类型九、完全平方的几何应用

类型九、完全平方的几何应用【解惑】方法：等积法，同类型八【融会贯通】1．如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（

）A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm22．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（

）A． B． C． D．3．如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（

）A．20 B．18C．15 D．124．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，，花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．如图：把长和宽分别为a和b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（

）A． B．C． D．6．如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm27．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A． B． C． D．8．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据如图能得到的数学公式是（

）A．（a+b）（a-b）=a2-b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a（a+b）=a2+ab D．a（a-b）=a2-ab9．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，小明从图中得到个代数恒等式：①；②；③；④其中正确的有（

）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④10．如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各10张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形．从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【知不足】11．如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为___________．12．如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，则阴影部分的面积为____．13．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）；【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________．14．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为___．15．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为_____．16．如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，则可化简为____．【一览众山小】17．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为．(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．18．如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①．方法②；(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是；(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算：；(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．19．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）(1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；(2)根据（1）中的结论，若，，则______；(3)拓展应用：若，求的值．20．若满足．(1)①设，，则______，______，而______（用含，的代数式表示）；②利用①中的信息，求出的值；(2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．21．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：(1)图②中阴影部分的正方形的边长是___________________．(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：________________________．方法2：________________________．(3)观察图②，请你写出、、之间的等量关系是_________________．(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则_________________．(5)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数恒等式：________________________．(6)已知，，利用上面的规律求的值．22．图1是一个长为，宽为的长方形，沿虚线平均分成四块，然后按图2拼成一个正方形．解答下列问题．(1)图2中阴影部分的面积可表示为；对于，，，这三者间的等量关系为．(2)利用（1）中所得到的结论计算：若，，则．(3)观察图3，从图中你能得到怎样的一个代数恒等式？再根据你所得到的这个代数恒等式探究：若，试求的值．23．阅读材料：若x满足，求的值．解：设，，则，∴，∴．类比应用：请仿照上面的方法求解下列问题：(1)若，求的值．(2)若，则的值为______．(3)已知正方形的边长为分别是上的点，且，，长方形的面积是．分别以为边长作正方形和正方形，直接写出正方形和正方形的面积和为______．24．将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形．(1)比较图2和图1的阴影部分面积，可以推得公式：_________________（用含x，y的式子表达）；(2)运用你所得到的公式，计算下列各题：①；②．25．【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：(1)图②中阴影部分的正方形的边长是______；(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______；(3)观察图②，请你写出，，ab之间的等量关系______；(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x＋y＝6，，则x－y＝______；(5)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数恒等式：______；(6)已知a＋b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．26．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、