人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第35讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（原卷版）

第10讲拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）一、知识点归纳知识点一：三角形面积问题直线SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点二：焦点三角形的面积直线SKIPIF1<0过焦点SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0为联立消去SKIPIF1<0后关于SKIPIF1<0的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0为直线与椭圆联立后消去SKIPIF1<0后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式SKIPIF1<0变式：SKIPIF1<0作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）SKIPIF1<0（注意分SKIPIF1<0三种情况讨论）（2）SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立（3）SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.（4）SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立(5)SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.二、题型精讲题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)经过点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0的面积.【典例2】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为SKIPIF1<0的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求SKIPIF1<0的面积．【典例3】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相外切，与圆SKIPIF1<0相内切.(1)求动圆SKIPIF1<0的圆心的轨迹方程；(2)过点SKIPIF1<0的两直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交动圆SKIPIF1<0圆心的轨迹于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求四边形SKIPIF1<0的面积.【变式1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线与半径SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0运动时，点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线与曲线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的另一条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0面积的SKIPIF1<0倍，求直线SKIPIF1<0的方程．

【变式2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左顶点，SKIPIF1<0是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆SKIPIF1<0的焦距和离心率；(2)设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别共线，求证：SKIPIF1<0三点共线；(3)若SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【变式3】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0的上顶点为K，左右顶点分别为A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值．题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0为坐标原点，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的上顶点到右顶点的距离为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的面积的最大值.【典例2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0的两顶点坐标SKIPIF1<0．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程；(2)不垂直于SKIPIF1<0轴的动直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，定点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，求SKIPIF1<0面积的取值范围．【典例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的方程，并说明SKIPIF1<0是什么曲线；(2)设SKIPIF1<0为曲线SKIPIF1<0上的两动点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.①求证：直线SKIPIF1<0恒过一定点；②设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【变式1】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0的周长为8，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于C，D两点，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0面积的取值范围．

【变式2】（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点SKIPIF1<0是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为SKIPIF1<0；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为SKIPIF1<0，求△SKIPIF1<0的面积的最小值．【变式3】（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0分别交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面积的最大值.题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线SKIPIF1<0，及直线SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且只有一个公共点，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的左右两支分别交于A、B两点，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0在第一象限的双曲线上，过点SKIPIF1<0作双曲线切线与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线左支交于SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率互为相反数，求SKIPIF1<0的面积．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，A为垂足且位于第一象限，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形SKIPIF1<0（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知SKIPIF1<0是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和为1，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【变式2】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在圆SKIPIF1<0上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C与圆SKIPIF1<0在第一象限的交点，求SKIPIF1<0的面积．题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，动点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与它到直线SKIPIF1<0的距离之比为2，记SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点（均位于SKIPIF1<0轴右侧），SKIPIF1<0关于原点的对称点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积的取值范围.【典例2】（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线SKIPIF1<0右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)记SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围．【变式1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0.以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为SKIPIF1<0的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值.【变式2】（2023·高二课时练习）如图，已知双曲线SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0的渐近线交于SKIPIF1<0两点（从左至右的顺序依次为SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0.(1)若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0面积的最小值.【变式3】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线SKIPIF1<0，其左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上有一点P满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求b；(2)过SKIPIF1<0作直线l交SKIPIF1<0于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的取值范围．题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T：SKIPIF1<0和椭圆C：SKIPIF1<0，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恰好被SKIPIF1<0平分，求SKIPIF1<0的面积．【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考期中）如图所示，已知直线与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若线段SKIPIF1<0的垂直平分线与抛物线交于SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的面积.【变式1】（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【变式2】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）设椭圆SKIPIF1<0的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点SKIPIF1<0为椭圆上一点.拋物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称.(1)求椭圆SKIPIF1<0及抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0，与拋物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0（异于原点），若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积.题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设SKIPIF1<0是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点