挠性航天器姿态机动鲁棒控制方法研究

挠性航天器姿态机动鲁棒控制方法研究

随着世界各国航天科学技术的快速发展，现代窄带振动源模型的附件种类和结构也越来越大。在轨迹运输中，随着燃料的消耗和扰动，其转动惯量变化很大，并且受到外部干扰矩阵的影响。这些因素使振动源具有较大的不确定性。另外,在此过程中,由于中心刚体和挠性附件之间存在着强烈的耦合,会导致挠性结构的持续振动,进而影响航天器的运动和控制,因此挠性航天器姿态机动及主动振动抑制问题的研究日益受到重视。反步设计法由于具有处理非线性问题的一些优点,在航天器控制领域中得到了广泛的应用。文献采用反步设计法研究了航天器姿态机动问题,这些文献在控制器的设计中往往假设航天器的转动惯量参数精确已知,同时忽略了外部干扰的影响。然而,对于挠性航天器而言,在实际应用中,转动惯量的不确定性因素以及干扰的存在会降低系统的性能,甚至使系统表现出不稳定的特性。另一方面,对挠性结构而言,姿态机动时仍然会引入一部分振动。对于此问题,一种可行有效的解决方法是通过采用压电智能材料作为执行器的补偿器来进行补偿振动抑制。在基于智能材料的控制方法中,应变速率反馈(SRF)控制策略作为一种鲁棒控制方法,设计简单方便,可以大幅度地提高模态的阻尼,对模态频率的变化也具有很好的鲁棒性。针对上述问题,本文尝试将反步法自适应控制技术与基于压电智能材料的SRF控制相结合,提出一种新的鲁棒控制策略,并利用仿真实验对方法的有效性进行了分析和验证。1挠性逻辑的动力学建模考虑带有挠性附件的航天器模型。用字母I,Γ和B分别表示惯性、期望及本体坐标系,采用修正罗德里格参数(MRP)描述航天器的运动学方程:其中,ω=[ω1ω2ω3]T为本体B相对惯性坐标系I的姿态角速度,p=[p1p2p3]T代表航天器B相对于I的MRP姿态描述,p=ntan(ϕ/4)(2)n为欧拉主轴向量,ϕ代表欧拉角,[p×]定义如下:pd,pe分别表示Γ相对于I以及B相对于Γ的MRP姿态描述,用R(p),R(pd),R(pe)表示B到I,Γ到I以及B到Γ的方向余弦矩阵,满足如下关系式:R(pe)=R(p)[R(pd)]T(4)其中R(·)定义如下可以得到由pe和ω描述的误差运动学方程:为了有效地抑制帆板的振动,在挠性帆板上粘贴具有各相同性的压电作动器来抑制挠性结构的振动。本文利用文献的结果,直接给出挠性帆板表面粘贴有压电智能元件PZT的航天器动力学模型:J˙ω+δΤ⋅⋅η=-ω×(Jω+δΤ˙η)-ur(t)+Τd(7a)⋅⋅η+ˉC˙η+Κη+δ˙ω=-δ1up(7b)其中,J为整星体的转动惯量矩阵,δ为刚体与挠性附件的耦合矩阵,η为挠性模态,ur(t)为反作用飞轮产生的控制力矩,up为压电作动器的输入,Td为作用在星体上的外干扰力矩,ˉC=diag{2ζiωni,i=1,2,…,N}为阻尼矩阵,K=diag{ω2ni,i=1,2,…,N}为刚度矩阵,N为模态个数。ωni和ζi分别为帆板振动模态频率矩阵和阻尼比,δ1为压电作动器与帆板的耦合系数矩阵。若将外干扰力矩Td,耦合项δT⋅⋅η和ω×δΤ˙η看作为系统的总的干扰项,则(7a)可改写为˙ω=-J-1ω×Jω+u(t)-d(8)式中,u=J-1ur,d=J-1(Τd-δΤ⋅⋅η-ω×δΤ˙η)。2控制战略2.1生长控制输入考虑如下系统的微分方程˙x=f(x)+g(x)Γ(9)˙Γ=u(10)其中x∈Rn为状态变量。为使系统稳定,首先假设Γ为(9)的虚拟控制输入,存在反馈控制律使之稳定,设虚拟输入为Γ=χ(x),若存在无界函数V1(x)使得∂V1∂x(f(x)+g(x)χ(x))≤-W(x)≤0(11)其中W(x)正定,则方程(9)在平衡点x=0处渐近稳定。令V2(x)=V1(x)+12(Γ-(x))2(12)由参考文献,存在反馈控制律u(x,Γ)使得串级系统(9)、(10)在x=0全局渐近稳定。2.2u3000条件复杂对于挠性航天器模型(7),我们首先进行如下的假设:假设1:航天器惯量矩阵J正定对称且未知,系统总的干扰有界,即supi=1,2,3|di|=Θ≤dΜ,其中dM为已知的正常数,d=[d1d2d3]T。为了便于控制器的设计,需要定义新的变量z1=∫pedt,z2=pe,z3=ω,则(1),(8)可以重新写为˙z1=z2(13)˙z2=F(z2)z3(14)˙z3=-J-1ω×Jω+u(t)+d(15)考虑如下坐标变换:x1=z1(16a)x2=z2-φ1(16b)x3=z3-φ2(16c)其中,φ1,φ2为待定的镇定函数。Step1:为了稳定式(13),把z2看作虚拟控制输入,选取Lyapunov函数V(x1)=12xΤ1x1(17)镇定函数φ1选取为φ1=-k1x1(18a)k1>0,并对V(x1)求导,可得˙V(x1)=-k1|x1|2+xΤ1x2(19a)Step2:取第二个Lyapunov函数V2=12xΤ1x1+12xΤ2x2(20a)对其求导,并代入(13)-(16b),得˙V2=xΤ1x2-k1|x1|2+xΤ2(Fx3+Fφ2+k1z2)(18b)镇定函数φ2取为φ2=-F-1(x1+k1z2+k2x2)(19b)其中k2>0,则˙V2=xΤ2Fx3-k1|x1|2-k2|x2|2(20b)Step3:由式(16c),可知˙x3=˙z3-˙φ2(21)将式(21)两边分别左乘J,然后代入式(13),(14),(15),得到J˙x3=-[z×3]Jz3+u+d+J˙F-1(x1+k1z2+k2x2)+JF-1((1+k1k2)z2+(k1+k2)Fz3)(22)定义航天器惯量参数的估计误差ˉθ为ˉθ=θ-˜θ(23)式中,θ=[J11J22J33J12J13J23]Τ,˜θ=[˜J11˜J22˜J33˜J12˜J13˜J23]Τ。定义线性算子L:R3→R3×6如下:则对于∀ξ=[ξ1ξ2ξ3]T∈R3,有Jξ=L(ξ)θ(25)故式(22)可重新写为J˙x3=Gθ+u+d(26)其中G=-[z×3]L(z3)+L[˙F-1(x1+k1z2+k2x2)]+L[F-1((1+k1k2)z2+(k1+k2)Fz3)](27)定理1考虑挠性航天器姿控系统(6)和(8),若采用如下的控制律u=-FΤx2-k3x3-G˜θ-dΜsng(x3)(28)以及如下的自适应律˜θ˙=Γ-1GΤx3(29)其中sng(x3)=[sngx31sngx32sngx33]T,k3为正的常数,Γ∈R6×6为正定矩阵,则系统全局渐近稳定。证明:选取增广的Lyapunov函数V3为V3=12xΤ1x1+12xΤ2x2+12xΤ3Jx3+12ˉθΤΓˉθ(30)对其求时间的导数,得˙V3=-k1|x1|2-k2|x2|2+xΤ2Fx3+xΤ3(G˜θ+u+d)+ˉθΤΓ(Γ-1GΤx3-˙˜θ)(31)将式(28),式(29)代入式(31),并注意到x3Τd-dΜx3Τsgn(x3)≤(Θ-dΜ)|x3|1≤0(32)其中|⋅|1定义为|ξ|1=∑i=1n|ξi|‚∀ξ∈Rn×1,Θ为假设1中所定义的正常数。则可得到V˙3≤-∑i=13ki|xi|2+(Θ-dΜ)|x3|1≤0(33)由于V3正定连续可微,且径向无界,同时注意到S={x∈Rn|V˙3=0}={xi=0},i=1,2,3,则利用Krasovskii定理,可知系统渐近稳定。注1:从上面的控制输入方程可以看到,设计方法计算简便,只有一个参数dM需要确定。一般而言,dM在实际应用中难以精确测量;因此通常选择足够大的dM来保证鲁棒稳定性。然而,这会引起控制增益过大,工程上不易实现;另一方面,如果dM取值太小,则不能保证系统的鲁棒稳定性。下面的定理可以保证在线估计参数dM。定理2考虑航天系统式(6)和式(8),定义dM的估计误差为d˜Μ‚d˜Μ=d^Μ-dΜ,若采用如下的控制律u=-FΤx2-k3x3-Gθ˜-d^Μx3Τsng(x3)(34)及如式(35)-式(36)的自适应律,则系统渐近稳定。θ˜˙=Γ-1GΤx3(35)d^˙Μ=-β2d^Μ+γ|x3|1(36a)β˙=-Κββ(36b)其中Kβ与γ为任意的正数。证明:选取新的Lyapunov函数V*3如下:V3*=V3+1γ(d˜Μ2+Κβ-18dΜ2β2)(37)对其求时间导数,得V˙3*=-k1|x1|2-k2|x2|2-k3|x3|2+x3Τd-d^Μx3Τsgn(x3)+1γd˜Μ(-β2d^Μ+γ|x3|1)+Κβ-14γdΜ2ββ˙≤-k1|x1|2-k2|x2|2-k3|x3|2+dΜ|x3|1-d^Μ|x3|1+d˜Μ|x3|1-β2γd˜Μ(d˜Μ+dΜ)-β2γdΜ24=-k1|x1|2-k2|x2|2-k3|x3|2+(dΜ+d˜Μ-d^Μ)|x3|1-β2γ(d˜Μ2+d˜ΜdΜ+dΜ24)≤-∑i=13ki|xi|2-β2γ(d˜Μ+dΜ2)2≤0(38)同定理1的证明,可知系统渐近稳定。证毕。2.3补偿器特性设计对于式(7b),如果忽略耦合项δω˙‚则挠性结构的振动方程将从姿态运动方程中解耦出来,即解耦的挠性结构振动方程可表示为η⋅⋅(t)+Cη˙(t)+Κη(t)=-δ1up(t)(39)为了有效地抑制挠性附件的振动,基于PZT压电智能元件作为作动器/敏感器,应用SRF主动控制技术来设计振动补偿器以增加结构的阻尼。应变速率反馈的原理是:挠性结构的模态速率坐标直接输入到一个二阶补偿器中,补偿器的输出乘以一个负的增益,然后直接输入到结构中去,其结构形式ξ⋅⋅(t)+C¯fξ˙(t)+Κ¯fξ(t)=Κ¯fη˙(t)(40)其中ξ¯为补偿器的模态坐标,C¯f和Κ¯f分别为补偿器的阻尼矩阵和刚度矩阵。通过选取up(t)=G¯Κξ(t),则结构振动方程和补偿器方程可写为其中G¯为增益矩阵。为了设计方便,特征根配置法被用于设计反馈增益矩阵G¯使系统矩阵的所有特征值取负值。为了说明SRF补偿器的作用,考虑单自由度的形式η(t)=α¯ejωt,则补偿器的输出ξ(t)=β¯ej(ωt+π2-ϕ(42)其中,ω和ωc分别为结构和补偿器的振动频率。(1)当结构振动频率小于补偿器的振动频率时,相位角ϕ接近于0,将ϕ=0代入方程(39)得ξ⋅⋅+(2ζω+gβ¯ω)ξ˙+ω2ξ=0(43)由方程(43)可知SRF补偿器的控制效果呈现主动阻尼。(2)当结构振动频率等于补偿器的振动频率时,相位角ϕ接近于π2,将ϕ=π2代入方程(39)得ξ⋅⋅+2ζωξ˙+(ω2+gβ¯ω2)ξ=0(44)由方程(44)可知SRF补偿器的控制效果呈现主动刚性。(3)当结构振动频率大于补偿器的振动频率时,相位角ϕ接近于π,将ϕ=π代入方程(39)得ξ⋅⋅+(2ζω-gβ¯ω2)ξ˙+ω2ξ=0(45)由方程(45)可知SRF补偿器的控制效果呈现主动挠性。由上述分析,为了取得较好的振动效果,补偿器频率应尽量小于某阶抑制模态的频率。3姿态机动控制仿真结果为了验证本文设计方法的有效性,采用文献中所给出的挠性航天器的物理参数进行仿真:J=[35034327010410190]kg/m2,δ=[6.456371.278142.15629-1.256190.91756-1.672641.116872.48901-0.836741.23637-2.6581-1.12503]kg1/2m/s2,δ1=[2.342552×10-2-4.225368×10-33.912984×10-27.026176×10-2]kg1/2m/(Vs2)仅考虑挠性帆板的前四阶挠性模态,其振动频率和阻尼比分别为ωn1=0.7681rad/s,ωn2=1.1038rad/s,ωn3=1.8733(rad/s),ωn4=2.5496rad/s和ξ1=0.0056,ξ2=0.0086,ξ3=0.013,ξ4=0.025,Γ=diag{0.05,0.05,0.05,0.1,0.1,0.1},kβ=0.2,k3=1.0,γ=1.0,G¯=diag{0.3,0.8,0.6}。航天器的估计初值设为:θ˜(0)=[4230350.7-1.52.0]Τ,d˜Μ(0)=0.02在仿真过程中,给定的航天器初始状态为p1(0)=-0.22425,p2(0)=0.06727,p3(0)=-0.44852,ω(0)=[000]T(rad/s),期望姿态轨迹为pd=12[cos(0.2t)sin(0.2t)3]Τtan(π/4).所考虑外部干扰力矩Td(t)为Τd(t)=[0.3cos(0.1t)+0.10.15sin(0.1t)+0.3cos(0.1t)0.3sin(0.1t)+0.1]为了进行比较,在仿真过程中采用如下两