C4)UU/3);

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数

1.定义域：①抽象函数；已知/［k(X)］定义域，求,/Ig(x)］定义域，攵(X)与g(x)值

域相同。(具体可以参考本节第4点复合函数定义域求法)。

②具体函数。分母不为0,偶次根号下不为负数，a°中a不为0,tan<9,logux中的

x为正数。@简单高中生

2.值域：①一元二次方程配方法：②换元法：③分离参数法：

3.解析式：①配方法；②换元法：③待定系数和；④消去法。

4.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：

①若仅)的定义域为［a.b］,则复合函数f|gx)|的定义域由不等式aggx)Wb解出：

②若［gx)］的定义域为［a,b］,求仅)的定义域,相当于x£［a,b］时,求gx)的值域。

(2)复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)=/［g(x)］分解为基本函数：内函数〃=g(x)与外函数歹=/(〃)：

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数y=f(u)的定义域是内函数〃=g(x)的值域。

5.函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必攀条件；

(2)是奇函数Oy(-x)=-/(x)<=>/(-x)+f(x)=0<=>———=-1

/(x)

⑶./(X)是偶函数of(-x)=f(x)<=>f(-x)-f(x)=0<=>—~~—=1；

/(x)

(4)奇函数/(x)在原点有定义，则/(0)=0:

(5)在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的耳

6.函数的单调性

(1)单调性的定义：

①/(x)在区间M上是增函数u>VX],%e%当事<

/(3)一/(々)<°=(七-X2)-[/(Xl)-f(x2)]>0<=>>0

②/(x)在区间M上是减函数<=>Vx1,x2GM,当X]<

/3)一/(芍)

X

/(占)一)>。。(/一%2)•[/(1)-f(x2)]<o<=>

(2)单调性的判定@简单高中生

①定义法：一般要将式子/(3)-/(工2)化为几个因式作积或作商的形式，以

号;

②导数法(见导数部分);

7.函数的周期性

(1)周期性的定义：

对定义域内的任意x，若有/(x+7)=/(x)(其中T为非零常数)，则称函数

期函数，丁为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都引

期。

(2)三角函数的周期@简单高中生

二sinx:T=2乃；②y=cosx:T=2不；③y=tanx:7=;r；

④y=4sin(oix+e),y=力cos(6«r+°):T=-----；(^)y=tantax:T=---

|^|

(3)与周期有关的结论

①/(x+a)=或f(x-2a)=f(x)(<7>0)=>/(x)的周期为2。；

②y二/⑴的图象关于点(。,0),(“0)中心对称=>f(x)周期为2,-可；

③歹二f(x)的图象关于直线x=x=6轴对称n/(x)周期为21"小

④》=/(x)的图象关于点(。,0)中心对称，直线x=6轴对称=>/(》)周期为z

8.基本初等函数的图像与性质

(1)暴函数：y=xa(ae火)；(2)指数函数：y=ax(a>0,a1)；

(3)对数函数:>=logax(a>0,。w1)；(4)正弦函数:y=sinx；

(5)余弦函数：y=cosx；(6)正切函数：j?=tanx；(7)一元二次函数：ax2+b

(8)其它常用函数：

吊正卜上捌南粉.”

③函数y=x+—(a>0)；

x

9.二次函数：@简单高中生

(1)解析式：

①一般式：/'(X)=ax2+bx+c；

②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k,(力,肩为顶点；

③零点式：/(x)=a(x-x1)(x-x2)o

(2)二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号

(3)二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

10.函数图象：

(1)图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法

(2)图象变换：

①平移变换：i)=/(x)-^y=f(x+a),(。>0)------左右

ii>=/(x)->歹=f(x)±k,(k>0)-----上“+”下

②伸缩变换：

i;;=/(x)->y=f(cox),(口>0)------纵坐标不变，横坐标伸长为原宠

ii歹二/(X)fy二Af(x),(A>0)-----横坐标不变，纵坐标伸长为原来

①对称变换：i歹二/(x)(°。>/——/(—x)；ii=/(x)—y=-

适V=f(x)y=/(-x)；

②翻转变换:

11.函数图象(曲线)对称性的证明

(1)证明函数》=/(X)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴用

仍在图像上；

(2)证明函数^=/*)与y=g(x)图象的对称性，即证明、=/(x)图象上任意点。

中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上，反之亦然；

(注意上述两点的区别！)

注：

①曲线Ci：fx,y)=O关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f2a—x,2b—y)=0;

②曲线Ci：fx,y)=O关于直线x=a的对称曲线Cz方程为：f2a—x,y)=0;

③曲线Ci：fx,y)=O,关于y=x+a或y=-x+a)的对称曲线Cz的方程为fy—a,x+a)=O或

—x+a)=O);

@fa+x)=fb—x)(xGR)---->y=仅)图像关于直线x=^一对称；

特别地：fa+x)=fa—x)(xGR)---->y=仪)图像关于直线x=a对称；

⑤函数尸仅一a)与y=fb—x)的图像关于直线对称；

12.函数零点的求法：

(1)直接法(求/(x)=0的根)；(2)图象法；.

13.导数@简单高中生

(1)导数定义：fx)在点X0处的导数记作M=/Go)=lim八±”+A)二△土;

IEo-

(2)常见函数的导数公式：

①C二O；②(x")二〃x"i；③(sinx)=cosx；

@(cosx)=-sinx；⑤(成)=/lna；@(e')=ex；

(3)导数的四则运算法则：(;/±v)'=u'±v';(〃v)'=u'v+uv';(—y=UV,W；

VV

(4)(理拗复合函数的导数：

(5)导数的应用：

①利用导数求切线：注意：i)所给点是切点吗？ii)所求的是“在”还是“过”该点的切线?

②利用导数判断函数单调性：

i/'(x)>On/(x)是增函数：ii/'(x)<0二>/(x)为减函数；

iii/'(x)三On/(x)为常数：

③利用导数求极值：i求导数/'(X)：订求方程/'(x)=O的根：由列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：i求的极值；ii求区间端点值(如果有)；出得最值。

14.(理科)定积分@简单高中生

⑴定积分的定,义：Mf/'(X)公=lim工Zjb—•a/©)

Jon

⑵定积分的性质：①上外V)公=左，/(》)公(后常数)；

fbfbpb

②£[fl(x)±八(x)M=]±£,/,(x)Jx:

③[f(x)dx=ff(x)dx-}-\f(x)dx(其中a<c<b)。

3a3aJc

(3)微积分基本定理(牛顿一莱布尼兹公式)：[bf(x)dx=F(x)\^=F(b)-F(a)

Ja

(4)定积分的应用：

①求曲边梯形的面积：S=1|/(x)—g(x)|tZr；

②求变速直线运动的路程：S=[；

fb

③求变力做功：W=\F\x)dx.

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.(1)角度制与弧度制的互化：乃弧度=180°,1°=急弧度，1弧度=(13

(2)弧长公式：I=BR；扇形面积公式：3=，制2=!.火儿

22

2.三角函数定义：角a中边上任意一点P为(xj),设|0夕|二不则：

.yxV

sina二—,cosa=—,tana=—

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”；

k冗+兀k兀_0

5.(l)y=4sin(w+0)对称轴：*=乃+20：对称中心：(----,0)(

coCO

,n

K7C4----(p

⑵y=4COS(GX+⑶对称轴：*_卜兀一中：对称中心：(-----?---,0)(左w

COCD

6.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=l;^-=tanx；

COSX

7.三角函数的单调区间@简单高中生

TT7T

y=sinx的递增区间是［2〃万-~,2k7r+-］(kGZ),递减区间是

Jr37r

［2左乃+-,2左左+——］(kGZ)；

y-cosx的递增区间是［2左万一肛2〃万］(kGZ),递减区间是［2%乃,2左乃+

TTTT

y=tanx的递增区间是(ATT---，匕r+—)(左GZ)

y=cotx的递减区间是(br,br+))(左eZ)

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin(a±/7)=sinacos/?±cos(

tancr±tan/?

②cos(a±/?)=cosacos£不sinasin月;③tan(a±£)=

1+tan«tan/3

10.正、余弦定理：

(1)正弦定理：-^—=-^—=-^—=2R(2A是ZU8C外接圆直径)

sinAsinBsinC

注：①。：:c=sin/：sin8:sinC*；②a=2/?sin力力=2Asin8,c=2火sinC；

-abca-\-h+c

③----=-----=-----=-------------------。

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

t2.,2_2

(2)余弦定理：a?=〃+/-26ccos4等三个；注：cosJ=-----------------等三个。

2bc

11.几个公式:@简单高中生

(1)三角形面积公式：=；。力=gabsinC；

_c—-abc

(2)内切圆半径r=W'MK.；外接圆直径2R=~：~-=^—

a+b+csirvlsinosine

12.已知4,Z>,4时三角形解的个数的判定：其中h=bsinA⑴A为锐角时：①a<h时，无解:

②a=h时，一•解(直角)：③h<a<b时，两解(•锐角，一钝角)：④a2b时，一解(・锐角)。

(2)A为直角或钝角时:①aWb时，无解：②a>b时，-解(锐角)。

第四部分立体几何

1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为2亚：1。

2.表(侧)面积与体积公式：

(1)柱体：①表面积：S=SW+2S«；②侧面积：Sw=2"〃；③体积：V=S&h

(2)锥体：①表面积：S=SW+Stt；②侧面积：S广加7；③体积：V=-Stth：

3

(3)台体：①表面积：S=SW+St«STK；②侧面积：S*="/•+r')/；

③体积：v=-(s+廊7+s')h；

3

4

(4)球体：①表面积：S=4成2：②体积：V=§成;o

3.位置关系的证明(主要方法)：

(1)直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定J

(2)直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行二*线面平行。

(3)平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平

(4)直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

(5)平面与平面垂直：①定义一两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定

注：理科还可用向量法。@简单高中生

4.求角：(步骤——I。找或作角；Iio求角)

(1)异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系

注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。

(2)直线与平面所成的角：

①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作艮

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

5.结论：

(1)长方体从一个顶点出发地三条棱长分别为a,b,c,则对角线长为，仁+治

面积为2ab+2bc+2ca；

长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为a,九则：

cos2a+cos20+cos2y=1；sin2a+sin2p+sin2y=2

直线方程y=kx+bAx+By+C=।

平行直线系y=kx+mAxBy+m=

1

垂直直线系y=——x+mBx—Ay+m='

相交直线系

Axx+Bxy+G+A(A2X+B2y+C2)=0

5.几个公式

⑴设A(xi,yi)、Bx2,y2)>C(x3,y3),/ABC的重心G：心”乜乂+为+入

33

(2)点P(xo.yo)到直线Ax+By+C=O的距离：d=M+>(,+。；

>JA2+B2

(3)两条平行线Ax+By+Ci=O与Ax+By+C2=0的距离是［=卜-(3:

6.圆的方程：@简单高中生

⑴标准方程：®(x-a)2+(y-b)2=r2；(2)x2+y2=r2。

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圆<=>A=C#O且B=0且D2+E2—4AF>0；

7.圆的方程的求法：(1)待定系数法；(2)几何法；(3)圆系法。

8.圆系：

22

⑴/+/++6+2(x+y+D2X+£2J；+F2)=0,(2^-1)

注：当4=-1时表示两圆交线。

(2)x2+y2+Dx+Ey+F+^Ax+By+C)=0,^^~^。

9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)

①d=Ko相切；②4<Ru>相交：（直线与圆相交所得的弦长

\AB\=y/r2-d2）③d>Ro相离。

（3）圆与圆的位置关系：（"表示圆心距，尺r表示两圆半径，且R>r）

①]>/?+〃<=>相离；②d=H+外切；③R-r<d<R+r。相交；

④d=R-r。内切:⑤0<4<火一广。内含。

10.与圆有关的结论：@简单高中生

⑴过圆x2+y2=F上的点Mxo,yo）的切线方程为：xox+yoj^r2；

过圆x-a）2+y-b户寸上的点Mxo,yo）的切线方程为：xo-ajx-aj+yo-bjy-b^r2；

（2）以Ax”yz）、Bx2,yz）为直径的圆的方程:x—xi）x—x：）+y—yi）y-ya）=Oo

第六部分圆锥曲线

（此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质，下面所列可能是你会疏忽的一些内

容）

1.定义：

⑴椭圆：|MF\|+1MF21=2a,（2。>|FXF21）；

（2）双曲线:||MI\\-\MF2||=2a,（la<|FXF2|）；

（3）抛物线：|M目=4

2.结论

⑴焦半径：①椭圆：|尸用=°+用,|尸闻=a-%（e为离心率）:（左"+”右

②抛物线/=2px：|尸尸|=%+勺〃>0）

22:

⑵弦长公式：|力用=Vl+k-|x2-x,|=yj（\+^）[（X]+x:）-4X（X2]

==，（1+、）]（必+必）2-4必必]:

注：（I）抛物线焦点弦长：\AB\=X1+x2+p

（II）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：组;②抛物线：2p。

a

（3）过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2+ny2=\（加，〃同时大于0时表示椭

圆，加〃<0时表示双曲线）；@简单高中生

（4）双曲线中的结论：

①双曲线匕=l（a>0,b>0）的渐近线：__匕=（）：

a2b2a2b2

②共渐进线y=±2x的双曲线标准方程为二—21="^为参数，2#））；

aa2b2

③双曲线为等轴双曲线。e=J^o渐近线为^=±》。渐近线互相垂直；

3.直线与圆锥曲线问题解法：

（1）直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：

①联立的关于“x”还是关于“y”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③判别式验证了吗？

（2）设而不求（代点相减法或叫点差法）：-----处理弦中点问题

步骤如下：①设点Ax】，y。、BX2,2）;②作差得％48=之二……：③解决问题。

XL*?

4.求轨迹的常用方法：@简单高中生

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义：（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）：（4）

待定系数法：（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分平面向量

⑴设a=xi,y)b=X2,y2)，则：

©aZ^hb/OJOa=/lb(Ae7?)<=>xiy?—X2yi=()：

②a_Lba、b*0)Oa・b=0OxiX2+yiy2=O

(2)a-b=|a||b|cos<a,b>=X2+yiy2；

注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;

②a,b的几何意义：ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。

a-b

(4)t7=aa=a="==-Jx2+y2

(5)三点共线的充要条件@简单高中生

P,A,B三点共线=5?=x53+y35(且x+y=l)；

附：(理科)P，A,B,C四点共面==+y砺+z5。(且x+y+z=l)。

第八部分数列

1.定义：

(1)等差数列｛。"｝<=>/.]一/=〃(〃为常数)。2%=。”+]+an)(w>2,/?e^*)

oan=kn+boSn=An。+Bn；

(2)等比数列｛%｝夕wO)=a；=anA-t7n+1(n>2,neN)

a

n

n

<=>an=cq"(c,夕均为不为0的常数)<=>Sn=k-kq(qw0,qWl,kw0)；

2.等差、等比数列性质

等差数列等比数列

通项公式[“=%+(〃-l)d%二%尸

1。=1时，S"=na;

前n项和s二心3迎心,x

“2,2

2.qw1时，Sn=

1-

a「a”q

二j

性质①an=am+(n—m)d,①an=amq“m

②m+n=p+q时am+an=aP+aq②m+n=p+q时aman=aPaq

③巢名.-SA.8-S2K••成AP③Sk』--S：

GP

④外，%+m，&+2m，…成APd=md④%，%+m，氏+2m，…成

GP,q'=qm

3.数列通项的求法：

(1)定义法(利用AP,GP的定义)；

⑵累加法(%+1-％=。为型:

rSin=l)

(3)公式法：an=TSn-Sn-1n22)

(4)累乘法(&包二%型)；

(5)变形构造法(。”+]=ka〃+b、an_x-an=^anan_x=>------匚=4等类型

4.前〃项和的求法：@简单高中生

/1M驯在+口十2土一/。\左位/**口)成、注一/八玄4丁币+日、酒、注一“、公如旭壬n、注

20“0

(1)(数列思想)或；(2)(函数思想)利用二次函数的图象与性质。

40、N0,

第九部分不等式

3在一依1FTa+ba2+b2

1.均值不等式：yjab<-----<J-----------

2V2

注意：①一正二定三相等：②变形，ab<^-Y<^-~~

2.不等式的性质：

(l)tz>bob<a；

(2)a>b,b>ca>c；

(3)。>6<=>a+c>6+c：a>b,c>d=>a+c>b+d；

(4)tz>b,cac>bd：a>b,c=ac<be；a>b>0,

c>d>Unac>bd；

(5)a>方>0=a">bn>0(〃wN*)；

(6)67>A>0=>y/a>y[b(ncN*)。

3.不等式等证明(主要)方法：@简单高中生

(1)比较法：作差或作比；(2)综合法；(3)分析法。

第十部分复数

1.概念：

(I)z=a+bieROb=0a,b^R)<=>z=zOz2>0；

(2)z=a+bi是虚数Ob#0a,b£R)；

(3)z=a+bi是纯虚数Oa=0旦b#)a,bER)Oz+5=0(z/))Oz2<0；

(4)a+bi=c+diOa=c且c=da,b,c,deR)；

注：①每个个体被抽到的概率为2：②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

N

(2)系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号：②分段：③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号/；

④按预先制定的规则抽取样本。

(3)分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的

情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数x2

N

2.总体特征数的估计：

(1)样本平均数7=—(xl+x2+•••4-)=—V