2021年山东省淄博市南王镇中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021年山东省淄博市南王镇中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题，它的否定是（

）A．存在

B．任意C．存在

D．任意参考答案：A2.函数的最小正周期是--------------------------------（

）A

B

C

D

参考答案：D略3.已知命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根；命题q：函数f（x）=x+的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧￢q；④￢p∨￢q．则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：方程x2﹣2ax﹣1=0有两个实数根，?a∈R，可得△≥0，因此是真命题．命题q：x＜0时，函数f（x）=x+＜0，因此是假命题．下列命题：①p∧q是假命题；②p∨q是真命题；③p∧￢q是真命题；④￢p∨￢q是真命题．则其中真命题的个数为3．故选：C．4.从甲地到乙地一天之中有三次航班，两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有（

） A．2种 B．3种 C．5种 D．6种参考答案：C略5.已知双曲线C：

的离心率为，则C的渐近线方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C6.已知为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C把双曲线化为标准形式可得，则，设，由双曲线定义可得，所以，所以，所以，所以选C．

7.数列满足并且则

参考答案：C8.①；

②设，命题“的否命题是真命题；

③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件；

则其中正确的个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B9.已知点，，直线上有两个动点M,N，始终使，三角形的外心轨迹为曲线C，P为曲线C在一象限内的动点，设,,,则（

）A、

B、C、

D、参考答案：C略10.可表示为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据排列数的定义可得出答案。【详解】，故选：B.【点睛】本题考查排列数的定义，熟悉排列数公式是解本题的关键，考查理解能力，属于基础题。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x>y>z,n∈N,则恒成立，则=

参考答案：4略12.已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为

．参考答案：（﹣∞，]【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（3x）≥g（1），最后利用单调性解不等式即可【解答】解：∵f′（x）＜2x+1，∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0设g（x）=f（x）﹣（x2+x）则g（x）在R上为减函数，∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1∵f（3x）≥9x2+3x+1=（3x）2+3x+1，∴f（3x）﹣[（3x）2+3x]≥1，∴g（3x）≥1=g（1）∴3x≤1，解得x≤，故不等式的解集为（﹣∞，]故答案：（﹣∞，]13.已知椭圆+=1，过椭圆中心的直线l交椭圆于A、B两点，且与x轴成60o角，设P为椭圆上任意一点，则△PAB的面积的最大值是

。参考答案：1214.抛物线焦点在轴正半轴上，且被截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________.参考答案：略15.已知函数若在区间[－1,1]上方程只有一个解，则实数m的取值范围为______．参考答案：或【分析】令，则方程等价于有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像和的图像，动态平移的图像可得实数的取值范围.【详解】当时，由，得，即；当时，由，得，即.令函数，则问题转化为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数的取值范围是.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．16.记等差数列的前项的和为，利用倒序求和的方法得：：类似地，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即________________．参考答案：17.曲线上的点到直线的最短距离是_____________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．（1）求直线在作用下的方程；（2）求的特征值与特征向量．参考答案：（1）．设是所求曲线上的任一点，，所以

所以代入得，，所以所求曲线的方程为．（2）矩阵的特征多项式，所以的特征值为．当时，由，得特征向量；当时，由，得特征向量．略19.已知实数满足

（1）求的取值范围．

（2）若，求得最大值．参考答案：解：（1）

（2）略20.已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：常规题型；压轴题；转化思想．分析：（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为解答： 解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0

即a+a﹣2=0，解得

a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是【题文】设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．【答案】【解析】考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）由函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，知当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义能求出不等式f（x）≥3的解集．（2）对?x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=，f（x）min=a﹣1．同理，得当a＜1时，f（x）min=1﹣a，由此能求出a的取值范围．解答： 解：（1）∵函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，∴当a=﹣1时，不等式f（x）≥3等价于|x﹣1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义：|x﹣1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点﹣1的距离之和大于或等于3，则点x到点1和点﹣1的中点O的距离大于或等于即可，∴点x在﹣或其左边及或其右边，即x≤﹣或x≥．∴不等式f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪∪点评：本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围，综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，合理运用函数恒成立的性质进行等价转化．21.（14分）已知集合A={（x，y）|x2+（y+1）2≤1}，B={（x，y）|x+y=4m}，命题p：A∩B=?，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑．【分析】（1）根据命题p是真命题，结合直线和圆的位置关系，求出m的范围即可；（2）分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，求出m的范围即可．【解答】解：（1）由命题p为真命题，则d=＞1…解得：m＞或m＜﹣

…（2）若命题q为真命题，则，解得：0＜m＜

…∵“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p，q一真一假…若p真q假，则m≥或m＜﹣…；若p假q真，则0＜m≤…（13分）综上：m的取值范围为m≥或m＜﹣，或0＜m≤…（14分）【点评】本题考查了符合命题的判断，考查直线和圆的位置关系以及椭圆的性质，是一道基中档题．22.已知（）个半圆的圆心在同一条直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，设这个半圆被所有的交点最多分成段圆弧.（1）求；（2）由（1）猜想的表达式并用数学归纳法证明.参考答案：设这些半圆最多互相分成f(n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f(3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f(4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f(k