化工原理第二章平面力系课件

第二章平面力系引言研究方法：几何法，解析法。力系分为：平面力系、空间力系例：起重机的挂钩。TT1T2①平面汇交力系平面力系②平面力偶系③平面一般力系(平面任意力系)平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。§2-1

平面汇交力系1、平面汇交力系合成的几何法、力多边形规则一、两个共点力的合成

合力方向可应用正弦定理确定：由余弦定理： 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。二、任意个汇交力的合成多边形abcde称为此平面汇交力系的力多边形，矢量称此力多边形的封闭边。封闭边矢量即表示此平面汇交力系合力的大小与方向(即合力矢)，而合力的作用线仍应通过原汇交点A。根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但其合力矢仍然不变。平面汇交力系可简化为一合力．其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。设平面汇交力系包含n个力，以表示它们的合力矢，则有合力对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。力称为该力系的合力。共线力系：各力的作用线都沿同一直线的力系。平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即2、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。即在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：力多边形自行封闭或力系中各力的矢量和等于零例如图所示的压路碾子，自重P＝20kN，半径R＝0.6m，障碍物高h＝0.08m。碾子中心O处作用一水平拉力F。试求：(1)当水平拉力F＝5kN时，碾子对地面及障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。RF①选碾子为研究对象解：②取分离体画受力图(1)由图中几何关系，可求得故再由各矢量的几何关系，可得解得根据作用与反作用关系，碾子对地面及障碍物的压力分别等于11.34kN和10kN。(2)碾子能越过障碍物的力学条件是，因此，碾子刚刚离开地面时，其封闭的力三角形为由几何关系，此时水平拉力此时B处的约束反力(3)从图中可以清楚地看到，当拉力与垂直时，拉动碾子的力为最小，即3平面汇交力系合成与平衡的解析法1．力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。

X=Fx=F·cosaY=Fy=F·sina

=F·cosb注：力在轴上的投影为代数量，当力与轴间夹角为锐角时，其值为正；当夹角为钝角时，其值为负。力F沿正交轴Ox、Oy可分解为两个分力和时，其分力与力的投影之间有下列关系:由此，力的解析表达式为其中i、j分别为x、y轴的单位矢量。力矢的大小方向余弦力在轴上的投影X、Y为代数量，而力沿轴的分量和为矢量。当Ox、Oy两轴不相垂直时，力沿两轴的分力、在数值上也不等于力在两轴上的投影X、Y。2．平面汇交力系合成的解析法设由n个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上。以汇交点O作为坐标原点，建立直角坐标系Oxy。此汇交力系的合力合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和。由此可得其中和，和，…，和分别为各分力在x和y轴上的投影。合力矢的大小方向余弦3．平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零，即平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即满足平面汇交力系的平衡方程（两个独立的方程，可以求解两个未知量）例2—3如图所示，重物P＝20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。解：(1)取滑轮B为研究对象。AB、BC两杆都是二力杆，假设杆AB受拉力、杆BC受压力；(2)画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力＝＝P；由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。(3)列平衡方程为使每个未知力只在一个轴上有投影，在另一轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的方向。这样在一个平衡方程中只有一个未知数，不必解联立方程，故选取坐标轴如图所示。(b)(a)由式(a)得由式(b)得所求结果，为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆BC受压。为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆AB也受压力。(4)求解方程例如图所示的压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自重忽略不计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力为F＝3kN，h＝200mm，l＝1500mm。试求压块C对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。解：先选活塞杆DB为研究对象。设二力杆AB、BC均受压力。列出平衡方程解得解得再选压块C为研究对象，通过二力杆BC的平衡，可知。按图示坐标轴列出平衡方程解得§2-2平面力对点之矩,平面力偶力对刚体的作用效应移动效应用力矢来度量转动效应用力对点的矩(简称力矩)来度量1．力对点之矩(力矩)如图所示，平面上作用一力F，在同平面内任取一点O，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。力对点的矩：力对点之矩是一个代数量，它的绝对值恒等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负。由右图容易看出，力F对点O的矩的大小也可用三角形OAB面积的两倍表示，即力F对于点O的矩显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。力矩的单位常用N·m或kN·m。力对点之矩的矢量表示以r表示由点O到A的矢径。矢量积r×F的大小就是三角形OAB面积的两倍。此矢积的模|r×F|就等于力F

对点O的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。2．合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。证明：r为矩心O到汇交点A的矢径，平面汇交力系，，…，

的合力以r对上式两端作矢积，有力，，…，

与点O共面，上式各矢积平行。上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点O之矩，于是证得合力矩定理，即合力矩定理适用于任何有合力存在的力系。当平面汇交力系平衡时，合力为零；由合力矩定理可知，各力对任—点O之矩的代数和皆为零。即注：可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡。3．力矩与合力矩的解析表达式由合力矩定理，有平面内力矩的解析表达式或其中x、y为力F作用点的坐标；X、Y为力F

在x、y轴的投影（代数量）。将上式代入合力矩定理表达式，即可得合力对坐标原点之矩的解析表达式，即例2—4如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力的作用。设＝1400N。压力角。齿轮的节圆(啮合圆)的半径r＝60mm，试计算力对于轴心O的力矩。解：解法一力对于轴心O的力矩其中力臂，故解法二根据合力矩定理例如图所示的踏板，各杆自重不计。已知：力F及其与x轴的夹角α，力作用点B坐标，距离l。试求平衡时水平杆CD的拉力。解：取整体为研究对象。平衡方程利用合力矩定理求得例水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大值为q，梁长l。试求合力作用线的位置。解：在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为，其中为该处的载荷强度，大小为因此分布载荷的合力的大小为根据合力矩定理得计算结果说明：合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过该三角形的几何中心。平面力偶理论1．力偶与力偶矩等值反向平行力的矢量和显然等于零，但是由于它们不共线而不能相互平衡，它们能使物体改变转动状态。力偶:由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。力偶臂d：力偶的两力之间的垂直距离。力偶的作用面：力偶所在的平面。注：1.力和力偶是静力学的两个基本要素；2.力偶的作用只改变物体的转动状态。对由图所示的力偶，其对点O的矩矩心O是任意选取的，力偶的作用效应决定于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。力偶矩：力与力偶臂的乘积。记作，简记为M。平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定：(1)力偶矩的大小；(2)力偶在作用平面内的转向。可将力偶矩视为代数量，即力偶矩的单位与力矩相同，也是N·m。力偶矩也可用三角形面积表示，即力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之则为负。— +推论：(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。力偶矩是力偶作用的唯一量度。可用上图所示的符号表示。M为力偶的矩。2．同平面内力偶的等效定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。3．平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系(1)平面力偶系的合成设在同一平面内有两个力偶和，矩分别为和。根据同平面内力偶的等效定理，得到与原力偶等效的两个新力偶和。分别将作用在点A和B的力合成(设)，得构成与原力偶系等效的合力偶。合力偶的矩同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和，可写为(2)平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。即（一个独立的方程，可以求解一个未知量）例2—5如图所示的工件上作用有三个力偶。已知：三个力偶的矩分别为：，；固定螺柱A和B的矩离l＝200mm。求两个光滑螺柱所受的水平力。解：选工件为研究对象。根据力偶系的合成定理，三个力偶合成后仍为一力偶。螺柱A和B的水平反力构成反力偶与之相平衡。解得例2—6如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为，OA＝r=0.5m。图示位置时OA与OB垂直，。且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩及铰链O、B处的约束反力。解：取圆轮为研究对象。解得以摇杆BC为研究对象。附加力偶的矩为1．力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。证明：A点力力系，，

B点力附加力偶§2-3

平面任意力系向作用面内一点简化①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶注：②力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d

③力线平移定理是力系简化的理论基础。2．平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩平面任意力系，例如力系，，力的平移定理平面内任取一点O，称为简化中心点O的力，，（平面汇交力系）附加力偶（平面力偶系）

分别合成这两个力系（原来各力的矢量和）（原来各力对点O的矩的代数和）在一般情形下，平面任意力系向作用面内任选一点O简化可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，即平面任意力系中所有各力的矢量和作用线通过简化中心O；这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简化中心O的矩的代数和注：1.主矢与简化中心的选择无关。2.一般情况下主矩与简化中心的选择有关。以后说到主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。取坐标系Oxy主矢大小方向余弦力系对点O的主矩其中，认为力作用点的坐标。固定端或插入端支座车刀夹持在刀架上工件夹持在卡盘上简图注：固定端支座除了限制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在平面内转动。在平面问题中固定端支座对物体的作用力构成一平面任意力系向作用平面内点A简化得到一个力和一个力偶约束反作用可简化为两个约束反力、和一个矩为的约束反力偶平面任意力系的简化结果分析1．平面任意力系简化为一个力偶的情形作用于简化中心O的力相互平衡附加的力偶系并不平衡，可合成为一个力偶，合力偶矩为注：此种情况下主矩与简化中心的选择无关。2．平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理附加力偶系互相平衡。有一个与原力系等效的合力，作用线通过选定的简化中心O。①②合力矢等于主矢注：合力的作用线在点O的哪一侧，需根据主矢和主矩的方向确定。平面任意力系的合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。证明：平面任意力系对简化中心O的主矩合力对点O的矩所以得证3．平面任意力系平衡的情形§2-4平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。充分性：作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系原力系必为平衡力系必要性：合力或合力偶（不平衡）主矢与主矩都不等于零力系平衡附加力偶系也是平衡力系主矢和主矩有一个不等于零一个合力平面任意力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的矩的代数和也等于零。平面任意力系平衡的必要和充分条件平面任意力系的平衡方程(一矩式)（三个方程，求解三个未知数）例支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆DC与水平线成角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。解：(1)取AB梁为研究对象。(3)列平衡方程。(2)画受力图。(c)(a)(b)(4)解方程。由式(c)可得代人式(a)、(b)，得合成，得(a)(b)(c)式中负号表明，约束反力、的方向与图中所设的方向相反。例2—8起重机重，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上桂一重为的重物。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的反作用力。解：以起重机为研究对象。解得为负值，说明它的方向与假设的方向相反，即应指向左。解得例2—9如图所示的水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。梁的长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M＝Pa。试求A和B处的支座反力。解：选梁AB为研究对象。例2—10自重为P＝100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载荷如图所示。其中M＝20kNm，F＝400kN，q＝20kN／m，l＝lm。试求固定端A的约束反力。.解：取T字形刚架为研究对象。线分布载荷用集中力等效替代：解方程，求得负号说明图中所设方向与实际情况相反，即应为向下，应为顺时针转向。平面任意力系平衡方程的其它两种形式二矩式注：其中x轴不得垂直于A、B两点的连线。力系简化为经过点A的一个力或者平衡。力系有一合力沿A、B两点的连线，或者平衡合力必与x轴垂直或平衡x轴不得垂直于A、B两点的连线三矩式注：A、B、C三点不得共线。A、B、C三点不得共线。力系简化为经过点A的一个力或者平衡。力系有一合力沿A、B两点的连线，或者平衡力系有一合力沿A、B、C三点的连线，或者平衡注：1.在平面任意力系情形下，矩心应取在两未知力的交点上，而坐标轴应当与尽可能多的未知力相垂直。2.一矩式、二矩式、三矩式三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题。3.对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结果。平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。如图所示，设物体受平面平行力系的作用。平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即：注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。或已知：F=20kN,M=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m

求：A、B的支反力。解：以AB梁为研究对象。解得：例塔式起重机如图所示。机架重作用线通过塔架的中心。最大起重量，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重，到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重应为多少?解:(1)当满载时，为使起重机不绕点B翻倒。在临界情况下。当空载时，为使起重机不绕点A翻倒。在临界情况下。(2)当平衡荷重时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：解得利用多余的不独立方程，来校验以上计算结果是否正确。结果相同，说明计算无误。解得§2-5静定与超不定问题及物体系的平衡力偶系平面任意力系一、静定与静不定问题的概念（两个独立方程）平面汇交力系（一个独立方程）（三个独立方程）注：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）对子静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变形，加列某些补充方程。静不定问题已超出刚体静力学的范围，须在材料力学和结构力学中研究。受平面任意力系作用的由n个物体组成的物体系，有3n个独立方程。外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。注：在选择研究对象和列平衡方程时，应使每一个平衡方程中的未知量个数尽可能少，最好是只含有一个未知量，以避免求解联立方程。例2—11如图所示为曲轴冲床简图，由轮I、连杆AB和冲头B组成。A、B两处为铰链连接。OA＝R，AB＝l。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置、冲压力为F时系统处于平衡状态。求：(1)作用在轮I上的力偶之矩M的大小；(2)轴承O处的约束反力；(3)连杆AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。解：(1)以冲头为研究对象。解得连杆受压力，大小等于FB冲头对导轨的侧压力的大小等于FN(2)以轮I为研究对象。解得负号说明，力FOx

、FOy的方向与图示假设的方向相反。例2-12如图所示的组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入墙内，B处为滚动支座。己知：F＝20kN，均布载荷q＝10kN／m，M＝20，l＝1m。试求插入端A及滚动支座B的约束反力。解：先以整体为研究对象。以上三个方程中包含有四个未知量。必须再补充方程才能求解。取CD为研究对象。解得例齿轮传动机构如图所示。齿轮I的半径为r，自重。齿轮II的半径为R＝2r，其上固结一半径为r的塔轮III，轮II与III共重。齿轮压力角为，被提升的物体C重