24.4 相似三角形判定（第4课时）同步练习

24.4相似三角形判定（第4课时）【夯实基础】一、单选题1．如图，、是的两条高，、相交于，则下列结论不正确的是（

）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽2．如图，中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）①②③④⑤A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图直角梯形中，，，，，，，则______．（用、的代数式表示）三、解答题4．在中，，于点，（1）写出图中所有的相似三角形；（2）写出（1）中相似三角形对应边的比例式．5．如图，已知，，且，求证：．6．如图，在矩形中，，，是的中点，联结、．求证：．7．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽．8．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【能力提升】1．如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有_____条．2.已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则 斜边上的中线长是 ．3.如图，在中，于D，于F，于G．求证：．4.如图，直角梯形ABCD中，，AD//BC，，E为梯形内一点，且．将绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到，连接 EF交CD于点M．已知，，求的值．5.如图，在中，于D，于E，于F，求证：∽．6.在中，，于点D，E是AC边上的一个动点（不 与A、C重合），于点F，连接DF．（1）求证：；（2）求证：．

24.4相似三角形判定（第4课时）（解析版）【夯实基础】一、单选题1．如图，、是的两条高，、相交于，则下列结论不正确的是（

）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.【详解】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AEC∴又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正确；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正确；∵△BOE∽△COD∴又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正确；无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键.2．如图，中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）①②③④⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC为直角三角形，故正确；②根据CD2=AD•DB得到，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确；③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为90°，故错误；④设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正确；⑤由三角形的相似无法推出AC•BD=AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故错误．所以正确的有三个．故选C．二、填空题3．如图直角梯形中，，，，，，，则______．（用、的代数式表示）【答案】【分析】由题目条件易得∠D=∠ACB=90°，∠ACD=∠BAC，可判定△ACD∽△BAC，然后由对应边成比例可求出AB.【详解】∵DC∥AB∴∠ACD=∠BAC∵DA⊥DC，AC⊥BC∴∠D=∠ACB=90°∴△ACD∽△BAC∴∴在Rt△ACD中，∴故答案为.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理，找出对应角相等是解决本题的关键.三、解答题4．在中，，于点，（1）写出图中所有的相似三角形；（2）写出（1）中相似三角形对应边的比例式．【答案】（1）△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2），，.【分析】（1）根据两角相等可判定△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，再由相似的传递性可得△ACD∽△CBD；（2）再由相似三角形对应边成比例写出比例式.【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC=90°，又∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD同理可得△ABC∽△CBD，∴△ACD∽△CBD故相似三角形为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）∵△ABC∽△ACD∴∵△ABC∽△CBD∴∵△ACD∽△CBD∴故比例式为：，，.【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握由两组对角相等判定三角形相似，以及相似三角形对应边成比例是解决本题的关键.5．如图，已知，，且，求证：．【分析】由可得，可判定Rt△ABD∽Rt△DBC，然后由相似三角形对应角相等可得∠ABD=∠DBC.【详解】证明：∵∴∴Rt△ABD∽Rt△DBC∴∠ABD=∠DBC【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握直角三角形的斜边直角边对应成比例即可判定相似是解决本题的关键.6．如图，在矩形中，，，是的中点，联结、．求证：．【分析】由条件易得，根据两组对边成比例且夹角相等可判定△ABM∽△BCD，再由对应边相等可得∠BAM=∠CBD，然后可推出∠CBD+∠AMB=90°，即可得AM⊥BD.【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=，BC=AD=，∠ABM=∠BCD=90°又∵M是BC的中点，∴BM=BC=∴，∴又∵∠ABM=∠BCD∴△ABM∽△BCD∴∠BAM=∠CBD又∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBD+∠AMB=90°，∴AM⊥BD.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由线段长度得出成比例线段是解决本题的关键.7．已知：和中，、分别为与的高线，且．求证：∽．【分析】在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中，由直角边和斜边对应成比例得到△ABD∽△A'B'D'，所以∠B=∠B'，再根据两组对边成比例且夹角相等，判定△ABC∽△A'B'C'.【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△A'B'D'中，∵，∴△ABD∽△A'B'D'，∴，又，∴∽．【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，熟练掌握判定定理是解决此类问题的关键.8．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°．试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵．∴△ACD∽△CBD；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．

考点：相似三角形的判定与性质．【能力提升】1．如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有_____条．【答案】3试题分析：过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故答案为3．考点：相似三角形的判定．2.已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则 斜边上的中线长是 ．【答案】．【解析】解：如右图，在中，， 于点，．设，，． 易证，得，得，所以 解得，，而，所以．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．3.如图，在中，于D，于F，于G．求证：．【解析】证明：，， ． 又，． ，即． 同理可得：，．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．4.如图，直角梯形ABCD中，，AD//BC，，E为梯形内一点，且．将绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到，连接 EF交CD于点M．已知，，求的值．【答案】．【解析】解：由旋转的性质得：， 且． ． ， ． ． 在中，．．【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．5.如图，在中，于D，于E，于F，求证：∽．【解析】证明：，， ． 又，． ，即． 同理，可得：． ，即．