图形的相似中考复习

图形的相似和位似考点1相似图形的有关概念相似图形①相同的图形称为相似图形.相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别②，边③，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似比相似多边形对应④的比叫做相似比.相似三角形两个三角形的三个角分别⑤，三条边⑥，那么这两个三角形相似.当相似比等于1时，这两个三角形⑦.考点2比例线段比例线段定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.根本性质假设=，那么ad=bc.当b=c时，b2=ad，那么b是a、d的比例中项.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且==≈0.618，那么点C叫做线段AB的黄金分割点.【易错提示】求两条线段的比时，对这两条线段要统一长度单位.考点3平行线分线段成比例根本领实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑧.推论⑨.考点4相似三角形的判定判定1⑩于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定2三边的两个三角形相似.判定3两边且夹角的两个三角形相似.判定4两角分别的两个三角形相似.判定5满足斜边和一条直角边的两个直角三角形相似.考点5相似三角形的性质性质1相似三角形的对应角，对应边eq\o\ac(○,17).性质2相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于eq\o\ac(○,18).性质3相似三角形面积的比等于相似比的eq\o\ac(○,19).考点6位似定义如果两个图形不仅是eq\o\ac(○,20)图形，而且对应顶点的连线相交于eq\o\ac(○,21)，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似eq\o\ac(○,22)，这时的相似比又称为eq\o\ac(○,23)比.性质1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比(位似比).2.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于eq\o\ac(○,24).【易错提示】两个位似图形的位似中心可能在图形内部、外部、边上或顶点上.判定三角形相似的几条思路：(1)条件中假设有平行线，可采用相似三角形的预备定理.(2)条件中假设有一对等角，可再找一对等角(用判定4)或再找夹边成比例(用判定3).(3)条件中假设有两边对应成比例，可找夹角相等.(4)条件中假设有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例.(5)条件中假设有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.命题点1相似三角形的判定例1(2023·益阳)如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.【思路点拨】在△ABD和△CBE中，有一个公共角，再根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC即可证明两三角形相似.【解答】方法归纳：证明两三角形相似时，要善于结合条件来选择最恰当的判定方法.1.如图，每个小正方形边长均为1，那么以下图中的三角形(阴影局部)与左图中△ABC相似的是()2.(2023·本溪模拟)如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的选项是()A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.=D.=3.(2023·贵阳)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条4、〔2023湖北荆州第6题3分〕如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的选项是〔〕 A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． =命题点2相似三角形的性质例2(1)如图，点D，E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.假设DE=4，AE=5，BC=8，那么AB的长为.(2)(2023·聊城)如图，点D是△ABC的边BC上任一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.假设△ABD的面积为a，那么△ACD的面积为()A.aB.aC.aD.a【思路点拨】(1)从条件看可以证明△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的长;(2)由∠DAC=∠B，可知△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质可求△ACD的面积.方法归纳：求线段的长，利用相似三角形对应边的比相等来计算；求面积，利用相似三角形面积比等于相似比的平方来计算.1.(2023·重庆B卷)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，假设BC＝1，那么EF的长是()A.1B.2C.3D.42.(2023·凉山)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为()A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶3.(2023·长春)如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，那么CD的长为()A.B.C.2D.34.(2023·长沙)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，那么△ADE和△ABC的周长之比等于.〔2023•四川成都,第5题3分〕如图，在中，，，，, 那么的长为 〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、〔2023•山东临沂,第18题3分〕如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，那么_________. 6、〔2023•广东省,第13题，4分〕假设两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的面积比是. 平行线分线段成比例1、〔2023•四川乐山,第5题3分〕如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．，那么的值为〔〕 A．B．C．D．2、〔2023•四川眉山，第6题3分〕如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．AB=1，BC=3，DE=2，那么EF的长为〔〕 A． 4 B． 5 C． 6 D． 83、(2023·河南，第10题3分)如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，EECDBA第10题假设DB=4，DA=2，BE=3，那么EC=. 4、(2023·贵州六盘水，第14题4分)，那么的值为．命题点3相似三角形的应用例3(2023·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如下图.其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm，8cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)【思路点拨】利用梯形常用的辅助线，把EF的长放到三角形中，利用相似三角形的性质，对应边成比例，可求解.【解答】方法归纳：利用三角形相似解决实际问题关键扣住两点：一是构造三角形相似；二是灵活地利用相似三角形的性质.1.(2023·台州)如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为()A.25cmB.50cmC.75cmD.100cm2.(2023·济宁)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，假设光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，那么屏幕上图形的高度为cm.3、(2023•湖南株洲,第7题3分)如图，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是 () A． B． C． D．4、(2023•江苏南京,第3题3分)如下图，△ABC中，DE∥BC，假设，那么以下结论中正确的选项是〔〕 A． B．C． D．5、〔2023•甘肃武威,第9题3分〕如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，假设S△BDE：S△CDE=1：3，那么S△DOE：S△AOC的值为〔〕 A． B． C． D． 6.〔2023湖南岳阳第8题3分〕如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于以下结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是〔〕 A． ①② B． ①②③ C． ①④ D． ①②④〔2023•四川资阳,第10题3分〕如图6，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=AC；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ (2023·黑龙江绥化，第9题分)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5．假设点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，那么BM+MN的最小值为〔〕 A．10B．8C．5D．6 命题点4位似变换例4如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是()A.(-2，3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2，3)D.(-2，3)或(2，-3)【思路点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得位似比，再利用比例式分别计算出两种情况下B′的坐标.方法归纳：一个图形和位似中心作位似图形时，要注意运用分类讨论思想，考虑两个图形在位似中心同侧或位似中心两侧两种情况，防止出现遗漏.1.如图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是()A.点MB.点NC.点OD.点P2.如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的4倍，得五边形A1B1C1D1E1，那么OD∶OD1=.3、〔2023·湖北省武汉市，第6题3分〕如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为〔〕A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1) 4、〔2023•四川省宜宾市，第6题，3分〕6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为l：2，∠OCD=90°，CO=CD.假设B(1，0)，那么点C[中国^的坐标为() A.(1,2)B.(1,1)C.(eq\r(\s\do1(),2),eq\r(\s\do1(),2))D.(2,1) 1.(2023·温州)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AE=6，=，那么EC的长是()A.4.5B.8C.10.5D.142.〔2023•山东东营,第6题3分〕假设，那么的值为〔〕 A．1B．C．D．3.(2023·宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，那么点E的坐标不可能是()A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)4.(2023·宁波)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，那么△ABC与△DCA的面积比为()A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.∶5.〔2023•山东东营,第10题3分〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②假设点D是AB的中点，那么AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④假设，那么．其中正确的结论序号是〔〕 A．①②B．③④C．①②③D．①②③④ 6.(2023·北京)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.假设测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，那么河的宽度AB等于()A.60mB.40mC.30mD.20m7.(2023·滨州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两局部面积相等，那么=.8.(2023·六盘水)如图，添加一个条件：，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)9.(2023·天津)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，那么AE的长为.10.(2023·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，假设AB＝10，那么EF的长是.11.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，那么树高AB=m.12.(2023·长沙)如图，在△ABC中，DE∥BC，=,△ADE的面积是8，那么△ABC的面积为.13.如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC,AD交于点E,F.(1)求证：AB=AF；(2)当AB=3，BC=5时，求的值.14.〔2023•山东聊城,第25题12分〕如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒〔0＜x＜4〕时，解答以下问题： 〔1〕求点N的坐标〔用含x的代数式表示〕； 〔2〕设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？ 〔3〕在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？假设存在，求出x的值；假设不存在，请说明理由． 15.〔2023湖南岳阳第22题8分〕如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． 〔1〕求证：△ABM∽△EFA； 〔2〕假设AB=12，BM=5，求DE的长． 16.如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，AC=3，假设点A′的坐标为(1，2)，那么正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是()A.B.C.D.17.(2023·宁波)如图，等腰直角三角形ABC顶点A、C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB、BC交于点D、E.连接DE.当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为.18.(2023·滨州)如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC？19、〔2023•浙江湖州，第23题10分〕问题背景：在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点 (1)初步尝试：如图1，假设△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等，求证：HF=AH+CF小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立. 思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立. 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，那么以第一种方法评分) (2)类比探究：如图2，假设在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值. (3)延伸拓展：如图3，假设在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程). 参考答案考点解读①形状②相等③成比例④边⑤相等⑥成比例⑦全等⑧成比例⑨平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例⑩平行⑪成比例⑫成比例⑬相等⑭相等⑮成比例⑯相等eq\o\ac(○,17)成比例eq\o\ac(○,18)相似比eq\o\ac(○,19)平方eq\o\ac(○,20)相似eq\o\ac(○,21)一点eq\o\ac(○,22)中心eq\o\ac(○,23)位似eq\o\ac(○,24)k或-k各个击破例1在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.题组训练1.B2.C3.C例2(1)10(2)C题组训练1.B2.D3.B4.1∶2例3过点C作CM∥AB，交EF,AD于N,M，作CP⊥AD，交EF,AD于Q,P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN=AM=BC=20cm.∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).由题意知CP=40cm，PQ=8cm，∴CQ=32cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴=，即=.解得NF=24.∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).答：横梁EF应为44cm.题组训练1.D2.18例4D题组训练1.D2.1∶2整合集训1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.8.9.710.511.5.512.1813.(1)证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC.∵BF是∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠FBC.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.(2)∵∠AEF=∠CEB，∠AFB=∠FBC，∴△AEF∽△CEB.∴==.∴=.14.： 解：〔1〕根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：那么NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是〔x，〕；〔2〕在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=OM•PN=〔4﹣x〕•=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x〔0＜x＜4〕，配方得：S=﹣〔x﹣2〕2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；〔3〕存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①假设∠OMN=90°，如图2所示：那么MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②假设∠ONM=90°，如图3所示：那么∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．15.(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°.又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，即∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAD.∵∠ABD=∠BDO=∠CD