2.5.1 三角函数的应用-仰俯角、方向角问题 同步练习

第二章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第1课时三角函数的应用——仰俯角、方向角问题基础过关全练知识点1三角函数的应用——仰角、俯角问题1.(2023山东淄博高青期中)如图，某景区的两个景点A，B处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A，B间的距离为米(结果保留根号).()

A.2003 B.300(1+3) C.(100+1003) D.(100+3)2.(2022湖北孝感中考)如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC的长为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为m.(sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数)

3.(2023山东泰安东平期中)如图，大楼AB的右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上).已知AB=80m，DE=10m，求B，C两点间的距离.(结果保留根号)4.(2023江苏苏州期末改编)我国舰载无人直升机试飞成功，标志着中国航母将率先配置无人机，超越美国航母!如图，无人机在同一高度沿直线BC由B向C飞行，且飞行路线经过观测目标A的正上方.在第一观测点B处测得目标A的俯角为60°，航行1000米后在第二观测点C处测得目标A的俯角为75°，求第二观测点C与目标A之间的距离.5.(2022天津中考)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度(结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90).[变式1：条件变](2023山东青岛莱西期末)图1是修复后的某古城门及城门楼的简图，某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该城门楼顶部到地面的距离.如图2所示，他们沿坡度i=1∶3的登城阶梯从底部的A处前行6米到达P处(AP=6米)，测得城门楼最高点C的仰角为60°，楼底部B的仰角为35°(测量员的身高忽略不计)，已知城门楼的高BC=10米，求城门楼顶部到地面的距离OC(结果保留整数.参考数据：3≈1.73，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70). 图1 图2[变式2：图变](2019湖北恩施州中考)如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB=6m，DE=10m.求乙楼的高度AC.(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果精确到0.1m)知识点2三角函数的应用——方向角问题6.(2022湖北荆门中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以502海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t=.

7.(2022安徽中考)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B两点间的距离.(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)8.(2021山东烟台莱州期末)为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C位于A的南偏西15°方向距离A地(30+303)km处的位置.学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组学生同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h，两组学生到达目的地分别用了多长时间?哪组学生先到达目的地?请说明理由(结果保留根号).9.(2020江苏南京中考)如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B，C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD=45°，∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

第二章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第1课时三角函数的应用——仰俯角、方向角问题答案全解全析基础过关全练1.C∵MN∥AB，CD⊥AB，∴CD⊥MN，∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°.∵CD=100米，∴AD=CD=100米，DB=CD·tan∠BCD=1003(米).∴AB=AD+DB=(100+1003)米.故选C.2.16解析如图，过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形，∴BE=CD=6m，DE=BC.在Rt△ADE中，∠ADE=α=45°.设AE=xm，则BC=DE=xm，AB=(6+x)m.在Rt△ABC中，tan∠ACB=tanβ=tan58°=ABBC，∴6+xx≈1.60，解得x≈10，∴3.解析如图，过点D作DF⊥AB于点F，则BF=DE=10m，DF∥BE，∴∠DCE=∠CDF=30°.在Rt△ADF中，AF=AB-BF=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m.∴BE=DF=70m.在Rt△CDE中，DE=10m，∠DCE=30°，∴CE=DEtan30°=∴BC=BE-CE=(70-103)m.答：B，C两点间的距离为(70-103)m.4.解析如图，过C作CD⊥AB于D.∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°.∵∠B=60°，∴CD=BC·sinB=1000·sin60°=5003(米).∵∠ACB=75°，∠B=60°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=45°.在Rt△ACD中，sinA=CDAC∴AC=5003sin45°答：第二观测点C与目标A之间的距离为5006米.5.解析根据题意得，BC=32m，∠APC=42°，∠APB=35°.设PA=xm.在Rt△PAC中，tan∠APC=ACPA，∴AC≈0.9xm在Rt△PAB中，tan∠APB=ABPA，∴AB≈0.7xm∵AC=AB+BC，∴0.9x=0.7x+32，解得x=160.∴AB=0.7×160=112(m).答：这座山AB的高度约为112m.[变式1]解析如图，过点P作PD⊥OA，垂足为D.由题意得PE⊥OC，PD=OE，∠CPE=60°，∠BPE=35°.∵斜坡AP的坡度i=1∶3，∴PDAD∴在Rt△APD中，tan∠PAD=PDAD=33，∵AP=6米，∴PD=12AP=3米.∴OE=PD=3米设PE=x米，在Rt△CPE中，CE=PE·tan60°=3x米.在Rt△BPE中，BE=PE·tan35°=tan35°·x米.∵BC=CE-BE=10米，∴1.73x-0.70x≈10，解得x≈9.7.∴CE=3x≈16.8(米)，∴CO=CE+OE=16.8+3≈20(米).∴城门楼顶部到地面的距离OC约为20米.[变式2]解析如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形.∴EF=CD，CF=DE=10m.易知∠EBF=60°，∠DAC=45°，设AC=xm，则CD=EF=xm，BF=(x-16)m，在Rt△BEF中，∠EBF=60°，tan∠EBF=EFBF∴xx−16=3.∴x=24+83≈37答：乙楼的高度AC约为37.8m.6.1+3解析如图，由题意得，∠PAC=45°，∠PBA=30°，AP=100海里.在Rt△APC中，AC=AP·cos45°=100×22=50PC=AP·sin45°=100×22=50在Rt△BCP中，BC=PCtan30°=∴AB=AC+BC=(502+506∴t=502+506507.解析如图，∵CE∥AD，∴∠A=∠ECA=37°.∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°.∴∠ABD=90°.在Rt△BCD中，∠BDC=90°-53°=37°，CD=90米，cos∠BDC=BDCD∴BD=CD·cos37°≈90×0.80=72(米).在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=72米，tanA=BDAB∴AB=BDtan37°≈答：A，B两点间的距离约为96米.8.解析如图，过点B作BD⊥AC于D.由题意得，∠BAE=45°，∠ABC=180°-45°-30°=105°.又∠CAE=15°，∴∠BAC=30°，∴∠ACB=45°.设BD=xkm.在Rt△BCD中，易知∠DCB=45°=∠CBD，∴CD=BD=xkm，BC=2xkm.在Rt△BDA中，∠BAD=30°，∴AD=BDtan∠BAD=xtan30°=3xkm，∵CD+AD=(30+303)km，∴x+3x=30+303