勾股定理的综合探究题型（原卷版+解析）

专题10勾股定理的综合探究题型（原卷版）

题型一探究直角三角形的边和高之间的关系

典例1（湖州模拟）如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,CZ）_LAB于。，设AC=6,BC=a,AB=c,CD

=h,有下列四种说法：①a・b=c・h；®a+b<c+h；③以a+b、〃、c+/z为边的三角形，是直角三角形；④

111

^+-T=—.其中正确的有（）

azb23

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型二捕捉“手拉手”全等模型或旋转构造“手拉手全等”模型

典例2（2022•卧龙区校级开学）如图,ZBAC=ZDAF=90°,AB=AC,AD=AF,点、D,E为BC边上

的两点，且NZME=45°,连接ERBF,下列结论：①△AEDWAAEF；②BF=CD；③BE+DODE；

@BE^+DC2=D号.其中正确的有（

C.3个D.4个

典例3（2020•滨州模拟）如图，点尸是等边三角形ABC内一点，且必=3,尸8=4,PC=5,若将△AP8

绕着点B逆时针旋转后得到△CQ8,则ZAPB的度数

针对练习

1.（洪山区期中）如图，30°,P点在NAOB内部，M点在射线。4上，将线段绕尸点逆时

针旋转90°,M点恰好落在。8上的双点（OM>ON）,若ON=8,则OW=

2.（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△C。。中，NAOB=NCOD=90°,AO^BO,CO=DO,

连接CA,BD.

(1)求证：AAOC^ABOZ)；

(2)连接BC,若OC=1,AC=V7,BC=3

①判断△CZJB的形状.

②求NAC。的度数.

题型三倍长中线构造全等三角形

典例4(2022•苏州模拟)如图1,在△ABC中，ZACB=90°,点。为43中点，DE,。下分别交AC于点

E,交8C于点RS.DELDF.

(1)如果CA=C8,连接CD

①求证：DE=DF；

②求证：AE2+BF2^EF2；

(2)如图2,如果CACC8,探索AE,2尸和EP之间的数量关系，并加以证明.

题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股

典例5［阅读理解］

如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=7,过点A作直线2C的垂线，垂足为。，求线段的长.

解：设BD=x,则CD=1-x.

\'AD1BC,

：.ZADB=ZADC=9Q°.

在RtAABD中，AD1=AB2-BD2,

在RtA4C。中，AD2=AC2-CD1,

：.AB2-BD2^AC2-CD2.

又：/18=4,AC=6,

/.42-X2=62-(7-x)2.

解得.•.BO=2i.

1414

:-AD=VAB2-BD2=苗;$.

［知识迁移］

(1)在△ABC中，AB^13,AC=15,过点A作直线BC的垂线，垂足为D

i)如图1,若BC=14,求线段的长；

ii)若AO=12,求线段2C的长.

(2)如图2,在△ABC中，48=2殳代，AC=—：/29,过点A作直线8C的垂线，交线段8C于点

42

将沿直线翻折后得到对应的，连接C。'，若AD=2殳，求线段C。'的长.

2

BD

针对训练

1.如图，在RtZvlBC中，ZACB=90°，4。平分NC48,交CB于点D.若AC=3,AB=5,则CD的长

2.如图，在△ABC中，AO_LBC于点Q,8尸平分/ABC交A。于点E,交AC于点尸.AC=17,AD=15,

BC=28,则AE的长等于.

题型五勾股定理解决折叠问题

典例6(2022•东莞市校级二模)将正方形ABC。折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交A。于E,

交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若。C=5,CM=2,则所=()

A.3B.4C.V29D.V34

针对训练

1.如图，将一张长方形纸片沿着AE折叠后，点D恰好与BC边上的点F重合，已知AB=6cm,BC=10cm,

求EC的长度.

题型六勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用

典例7（2017春•武昌区校级月考）如图，A（0,m）,B（〃，0）,满足-5产+层-10〃+25=0

（1）求点A,点B的坐标；

（2）点尸是第二象限内一点，过点A作AC,射线8P,连接C。，试探究8C,AC,CO之间的数量关

系并证明.

（3）在（2）的条件下，ZPOC=ZAPC,PA=442,求P8的长.

1.（2022秋•莲湖区校级期中）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3,0）,2（1,V3）.

（1）求线段AB的长；

（2）若在无轴上有一点P,使得为等腰三角形，请你求出点尸的坐标.

专题10勾股定理的综合探究题型(解析版)

题型一探究直角三角形的边和高之间的关系

典例1(湖州模拟)如图，在中，ZACB=90°,CDLABD,设AC=b,BC

=a,AB=c,CD=h,有下列四种说法：①ia，b=c・h；②a+b<c+h；③以a+b>h、c+h

111

为边的三角形，是直角三角形；④=+==其中正确的有()

azbzhz

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路引领：①根据三角形面积公式即可求解；

②证明(a+b)2<(c+h)2；

③直角三角形，证明Q+/1)2+层=(c+h)2；

11

④只需证明层(―+—)=1,从左边推导到右边.

11

解：①：RtAABC的面积为：一次?或一

22

ab=ch,故①正确；

②Vc2<c2+/z2,cP+b2=c2,

:.a2+b2<c2+h2,

•ab~~ch,

c^+b1+lab<C2+/Z2+2C/Z,

(〃+。)2<(c+/z)2,

a+b<c+h,故②正确；

③：(c+h)2=C2+2C/Z+/I2,

庐+(〃+。)2=序+/+2ab+伊,

,•,/+庐-2,(勾股定理)

ab=ch(面积公式推导)

c^+lch+h2=h1+cP,+2,ab+b1,

(c+h)2=庐+Q+b)2,

・•・根据勾股定理的逆定理知道

以/z,c+h,为边构成的三角形是直角三角形，③正确；

@Vab=ch,

:.(ab)2=(ch)2,即a2,b2=c2h2,

Va2-^-b2=c2,

/.a2b2=（/+廿）h2,

22

ab9

。2+块1

a2b2九2,

a2b21

a2b2a2b2九2,

111

・•・后+记=后’故④正确.

故选：D.

总结提升：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一

定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式仍="?的应用.

题型二“手拉手”全等或旋转构造手拉手全等模型

典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，NB4C=ND4F=90°,AB=AC,AD=AF,点。,

E为BC边上的两点，且/。4E=45°,连接EF,BF,下列结论：①ZXAED注AAEF；

②BF=CD；③BE+DODE；@BE2+DC2^DE2.其中正确的有（）

F

BEDC

A.1个B.2个C.3个D.4个

思路引领：根据ND4B=90°,NDAE=45：得出NR1E=45°,利用SAS证明△AED

且AAEF,判定①正确；

可证△A8F四△ACD,于是8P=C。，判定②正确；

先由/BAC=/D4E=90°,得出/CAD=/BAF,再利用SAS证明△ACOgZkABF得

出CD=BF,又①知DE=EF,那么在△8EF中根据三角形两边之和大于第三边可得

BE+BF>EF,等量代换后判定③正确；

先由△AC。/得出NC=NA8/=45°,进而得出NEBF=90°,然后在RtzYBE尸

中，运用勾股定理得出8炉+8尸=£产，等量代换后判定④正确.

解：①,ZDAE=45°,

：.乙FAE=ZDAF-ZDAE=45°.

在△AED与中，

AD=AF

ADAE=^FAE=45°,

.AE=AE

：.^AED^AAEF（SAS）,①正确；

②：/B4C=NZMF=90°,

：.ZFAB=ZCAD,

在△ABf'与△AC。中，

AF=AD

^FAB=ACAD,

.AB=AC

：.AABF^AACD(SAS),

：.BF=CD,②正确；

③；NBAC=NZMP=90°,

ABAC-NBAD=ZDAF-ZBAD,即NCAD=ZBAF.

在△AC£)与△ABB中，

AC=AB

/.CAD=4BAF,

.AD=AF

：.AACD^AABF(SAS),

：.CD=BF,

由①知△AE£)之△?1£1/,

：.DE=EF.

在△BEF中，'：BE+BF>EF,

：.BE+DC>DE,③正确；

由③知△ACD注△ABF,

：.ZC=ZABF=45°,

VZABE=45°,

AZEBF=ZABE+ZABF=90°.

在Rt/XBEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2,

,:BF=DC,EF=DE,

：.BE1+DC2=DE1,④正确.

所以正确的结论有①②③④.

故选：D.

总结提升：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性

质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，熟练运用这

些知识点是解题的关键.

典例3(2020•滨州模拟)如图，点尸是等边三角形A2C内一点，且B4=3,PB=4,PC

=5,若将△APB绕着点2逆时针旋转后得到△CQ2,则/APB的度数.

思路引领：首先证明△BP。为等边三角形，得尸=60°,由△ABP0CBQ可得。C

=PA,在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出NPQC=90°,可求N8QC

的度数，由此即可解决问题.

解：连接尸。由题意可知△ABP四△CB。

则。8=尸8=4,PA=QC=3,ZABP=ZCBQ,

,/△ABC是等边三角形，

ZABC=/ABP+NPBC=6Q°,

：.ZPBQ=ZCBQ+ZPBC=60°,

...△BP。为等边三角形，

：.PQ=PB=BQ=4,

又：尸。=4,PC=5,QC=3,

：.P^+QC1=PC2,

：.ZPQC=90°,

•：^BPQ为等边三角形，

：.ZBQP=6Q°,

：.ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°

ZAPB=ZBQC=l50°

总结提升：本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，

解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型.

针对练习

1.（洪山区期中）如图，NAOB=30°,尸点在NA08内部，〃点在射线。4上，将线段

绕尸点逆时针旋转90°,M点恰好落在上的N点（OM>ON）,若PM=V10,

ON=8,则OM=—.

思路引领：连接MN,作NH_LOA于”，如图，根据旋转的性质得/MPN=90°,PN=

PM=V10,可判断△PMN为等腰直角三角形，则知2&「河=2m，在RtZiOHN中,

根据含30度的直角三角形三边的关系得NH=3ON=4,OH=WNH=4®然后在Rt

△MNH中根据勾股定理计算出MH=2,由此得到OH+HM=46+2.

解：连接MN,作NH_LOA于如图，

:线段绕尸点逆时针旋转90°,M点恰好落在02上的N点，

；./MPN=90°,PN^PM=V10,

...△PMN为等腰直角三角形，

：.MN=V2PAf=2V5,

在RtZXOHN中，:NNOH=3Q°,ON=8,

1

：.NH=沙N=4,

OH=V^VH=4亚

在中，,;NH=4,MN=2亚,

：.MH=y/MN2-NH2=2,

：.OM=0H+HM=4V3+2.

故答案为4遮+2.

总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心

所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质

和含30度的直角三角形三边的关系.

2.（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△COO中，ZAOB=ZCOD=90°,AO

=BO,CO=DO,连接CA,BD.

（1）求证：AAOC^ABOZ）；

（2）连接8C,若OC=LAC=V7,BC=3

①判断△CDS的形状.

②求/ACO的度数.

o

思路引领：（1）由题意可得/AOC=/BO。，且AO=BO,CO=DO,即可证△AOC也

△BOD；

(2)①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得NBOC=90°,即可得△CDB是直

角三角形；

②由全等三角形的性质可求/ACO的度数.

证明：(1),：ZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC=ZBOD,且AO=BO,CO=DO,

：./\AOC^/\BOD(SAS)

(2)①如图，

△AOgMBOD

：.ZACO=ZBDO,AC=BD=小

：CO=Z)O=1,NCO£)=90°

:.CD=7c02+DO2=V2,ZODC=ZOCD=45

\'CD2+BD1=9=BC2,

：.ZCDB^90°

...△BCD是直角三角形

②：/BOO=N0£>C+NCDB

：.ZBDO=135Q

：.ZACO=ZBDO=135°

总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的

逆定理，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键.

题型三倍长中线构造全等三角形

典例4(2022•苏州模拟)如图1,在△ABC中，NAC3=90°,点。为AB中点，DE,DF

分别交AC于点E,交BC于点R>DELDF.

(1)如果CA=CB,连接CD.

①求证：DE=DF；

②求证：AE2+BF2=£F2；

(2)如图2,如果CACCB,探索AE,8尸和EF之间的数量关系，并加以证明.

思路引领：(1)①根据等腰直角三角形的性质可知，NDCE=/DBF=45°,ZCDB

90°,CD=BD.由。可证明NCDE=N8OP.即可利用“ASA”证明△OCE0

△DBF,即得出Z)E=OF；②由全等三角形的性质可知BF=CE,结合题意可求出AE=

CF.在RtzXEC尸中，再由勾股定理，得Cp2+c£2=E产，即得出4炉+8产=石尸；

(2)延长FD至点M,使DM=DF,连接AM,EM.易证丝△BDE(SAS),得

出AM=B尸，ZMAD=ZB,从而判断AA/〃BC,即证明/MAE=NAC8=90°.再根据

线段垂直平分线的判定和性质可知EF=EM.最后在RtAAEM中，由勾股定理，得

AE^+AM2=EM2,即得出AEr+BF1=EF2.

(1)①证明：'：CA=CB,ZACB=90°,

...△ABC是等腰直角三角形.

:点。是42的中点，

；.NDCE=NDBF=45°,NCDB=90°,CD=BD.

又；DE_LDF,

:./EDF=NCDB=90°,

,?ZCDE=ZEDF-ACDF,ZBDF=ZCDB-/CDF,

：.ZCDE=ZBDF.

在△OCE与△DBP中，

2DCE=乙DBF

CD=BD,

"DE=乙BDF

:.ADCE坦LDBF(ASA),

:.DE=DF；

②证明：由①可知△•DCEg/XOBR

：.BF=CE,

,:CA=CB,

：.CA-CE=CB-BF,即AE=CF.

在Rtz\ECP中，由勾股定理，CF2+CE1=EF2,

:.AE1+BF2=EF2；

(2)解：结论：AE1+BF2=EF1.理由如下：

如图，延长阳至点M,使Z)M=Z)R连接AM,EM.

:点。为AB中点，

：.AD=BD,

,：ZADM=ZBDF,DM=DF,

AAADM^ABDF(SAS),

：.AM^BF,NMAD=NB,

J.AM//BC,

：.ZMAE=ZACB=90°.

5L'：DELDF,DM=DF,

...OE是PM的垂直平分线，

；.EF=EM,

在RtZ\AEM中，由勾股定理，得4£2+4|12=后序，

:.AE2+BF2=EF2.

总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线

段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识.掌握三角形全等的判定条件和正确的作

出辅助线构造全等三角形是解题关键.

题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股

典例5［阅读理解］

如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=7,过点A作直线BC的垂线，垂足为£),求

线段的长.

解：设BD=尤，则C£)=7-尤.

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=9Q°.

在RtAABD中，AD1=AB1-BD1,

在RtAACD中，AD2=AC2-CD2,

：.AB2-BDr^AC2-CD2.

又：AB=4,AC=6,

.,.42-X2=62-(7-x)2.

解得尤=2i,

14

•••^=VAB2-BD2=J^-

［知识迁移］

(1)在△ABC中，48=13,AC=15,过点A作直线8c的垂线，垂足为。.

z)如图1,若BC=14,求线段AD的长；

n)若4。=12,求线段BC的长.

(2)如图2,在△ABC中，42=至，而，47=反何，过点A作直线BC的垂线，交

42

线段BC于点。，将△42。沿直线AB翻折后得到对应的，连接C。'，若

=空，求线段C。'的长.

2

思路引领：(1)0利用勾股定理得出AB2-BD^AC2-CD2,进而建立方程求2D即

可得出结论；

拓)先利用勾股定理求出BC=5,CD=9,再分两种情况.即可得出结论；

(2)先利用勾股定理求出BD,CD,再利用面积求出DN,进而求出DD',再用勾股定

理得出D'H2=D'D2-HD2=D'B2-HB1,进而建立方程求出HB,即可得出结论.

解：(1)0设2。=为则C£>=14-x,

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

在RtZ\AB£)中，AD2^AB2-BD1,

在RtAACD中，AD2=AC2-CD2,

：.AB2-BEr^AC2-CD2,

：4B=13,AC=15,

.\132-?=152-(14-x)2,

・・x=5,

:.BD=5,

AD=VAB2-BD2=V132-52=12；

在中,22=5,

z'z)RtAABDBD=A/AB2_AD2=y/13-12

在Rt^ACO中，CD=^/AC2_AD2=^/152_122=9,

当/ABC为锐角时，如图1-1,BC=BD+CD=5+9=14,

当/ABC为钝角时，如图1-2,BC=BD-CD=9-5=4；

(2)如图2,连接。。交AB于点N,则

过点。作D'HLBD于H,

在中，吁｛AB2_AD2=J)2得)2号

在Rt/viCO中，CZ)=VAC2-AD2=^(1V29)2-(-y)2=5.

垂直平分。。，

：.D'B=DB=^-,D'D=2DN,

4

SAABO=£A£>•B£>=■研,DN，

...空x—=—V5,£>^>

244

:.DN=^^~,

2

:.D'D=2DN=5岳,

设HB=m,则加=£«+2。=加+至，

4

'：D'H2=D'D2-HD1=D'B1-HB2,

：.(5返)2-(切+至)2=(至)2-m2,

44

・.・m_=——15,

4

：.HB=^-,

4

：.HC~HB+BD+CD~15+25+4-15,D'H-yTJR2-RR2=J(")2_g)2=5,

,•D'C=VD/H2+HC262+]52=5715.

Dr

：

HB尸，

图2

总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程

的思想解决问题是解本题的关键.

针对训练

1.如图，在RCABC中，ZACB=90°,A。平分NCAB,交CB于点、D.若AC=3,AB

=5,则CD的长为（）

思路引领：如图，作。于首先证明AC=AH,DC=DH,AC=A8=3,设。C

=DH=x,在RtZsBDH中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

解：如图，作£）H_LA2于

平分/C42,DCLAC,DHLAB,

：.ZCAD=ZHAD,ZC=ZAHD^90°,

'：AD^AD,

：.AADC^AA£)H(A4S),

：.AC=AH=3,CD=DH,设CO=OH=x,

'：AB=5,

：.BH=AB=AH=5-3=2,

在Rt/XACB中，VZC=90°,AC=3,AB=5,

：.BC==4,

在RtZ\H3£>中,则有(4-x)2=X2+22,

,\CD=^-,

2

故选：A.

总结提升：本题考查勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

2.如图，在△ABC中，于点。，BF平分/ABC交AD于点E,交AC于点孔AC

=17,AD=15,BC=28,则AE的长等于.

思路引领：利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG=ED,证明Rt

△BDE丝RtABGE(HL),可得2G=BD,设AE=尤，则E£)=15-x,根据勾股定理列方

程可得结论.

解：-JADLBC,

：AO=15,AC=17,

・•・DC=VAC2-AD2=A/172-152=8'

VBC=28,

：.BD=28-8=20,

由勾股定理得：AB=Q2+152=25,

过点E作EGL4B于G,

：8尸平分/ABC,AD±BC,

：.EG=ED,

在RtABDE和RtABGE中，

.../EG=ED,

.(BE=BE'

.•.RtABDE^RtABGE(HL),

：.BG=BD=20f

・・・AG=25-20=5,

AE=x,贝(jEO=15-x,

：.EG=15-x,

RtZ\AGE中，X2=52+(15-x)2,

丫一25

3

；.AE=空.

3

故答案为：25

3

总结提升：本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟

练掌握勾股定理是解题的关键.

题型五勾股定理解决折叠问题

典例6(2022•东莞市校级二模)将正方形ABCD折叠，使顶点A与C。边上的点M重合,

折痕交于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G.若DC=5,CM=2,则

EF=()

A.3B.4C.V29D.V34

思路引领：作FH±AD,结合折叠性质：EFLAM,证/POF=NAOH=NAMD=/FEH,

再证AADM电△FHE得EF=AM,根据勾股定理即可求出结果.

解:由折叠的性质得所，AM,

过点/作切_LA£)于"交AM于O,

则/AQM=Nf7/E=90°,

AZHAO+ZAOH=90°、ZHAO+ZAMD=90°,

ZPOF=ZAOH=/AMD,

又：EELAM,

/.ZPOF+ZOFP=90°、ZHFE+ZFEH=90°,

/POF=ZFEH,

：.ZFEH=ZAMD,

•..四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD=FH=5,

在△A£)M和△尸HE中，

-/.ADM=乙FHE

^AMD=乙FEH,

.AD=FH

：./\ADM^/\FHE(AAS),

：.EF^AM=y/AD2+DM2=V52+32=V34.

故选：D.

总结提升：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角

形的判定与性质是解题的关键.

针对训练

1.如图，将一张长方形纸片沿着AE折叠后，点。恰好与8C边上的点尸重合，已知A8=

解：由题意可知△ADE之尸E,

所以AE=AQ=10cm,EF=DE.

在RtAAFB中，根据勾股定理得BF=y)AF2-AB2=8(cm),

所以FC=BC~BF=2(cm).

设EC=xcm,DE=DC—EC=(6—x)cm,EF=(6~x)cm,

在RtAEFC中，根据勾股定理有EF^FC^+EC1,

QQ

即(G—XAUZZ+X2,解得X=Q,所以EC=gcm.

题型六勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用

典例7(2017春•武昌区校级月考)如图，A(0,m),B(n,0),满足J(m-5尸+/一Wn+25

=0

(1)求点A,点B的坐标；

(2)点P是第二象限内一点，过点A作AC,射线BP,连接CO,试探究8C,AC,CO

之间的数量关系并证明.

(3)在(2)的条件下，ZPOC=ZAPC,PA=4班,求尸8的长.

思路引领：(1)利用非负数的性质求得机、〃的值，易得点A、8的坐标；

(2)如图1,作。。_1。＜7交尸8于。，证4。470/\。8。(4&4)(提示人。，8c八字形)，

得证等腰RtAOCZ),故BC-AC=CD=V2C0