中学数学教学案例

中学数学教学案例及理论依据

中学数学教学案例全文共89页，当前为第1页。本次课给大家提供一种教学参考视角您坚持独立思考（犹如吃饭）知其然知其所以然大处着眼、小处着手（小中见大）中学数学教学案例全文共89页，当前为第2页。基于HPM的教学案例

数学教师的三重境界：停留在知识层面——教书匠；体现数学思维——智者；进行文化熏陶——大师

。（润物细无声）（了解一些数学史和数学思想史）中学数学教学案例全文共89页，当前为第3页。

一、数学史对于数学学习的意义几种观点：

1.荷兰数学教育家弗赖登塔尔：

没有一种数学思想是按照它被发现时的方式加以发表的。一种技巧发展了、使用了，一个问题得以解决了，就把解决问题的程序颠倒过来。……（于是）火热的发明变成了冰冷的美丽。中学数学教学案例全文共89页，当前为第4页。2.美国数学家、数学史家M·克莱因：

通常的一些数学课程也使人产生一种错觉。它们给出一个系统的逻辑叙述，使人们有这种印象：数学家们几乎理所当然地从定理到定理，数学家能克服任何困难，并且这些课程完全经过锤炼，已成定局。学生被湮没在成串的定理中，特别是当他们正开始学习这些课程的时候。中学数学教学案例全文共89页，当前为第5页。从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿，没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数。数学家花了约一千年才理解负数。数学家花了几千年时间才理解无理数。历史上数学家所遇到的困难，正是学生也会遇到的学习障碍，因而数学史是教学的指南。中学数学教学案例全文共89页，当前为第6页。3.美籍挪威数学家菲尔兹奖、沃尔夫奖获得者塞尔伯格：我曾经跟很多已成为数学家的人谈起他们在中学所学的数学。他们中的大多数并非从中得到特别的鼓舞，而是自学自己偶然碰到的或以某种方式得到的课外读物，我自己就是一例。我认为对中学的数学一定要重新斟酌，应增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。中学数学教学案例全文共89页，当前为第7页。人的一生经历的人类进化过程。中学数学教学案例全文共89页，当前为第8页。二、HPM简介国际上的HPM小组，全称是InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics(数学史与数学教育关系研究国际组)，成立于1972年。中学数学教学案例全文共89页，当前为第9页。1.数学史在数学教学中的作用汪晓勤等的观点：（1）激发学生学习的兴趣。数学家的故事、数学概念的起源、古今数学方法的对比等，都可起到激发学生学习兴趣的作用。这些故事拉近了数学家与普通学生的距离，数学发现不再神秘。中学数学教学案例全文共89页，当前为第10页。（2）对学生的人格成长产生启发作用。中学数学教学案例全文共89页，当前为第11页。（3）不同时空数学的思想的对比有利于拓展学生的视野，培养学生全方位的认知能力和思考弹性。比如勾股定理，古代中国、希腊、印度，近代欧洲都有证明，这些证明可以引入课堂。张奠宙教授认为，一堂勾股定理课，可以上成一堂数学史课。当然，不是为了上数学史课，而是可以帮助学生更好的理解数学。中学数学教学案例全文共89页，当前为第12页。（4）学生了解数学的多元文化意义。中学数学教学案例全文共89页，当前为第13页。英国数学史家JohnFauvel总结了应用数学史于数学教学的各种理由如下:(1)增加学生的学习动机;(2)改变学生的数学观;(3)因为知道并非只有他们自己有困难,因而会感到安慰;(4)使数学不那么可怕;(5)有助于保持对数学的兴趣中学数学教学案例全文共89页，当前为第14页。(6)给予数学以人文的一面;(7)有助于解释数学在社会中的作用;(8)有助于发展多元文化进路;(9)历史发展有助于安排课程内容顺序;(10)告诉学生概念如何发展,有助于他们对概念的理解中学数学教学案例全文共89页，当前为第15页。(11)通过古今方法的对比,确立现代方法的价值;(12)提供探究的机会;(13)过去的发展障碍有助于解释今天学生的学习困难;(14)鼓励优秀生看得更远;(15)提供跨学科合作的机会.因此,正如JohnFauvel和VanMannen所指出的那样,“对于数学史引入数学教学的研究,乃是数学教学研究的重要组成部分”中学数学教学案例全文共89页，当前为第16页。2.数学史融入数学教育的方法JohnFauvel总结了数学史的各种用法如下：(1)介绍历史上数学家的故事;(2)运用历史引入新概念;(3)促使学生理解,为他们所学概念提供解答的历史问题;(4)讲授数学史课;(5)利用历史上的数学教材设计课堂练习和作业;中学数学教学案例全文共89页，当前为第17页。(6)举办历史主题的展览;(7)运用历史上的典型例子来说明方法和技术;(8)探索过去的错误、另类观点以帮助今天的学习者理解并解决困难;(9)借鉴历史设计一个话题的教学方法;(10)基于历史信息进行课程的整体设计.中学数学教学案例全文共89页，当前为第18页。（1）直接利用历史材料（2）发生教学法中学数学教学案例全文共89页，当前为第19页。3.发生教学法只有当主体产生足够的动机，或只有在主体心理发展的某个适当时间，才开始让他们学习某个主题．也就是说，当主体面对一些用已有知识无法解决的问题，感到有学习新方法或理论的必要性时，教师才开始讲授这种新的方法或理论。（不愤不启，不悱不发）数学史上新概念、新思想、新方法、新理论的出现正是由于解决问题的需要。而历史的演变进程帮助人们认识问题产生的背景、难点及数学上的伟大突破如何产生。中学数学教学案例全文共89页，当前为第20页。发生法教学法常遵循以下步骤：（1）教师了解所教主题的历史；（2）理解该主题历史进化的关键步骤；（3）在现代情境下重构推动进化的关键思想或问题，使之在教学上适合介绍新的概念、方法或理论．这样通常意味历史进化不是严格地遵循着；（4）上述重构的步骤按从易到难的系列问题给出，后面的问题建立在前面问题的基础上，采取有序的问题驱动模式。中学数学教学案例全文共89页，当前为第21页。

平方差公式的教学中学数学教学案例全文共89页，当前为第22页。

关于平方差公式的历史考察：巴比伦（约前1700年）：已知两数的和与积，求两数。设根据第一个方程，设代入第二个方程，求得t，进而求出。欧几里得（前3世纪）：中学数学教学案例全文共89页，当前为第23页。丢番图（3世纪）：已知两数的和与积，求两数。“和差法”刘徽/赵爽（3世纪）：对平方差公式作几何证明。

在以C为边长的正方形内部作一个边长为b的正方形，则余下的矩形面积等于以c-b为宽，以c+b为长的矩形面积。婆什迦罗（1114-1185）：在《丽拉沃蒂》中给“平方合并算”法则：“若以原数之差去除平方之差，则为原数之和。”韦达（1540-1603）：中学数学教学案例全文共89页，当前为第24页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第25页。重演历史第一步：中学数学教学案例全文共89页，当前为第26页。第二步：练习：求下列乘积（1）1005×995（2）391×409（3）811×789（4）2011×1989中学数学教学案例全文共89页，当前为第27页。第三步：问题：任一长方形面积是否都等于两个正方形面积之差中学数学教学案例全文共89页，当前为第28页。

一元二次方程中学数学教学案例全文共89页，当前为第29页。

一元二次方程的历史考察中学数学教学案例全文共89页，当前为第30页。大英博物馆藏巴比伦泥版BM13901上有如下问题：“正方形面积与边长之和为，求边长.”

即解方程将置于正方形一边上的长为1、宽与正方形边长相等的长方形按虚线剪开，剪下的一半置于正方形的另一边，然后补一个边长为的小正方形，即得一大正方形，其面积为，边长为1，减去，即得所求正方形的边长.中学数学教学案例全文共89页，当前为第31页。类似地，耶鲁大学所藏巴比伦泥版YBC6967上的一个问题，已知两数乘积为60，它们的差为7，求这两个数.（解方程）以今天的记数法来表示，解法如下：取7的一半，得，

自乘，得；与60相加，得，开方，得.记下，分别减去和加上，得一数为5，另一数为12.中学数学教学案例全文共89页，当前为第32页。9世纪，阿拉伯数学家花拉子米也用上述方法来解一元二次方程.在《代数学》中，花拉子米给出一元二次方程的两种几何方法：中学数学教学案例全文共89页，当前为第33页。

一元二次方程的教学中学数学教学案例全文共89页，当前为第34页。第一步：几何方法之引入先让学生分组合作，用任何方法解下面的问题：问题1：已知矩形的半周长为20，面积为96。求矩形的长和宽。在学生完成之后，教师在黑板上用硬纸板介绍几何方法如下：（1）取边长为10的正方形，其面积为100；（2）割去面积为4的正方形（边长为2），余下的面积为96。（3）按虚线剪去小矩形（长为8，宽为2）；（4）将小矩形竖直放置在右侧.

中学数学教学案例全文共89页，当前为第35页。于是，所求的矩形长为12，宽为8.

接着，教师让学生用几何方法解类似的问题：“已知矩形的半周长为12，面积为30.求矩形的长和宽.”让学生书面总结解这类问题的一般步骤.第二步，合作讨论与提出问题

分组讨论解上述问题的步骤、出现矛盾的情形，每组选一名代表向其他组介绍自己所在组的讨论结果.接着，教师让学生自己提出类似问题，分别要求：（1）所求矩形的长和宽为整数；（2）所求矩形的长和宽不能为整数.中学数学教学案例全文共89页，当前为第36页。

第三步，新的矩形问题教师提出新的问题：问题2矩形的长为10，宽未知.在矩形一边放一正方形，如图所示.已知矩形和正方形面积之和为39.问矩形的宽为多少？中学数学教学案例全文共89页，当前为第37页。

用解问题1的方法来解本题.

教师用硬纸板来演示新的解法：（1）将原矩形沿竖直方向分割成两半；（2）其中一半粘到正方形的底边；（3）在右下角补一个边长为5的小正方形.于是，整个正方形的面积为39+25=64，从而得边长为8.因此，，.

接着，教师让学生解类似的问题，并书面总结解这类问题的一般步骤.

中学数学教学案例全文共89页，当前为第38页。第四步，合作讨论与提出问题分组讨论解上述问题的步骤.每组选一名代表向其他组介绍自己所在组的讨论结果.然后，教师让学生自己提出类似问题，分别要求：（1）矩形的长和宽为整数；（2）矩形的长和宽为分数；（3）矩形的长和宽为无理数.中学数学教学案例全文共89页，当前为第39页。第五步，求根公式的再发现引导学生用字母b表示问题2中的矩形的长，c表示矩形和正方形的面积之和.分组讨论矩形宽的计算公式：教师将上述几何问题翻译成代数语言：上式即为方程的求根公式中学数学教学案例全文共89页，当前为第40页。教师让学生找出一元二次方程，的求根公式.注意：每一种教学设计会有自身的优越性和局限性。中学数学教学案例全文共89页，当前为第41页。参考文献：1.汪晓勤等.中学数学中的数学史[M].2.汪晓勤等.平方差公式的历史[J].3.皇甫华，汪晓勤.一元二次方程:从历史到课堂[J].中学数学教学案例全文共89页，当前为第42页。基于积极心理学的教学案例教师教的意义是在学生那里生成了什么（包括成年之后），这是教师工作的重要之处。中学数学教学案例全文共89页，当前为第43页。一、积极情绪能够给我们带来什么？

消极情绪将我们的注意力收缩到危险的来源上，并且动员我们做好战斗或逃离。消极情绪使我们为零收益型的游戏规则做好准备。……积极情绪能够扩大我们的视野，使我们能够对更广泛的社会环境和物理环境保持清醒的意识。这种开阔的注意范围使我们对新思想和新活动保持开放的心态，并且比平常更具有创造性。因此，积极情绪为我们提供了创造更好的关系和显示更强的生产力的机会。积极情绪让我们为双赢交易或非零收益型游戏规则做好准备。（p11.seligman，2002；Isen，2000）中学数学教学案例全文共89页，当前为第44页。消极情绪促使人们高度专注地进行关键性的防卫思考和决策，其目的是查明错误并消灭之。积极情绪则促使人们产生创造性的、更宽容的思考。中学数学教学案例全文共89页，当前为第45页。许多的消极情绪使得个人的即时思维－行动变窄；积极情绪拓展了个人的即时思维－行动范畴。有安全感的孩子比没有安全感的孩子表现出更好的坚持性和灵活性，在解决问题的过程中动用了更多的资源，他们还对新环境显示出更多的探索行为，并能形成更好的认知地图。有安全感的成人比没有安全感的成人更具有好奇心，对新信息更开放。（Fredrickson，2002）中学数学教学案例全文共89页，当前为第46页。二、学习中的情绪体验中学数学教学案例全文共89页，当前为第47页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第48页。您经历过的印象深刻的消极情绪哪些？积极情绪有哪些？它们的作用与研究者的结论一致吗？您对学生们的哪种情绪印象深刻?中学数学教学案例全文共89页，当前为第49页。三、基于心流理论的数学后进班转化

——以唐苏黎老师的教学实践为例中学数学教学案例全文共89页，当前为第50页。9月，新学期开始了。唐老师接了初三班，在第一堂课上，无论讲什么，学生都回答“不会”，“不懂”，“不知道”，眼神迷茫。后来，大部分同学开始睡觉或者做其他事情，无聊地等待下课。

（这时候，学生们是什么样的情感体验？）在之后的一年里，唐老师经历了以下三步：中学数学教学案例全文共89页，当前为第51页。第一步，帮助学生找到学习的自信和着眼点。讲个名字叫《把简单练到极致就成了绝招》的故事从前，河北沧州一个有名的武林师傅，收了一批徒弟，三年后各成气候。但有个名叫杠五的弟子天生愚笨，三年一招都未学会。师傅让他回家。惜别之时，杠五请师傅教他一招，师傅挥着禅杖就地画了一个圆圈，对准中心一顿说到：“去吧！”。杠五回到老家后，用粗木头打了根大棒就练师傅教给的这一招。春夏秋冬，日复一日，大木棒换成了大铁棒，村头的路口上已画出了一个大深坑。

中学数学教学案例全文共89页，当前为第52页。一天，一个外国大力士来到沧州打擂台，无人能战胜他。杠五听说提着大棒跳上擂台，对着大力士的前胸画一圆圈，大棒一顿大喝一声“去吧！”将大力士打下擂台。师傅这才明白了杠五将这一招练成了绝招。从此，凡投师到门下的弟子，师傅都会讲这独特的第一课“把简单练到极致就成了绝招”。中学数学教学案例全文共89页，当前为第53页。听完这个故事，孩子们一脸严肃。唐老师及时鼓励道：“我们从初一的有理数计算入手，天天坚持，过好基础关。把简单练到极致就成了绝招！”同学们听后，有些跃跃欲试了。第二天，调整了上课进度。

心流产生的前提：1.明确的目标；2.迅速的反馈；3.在挑战和技巧之间的平衡；上课的过程与心流理论相比较，您会了解到了什么？

中学数学教学案例全文共89页，当前为第54页。第二步，给学生明确且符合其能力的学习目标。初中三年级常规课程安排是讲新课赶进度，争取给第二个学期留出全面复习的课时。唐老师认为对于这个班不能只一味注重授课进度，如果这样，他们听不懂放弃学习又会回到原来的无聊状态。在做好学生思想工作的前提下，唐老师调整了学习进度，先复习初一、初二的知识。这样，既补充了原来知识掌握不扎实的漏洞，也为学生带来了学习的成就感，他们感到学习是一件可以做到的快乐的事情。中学数学教学案例全文共89页，当前为第55页。课程安排从初一有理数的正负开始。由于到了初三，学生的理解能力比初一时增强了，并不难理解初一的数学知识。因此，唐老师就设计加强知识的训练。知识训练在一定程度上是做重复，如何让学习喜欢重复工作并乐此不疲是一个需要解决的问题。于是，每天课前安排一个“五分钟训练”，循序渐进出三道人人都能动手的题目，而这些题目基本是中考前19道题的题型，最后一道综合题。一次五分钟课堂训练的例题如下：中学数学教学案例全文共89页，当前为第56页。1.一个数的绝对值等于3，那么这个数_______2.已知，那么9的平方根是_____，算术平方根是_____3.解方程4.已知二次函数,求其图象与x轴的两个交点中学数学教学案例全文共89页，当前为第57页。每次训练时，做完的同学就举手，唐老师看着时间，数着完成的人。当一半人完成时或者五分钟到了，全班就停下来，听先做完同学的讲解，唐老师及时给予指导和表扬。先做完并做对的同学有极大的成就感。如果做错了，老师就分析其错误原因并指出其有普遍性的地方，不用思考失败的结果，而是怎样才可以取得成功。这也带动了其他同学更加努力学习。在这时开始新授课，同学们都积极投入学习。中学数学教学案例全文共89页，当前为第58页。“课前五分钟训练”使不少同学提高了计算的准确度和速度，由五分钟完成前三道题到两分多钟就完成了，成功率也提高了。在此基础上，唐老师及时调整，每堂课分成三个段落，第一个段落复习初一、初二的知识，第二个段落做练习，加强对知识的训练，第三个段落讲授初三的新课。不断有学生说，老师，我不怕证明了；我会准确计算了！……渐渐地，他们跟上了全年级的进度，人人都全情投入学习中来，同学们都有了不同程度的成功和提高。在坚持不懈的努力下，每个同学都由害怕数学到不同程度的喜欢上了数学。中学数学教学案例全文共89页，当前为第59页。心流体验的特性：4.行动和意识相融合；5.高度集中于眼前的事物；6.有自制的感觉，根本不担心失败；上课的过程与心流理论相比较，您会了解到了什么？

中学数学教学案例全文共89页，当前为第60页。第三步，学生成为教师的合作者

通过一段时间的学习，学生们学习数学有了很大进步并热情大增。数学知识环环相扣的特点，以及定理的探索、发现、实验证明、形成知识点的过程都是让学生们学会数学知识和学会学习数学的过程。因此，唐老师就思考如何将课堂交于学生，让学生只从听老师讲授到自己参与讲解，成为数学知识的研究者和教师的合作者。唐老师制定了一个人人都做小老师的计划，即每堂课由学生和老师共同学习、共同探讨、共同讲解。中学数学教学案例全文共89页，当前为第61页。一节课开始时，从现实生活中找出与本节课数学内容相关的问题，引入后，建构成某个数学模型，然后举一反三，强化训练。数学学习中常常会有一些与现实生活密切相关的、有趣的富有挑战性的题目。它们往往具有开放性，或答案不唯一，或条件不完备，或有更多解法，这些题目给学生提供了发挥创造性的广阔空间。唐老师就充分利用这类课程材料，让学生参与解答直至设计题目。中学数学教学案例全文共89页，当前为第62页。例如，在深圳第二十届迎春花展上，同学们参加了勤工俭学活动，对花展记忆犹新，在方案设计专题复习时，唐老师引入了这样一例：中学数学教学案例全文共89页，当前为第63页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第64页。

这个数学问题对学生们而言是形象的、熟悉亲切的。熟悉的事物会让学生感到愉悦，并且容易集中注意力。唐老师首先分析题意、此类题目的解题思路。然后请参加了花展社会实践活动小组的同学们讲解了这一题，他们讲得条理清晰，同学们听得津津有味。由于此例的顺利展开，唐老师马上推出了下一题：中学数学教学案例全文共89页，当前为第65页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第66页。同学们分组讨论后，一致推选数学科代表讲解这道题，小方同学就拿出自己的草稿展示在实物投影仪上，他精辟讲解获得了同学们热烈的掌声。按常规，这一课到此应该是圆满结束了，但唐老师想到如何让所学数学知识应用到真实生活中呢？唐老师想到了四川汶川大地震后，全国人民表现出来的对灾区人民热情的支援和关爱，唐老师说：今天这道题目，也是献给汶川地震中受灾的初三全体同学们的，请同学们将上题改成一道支援灾区运送救灾物质的题目，数据不变。同学们用心的听着，安安静静的在下面改编这道题。故而有了：中学数学教学案例全文共89页，当前为第67页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第68页。同学们讨论得很热烈，这是全班最快乐、幸福的时刻。下课了同学们还恋恋不舍，继续上课的话题。中考出了一道题和同学们改编的一模一样！学习数学的喜悦、自豪和自信对同学们产生了极大的影响。有了上述的各种举措，同学们的数学学习有了翻天覆地的变化，在初三年级的第二次月考中，全班的数学成绩就从全年级最后一名跃到同类班级第二名。中考全班无一人落在中考录取线下，并有百分之二十的同学的数学成绩考到市A类以上。中学数学教学案例全文共89页，当前为第69页。心流体验的效果：7.自我意识消失；8.时间感被扭曲；9.行动本身即是目的上课的过程与心流理论相比较，您会了解到了什么？

中学数学教学案例全文共89页，当前为第70页。参考文献1.AlanCarr著，郑雪等校译.积极心理学：关于人类幸福和力量的科学[M].2.邓鹏.心流：体验生命的潜能和乐趣[J].3.许远理.情绪智力三维结构理论[M].

4.刘翠平.基于心流理论的数学后进班转化——以唐苏黎老师的教学实践为例[J].中学数学教学案例全文共89页，当前为第71页。在物质条件越来越丰富的今天，我们依靠什么来给学生上升的动力？靠什么引导学生克服学习中一个又一个的困难？中学数学教学案例全文共89页，当前为第72页。关于数学化的案例学习从哪里开始？中学数学教学案例全文共89页，当前为第73页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第74页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第75页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第76页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第77页。中学数学教学案例全文共89页，当前为第78页。四年级的教学实例任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150公亩，问12天耕地多少公亩?”一位学生是这样解题的：52×50×2=(略)。接下来就出现了这样的师生对话：“告诉我，你为什么这么列式?”

“老师，我错了。”

“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式?”

“除。”

“怎么除?”中学数学教学案例全文共89页，当前为第79页。

“大的除以小的。”“为什么是除呢?”“老师，我又错了。”“你说，对的该是怎样呢?”“应该把它们加起来。”显然，这位学生是在瞎猜。“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼?”“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么?”“我经常吃粽子。”中学数学教学案例全文共89页，当前为第80页。“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子?”“老师，我一天根本吃不了两个粽子。”“那你能吃几个粽子?”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5天吃几个粽子?”“两个半。”“怎么算出来的?”“两天一个，5天两个半。”中学数学教学案例全文共89页